大学物理-第3章-角动量定理和刚体的转动.ppt

1 第三章角动量定理和刚体的转动 2 3 2 3 3刚体定轴转动的转动定理和动能定理 描述刚体定轴转动的运动学方法 大小和形状始终保持不变的物体称为刚体 特殊的质点组 由于刚体大小形状不变 转轴是固定的 那么刚体上任一点A的位置确定 其他各点位置也就都确定 从而整个刚体的位置确定 并且刚体上各点在相同的时间间隔内应转过相同的角度 因此 刚体各点有相同的角位移 角速度和角加速度 可见 描述刚体定轴转动只需一个坐标变量 刚体的运动形式 平动 转动 3 4 力臂 刚体绕Oz轴旋转 力作用在刚体上点P 且在转动平面内 为由点O到力的作用点P的径矢 对转轴Z的力矩 力矩 刚体定轴转动的动能定理 M的正负与角位移的正负规定一致 由转轴Oz正向俯视 力矩有使刚体逆时针转动趋势时 M取正 反之取负 5 刚体中内力的功等于零 刚体是质点组 应服从质点组的动能定理 刚体转动过程中形状不变 组成刚体的全部质点之间不发生相对位移 根据得到刚体运动过程中 内力不作功 6 力矩的功 力作用于A点 刚体绕轴转过一微小角位移 A点位移是 力所作元功为 由图易得 故 7 转动动能 把刚体想象地分割成N个质点 第i个质点的动能是 整个刚体的动能 刚体对转轴的转动惯量 8 刚体定轴转动动能公式 物体的平动动能 质点动能 9 转动动能定理 刚体定轴转动动能定理 设初态角位置时 角速度是末态角位置时 角速度是 合外力矩对绕定轴转动的刚体所作的功等于刚体转动动能的增量 10 转动惯量 刚体定轴转动的转动定理 1 质量离散分布刚体的转动惯量 11 转动惯量的大小取决于刚体的质量 质量分布及转轴的位置 单位 平行轴 垂直轴 12 平行轴定理 质量为m的刚体 如果对其质心轴的转动惯量为 则对任一与该轴平行 相距为d的转轴的转动惯量 刚体对各平行轴的不同转动惯量中 对质心轴的转动惯量最小 垂直轴定理 一个平面薄板刚体对垂直于平面的任一转轴的转动惯量 等于刚体对在平面内并与该垂直轴相交的任二正交轴转动惯量之和 仅适用于厚度无穷小的薄板 厚度 0 13 转动定理 刚体转动状态的变化表现为角速度的变化 即角加速度不为零 若刚体不受外力矩作用 则 角加速度为零 刚体将保持原来的转动状态不变 继续静止或匀速转动 这表明刚体有保持它原来转动状态不变的特性 即刚体的转动惯性 14 定轴转动定律在转动问题中的地位相当于平动时的牛顿第二定律 应用转动定理解题步骤与牛顿第二定律时完全相同 实验指出 定轴转动的刚体的角加速度与刚体所受的合外力矩M成正比 与刚体的转动惯量I成反比 定轴转动定理 15 例3 1如图 一轻绳跨过一轴承光滑的定滑轮 绳的两端分别悬有质量为m1和m2的物体 m1 m2 滑轮可视为均质圆盘 质量为m 半径为r 绳不可伸长且与滑轮之间无相对滑动 求物体的加速度 滑轮的加速度和绳中张力 解 由于滑轮质量不可忽略 必须考虑滑轮绕定轴的转动 各物体受力情况如图 16 对两物体应用牛顿第二定律 对滑轮应用转动定理 可得 其中 17 例3 2如图 半径为R的均匀球壳A可绕光滑竖直轴旋转 滑轮B可绕光滑水平轴旋转 用轻绳将球壳 滑轮和物块C如图联结 轻绳绕在球壳的水平大圆上 当物块下落时将牵动滑轮 球壳绕各自的轴旋转 设球壳 滑轮 物块的质量分别为mA m1 mB mC m2 球壳 滑轮对转轴的转动惯量分别为IA和IB 滑轮半径为r 运动过程中绳不伸长 不打滑 求物体下落h高时 速率为多少 18 解 法一 A B两物体作定轴转动 应用转动定理分析 C平动可视为质点 应用牛顿运动定律分析 三者受力分析如图 A B定轴转动 由转动定理 C平动 由牛顿第二定律 轻绳 19 绳不伸长 不打滑 有角量与线量的关系 常量 20 法二 整个运动过程中只有重力作功 系统机械能守恒 C下降h A B势能不变 动能增加 21 机械能守恒 可利用此装置及分析方法反过来测球壳或位于球壳处的其它不规则形状刚体的转动惯量 22 例3 3如图 均质圆形薄板放在水平桌面上 板的半径为R 板与桌面间的滑动摩擦系数为 令圆板以角速度开始绕通过板心且与板面垂直的光滑固定轴O旋转 问圆板转动多少周后停止 圆板转动惯量 23 取半径为r 宽为dr的细圆环作质元 设圆板高h 圆板体密度为 细圆环与桌面的摩擦力 摩擦力矩 24 体密度 由转动定理 法一 用转动定理和运动学公式求解 25 常量 匀变速运动学公式 圈数 26 法二 用动能定理求解 圈数 已求得 27 用定轴转动的动能定理较之用转动定律求解 省去了求角加速度 而直接求得 更为简捷 28 3 1 3 4角动量定理和角动量守恒定律 角动量 又称动量矩 右手螺旋法则判定方向始终向上 质量为m的质点在水平面上作匀速圆周运动 不同位置上动量的方向不同 动量不守恒 质点的角动量 29 则质点在该位置相对定点的角动量定义为 一般情况 如图 30 刚体对转轴的角动量 所有质元对该轴角动量的总和 所有质点都以其垂轴距离为半径作圆周运动 质元角动量 总的角动量 刚体对转轴的角动量 31 刚体定轴转动时的角动量定理 微分形式 积分形式 32 角动量守恒定律 若 则 若质点系相对于某一定点所受的合外力矩为零时 则此质点系相对于该定点的角动量将始终保持不变 注意 这里不仅限于讨论一个刚体绕定轴转动的情况 而是一个绕固定轴转动的转动系统 33 34 用外力矩启动转盘后撤除外力矩 角动量守恒的现象 保持不变 变小则变大 变大则变小 35 花样滑冰 先使自己转动起来 角动量守恒的现象 36 力矩动量矩或角动量冲量矩 力动量力的冲量 37 例3 4质量很小长度为l的均匀细杆 可绕过其中心O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动 当细杆静止于水平位置时 有一只小虫以速率垂直落在距点O为l 4处 并背离点O向细杆的端点A爬行 设小虫与细杆的质量均为m 问 欲使细杆以恒定的角速度转动 小虫应以多大速率向细杆端点爬行 解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞 碰撞前后系统角动量守恒 角动量 38 由角动量定理 即 考虑到 39 例3 5如图 杆OB可绕水平光滑轴O转动 杆长L 质量不计 杆的中点A和底端B处附有两个质量为m1和m2的小球 最初杆静止于平衡位置 令一质量为m的粘性球以水平速度冲击 恰能使杆转过角达水平位置 设m与m1的碰撞为完全非弹性的 m1 4m m2 m L 1m 取g 10m s2 求 40 分析 碰撞过程中系统动量是否守恒 角动量是否守恒 碰撞之后一起运动的过程 系统机械能是否守恒 解 取杆及m组成的系统为研究对象 碰撞过程中 轴对系统有很大的反作用力 不能忽略 因此动量不守恒 碰撞时间极短 碰撞时系统各物体的位置可认为都处于过O的竖线上 此时外力 重力及反作用力 对轴力矩为零 因此角动量守恒 41 碰撞之后一起运动的过程中 只有重力作功 系统机械能守恒 1 2 42 习题P453 1 3 5 3 12 43 匀变速直线运动 匀变速转动 44