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第八章立体几何初步第6课时空间向量在立体几何中的应用(对应学生用书(理)113115页)考情分析考点新知理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系体会向量方法在研究几何问题中的作用能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系；能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题.1. (选修21P97习题14改编)若向量a(1，2)，b(2，1，2)且a与b的夹角的余弦值为，则_答案：2或解析：由已知得， 83(6)，解得2或.2. (选修21P89练习3)已知空间四边形OABC，点M、N分别是OA、BC的中点，且 a, b, c，用a，b，c表示向量 _答案：(bca)解析：如图， ( )( )( )( 2 )( )(bca)3. (选修21P101练习2改编)已知l，且l的方向向量为(2，m，1)，平面的法向量为，则m_.答案：8解析：(2，m，1)0，得m8.4. (选修21P86练习3改编)已知a(2，1，3)，b(1，4，2)，c(7，5，)，若a、b、c三个向量共面，则实数等于_答案：解析：由于a、b、c三个向量共面，所以存在实数m、n使得cmanb，即有(7，5，) m(2，1，3)n(1，4，2)，即(7，5，)(2mn，m4n，3m2n)， 解得m，n，.5. (选修21P110例4改编)在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E为BB1的中点，则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为_答案：解析：以A为原点建立平面直角坐标系，设棱长为1，则A1(0，0，1)，E，D(0，1，0)， (0，1，1)，设平面A1ED的法向量为n1(1，y，z)，则 n1(1，2，2) 平面ABCD的一个法向量为n2(0，0，1)，cosn1，n2.即所成的锐二面角的余弦值为.1. 直线的方向向量与平面的法向量(1) 直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量(2) 如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面，那么称向量n垂直于平面，记作n.此时把向量n叫做平面的法向量2. 线面关系的判定直线l1的方向向量为e1(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为e2(a2，b2，c2)，平面的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面的法向量为n2(x2，y2，z2)(1) 如果l1l2，那么e1e2e2e1a2a1，b2b1，c2c1(2) 如果l1l2，那么e1e2e1e20a1a2b1b2c1c20(3) 若l1，则e1n1e1n10a1x1b1y1c1z10(4) 若l1，则e1n1e1kn1a1kx1，b1ky1，c1kz1(5) 若，则n1n2n1kn2x1kx2，y1ky2，z1kz2(6) 若，则n1n2n1n20x1x2y1y2z1z203. 利用空间向量求空间角(1) 两条异面直线所成的角范围：两条异面直线所成的角的取值范围是.向量求法：设直线a、b的方向向量为a、b，其夹角为，则有cos|cos|.(2) 直线与平面所成的角范围：直线和平面所成的角的取值范围是.向量求法：设直线l的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a与u的夹角为，则有sin|cos|或cossin.(3) 二面角二面角的取值范围是0，二面角的向量求法：() 若AB、CD分别是二面角l的两个面内与棱l垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角(如图)() 设n1、n2分别是二面角l的两个面、的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)的大小就是二面角的平面角的大小(如图)备课札记题型1空间向量的基本运算例1如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点若a，b，c，则_.答案：abc解析：abc.已知空间三点A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)设a，b.(1) 求a和b的夹角；(2)若向量kab与ka2b互相垂直，求k的值解：A(2，0，2)，B(1，1，2)，C(3，0，4)，a，b，a(1，1，0)，b(1，0，2)(1)cos，a和b的夹角为arccos.(2)kabk(1，1，0)(1，0，2)(k1，k，2)，ka2b(k2，k，4)，且(kab)(ka2b)，(k1，k，2)(k2，k，4)(k1)(k2)k282k2k100，解得k或2.题型2空间中的平行与垂直例2如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB，AF1，M是线段EF的中点求证：(1) AM平面BDE；(2) AM平面BDF.证明：(1) 建立如图所示的空间直角坐标系，设ACBDN，连结NE.则N，E(0，0，1)，A(，0)，M. ，. 且NE与AM不共线 NEAM. NE平面BDE，AM平面BDE， AM平面BDE.(2) 由(1)知， D(，0，0)，F(，1)， (0，1)， 0， AMDF.同理AMBF. 又DFBFF， AM平面BDF.如右图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，G为BC1D的重心，(1) 试证：A1、G、C三点共线；(2) 试证：A1C平面BC1D；证明：(1) ，可以证明：()， ，即A1、G、C三点共线(2) 设a，b，c，则|a|b|c|a，且abbcca0， abc，ca， (abc)(ca)c2a20， ，即CA1BC1，同理可证：CA1BD，因此A1C平面BC1D.题型3空间的角的计算例3(2013苏锡常镇二模)如图，圆锥的高PO4，底面半径OB2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EFDE.(1) 求异面直线EF与BD所成角的余弦值；(2) 求二面角OOFE的正弦值解：(1) 以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的线为y轴，OP所在的线为z轴，建立空间直角坐标系，则B(0，2，0)，P(0，0，4)，D(0，0，2)，E(0，1，2)设F(x0，y0，0)(x00，y00)，且xy4，则(x0，y01，2)，(0，1，0)， EFDE，即，则y010，故y01. F(，1，0)，(，0，2)，(0，2，2)设异面直线EF与BD所成角为，则cos.(2) 设平面ODF的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令x11，得y1，平面ODF的一个法向量为n1(1，0)设平面DEF的法向量为n2(x2，y2，z2)，同理可得平面DEF的一个法向量为n2.设二面角ODFE的平面角为，则|cos|. sin.(2013江苏卷)如图所示，在直三棱柱A1B1C1ABC中，ABAC，ABAC2，A1A4，点D是BC的中点(1) 求异面直线A1B与C1D所成角的余弦值；(2) 求平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值解：(1) 以A为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，D(1，1，0)，A1(0，0，4)，C1(0，2，4)，所以(2，0，4)，(1，1，4)因为cos，所以异面直线A1B与C1D所成角的余弦值为.(2) 设平面ADC1的法向量为n1(x，y，z)，因为(1，1，0)，(0，2，4)，所以n10，n10，即xy0且y2z0，取z1，得x2，y2，所以，n1(2，2，1)是平面ADC1的一个法向量取平面AA1B的一个法向量为n2(0，1，0)，设平面ADC1与平面ABA1所成二面角的大小为.由|cos|，得sin.因此，平面ADC1与平面ABA1所成二面角的正弦值为.1. 设A1、A2、A3、A4、A5是空间中给定的5个不同的点，则使0成立的点M的个数为_答案：1 个解析：设A1、A2、A3、A4、A5坐标分别为(x1，y1，z1)，(x2，y2，z2)，(x3，y3，z3)，(x4，y4，z4)(x5，y5，z5)，设M坐标为(x，y，z)由0得方程(x1x)(x2x)(x3x)(x4x)(x5x)0，(y1y)(y2y)(y3y)(y4y)(y5y)0，(z1z)(z 2z)(z3z)(z4z)(z5z)0，解得x，y，z.故有唯一的M满足等式2. (2013连云港模拟)若平面的一个法向量为n(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a(2，3，3)，则l与所成角的正弦值为_答案：解析：cosn，a.又l与所成角记为，即sin |cosn，a|.3. (2013新课标全国卷)如图所示，直三棱柱ABCA1B1C1中，D、E分别是AB、BB1的中点，AA1ACCBAB.(1) 证明：BC1平面A1CD；(2) 求二面角DA1CE的正弦值(1) 证明：连结AC1交A1C于点F，则F为AC1中点又D是AB中点，连结DF，则BC1DF.因为DF平面A1CD，BC1平面A1CD，所以BC1平面A1CD.(2) 由ACCBAB得ACBC. 以C为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.设CA2，则D(1，1，0)，E(0，2，1)，A1(2，0，2)，(1，1，0)，(0，2，1)，(2，0，2)设n(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n(1，1，1)同理，设m为平面A1CE的法向量，则可取m(2，1，2)从而cosn，m，故sinn，m.即二面角D-A1C-E的正弦值为.4. (2013重庆)如图所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，BCCD2，AC4，ACBACD，F为PC的中点，AFPB.(1) 求PA的长；(2) 求二面角B-AF-D的正弦值解：(1) 如图，连结BD交AC于O，因为BCCD，即BCD为等腰三角形，又AC平分BCD，故ACBD.以O为坐标原点，、的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz，则OCCDcos1，而AC4，得AOACOC3.又ODCDsin，故A(0，3，0)，B(，0，0)，C(0，1，0)，D(，0，0)因为PA底面ABCD，可设P(0，3，z)，由F为PC边中点，得F，又，(，3，z)，因AFPB，故0，即60，z2(舍去2)，所以|2.(2) 由(1)知(，3，0)，(，3，0)，(0，2，)设平面FAD的法向量为n1(x1，y1，z1)，平面FAB的法向量为n2(x2，y2，z2)由n10，n10，得因此可取n1(3，2)由n20，n20，得故可取n2(3，2)从而向量n1，n2的夹角的余弦值为cosn1，n2.故二面角B-AF-D的正弦值为.5. (2013连云港调研)在三棱锥SABC中，底面是边长为2的正三角形，点S在底面ABC上的射影O恰是AC的中点，侧棱SB和底面成45角(1) 若D为侧棱SB上一点，当为何值时，CDAB；(2) 求二面角S-BC-A的余弦值大小解：以O点为原点，OB为x轴，OC为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知SBO45，SO3.O(0，0，0)，C(0，0)，A(0，0)，S(0，0，3)，B(3，0，0)(1) 设(01)，则(1)(3(1)，0，3)，所以(3(1)，3)因为(3，0)，CDAB，所以9(1)30，解得.故时， CDAB.(2) 平面ACB的法向量为n1(0，0，1)，设平面SBC的法向量n2(x，y，z)，则n20，n20，则解得取n2(1，1)，所以cosn1，n2.又显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为.1. 在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA12，底面是边长为1的正方形，E、F分别是棱B1B、DA的中点(1) 求二面角D1-AE-C的大小；(2) 求证：直线BF平面AD1E.(1) 解：以D为坐标原点，DA、DC、DD1分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系如图则相应点的坐标分别为D1(0，0，2)，A(1，0，0)，C(0，1，0)，E(1，1，1)，(0，0，2)(1，1，1)(1，1，1)，(1，1，1)(1，0，0)(0，1，1)，(0，1，0)(1，0，0)(1，1，0)设平面AED1、平面AEC的法向量分别为m(a，b，1)，n(c，d，1)由由m(2，1，1)，n(1，1，1)，cosm，n0，二面角D1AEC的大小为90. (2) 证明：取DD1的中点G，连结GB、GF.E、F分别是棱BB1、AD的中点，GFAD1，BED1G且BED1G，四边形BED1G为平行四边形，D1EBG.又D1E、D1A平面AD1E，BG、GF平面AD1E，BG平面AD1E，GF平面AD1E.GF、GB平面BGF，平面BGF平面AD1E.BF平面AD1E，直线BF平面AD1E.(或者：建立空间直角坐标系，用空间向量来证明直线BF平面AD1E，亦可)2. (2013苏州调研)三棱柱ABCA1B1C1在如图所示的空间直角坐标系中，已知AB2，AC4，A1A3.D是BC的中点(1) 求直线DB1与平面A1C1D所成角的正弦值；(2) 求二面角B1-A1D-C1的正弦值解：(1) 由题意，A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，4，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，3)，B1(2，0，3)，C1(0，4，3).(1，2，3)，(0，4，0). 设平面A1C1D的一个法向量为n(x，y，z) nx2y3z0，n4y0. x3z，y0.令z1，得x3.n(3，0，1)设直线DB1与平面A1C1D所成角为， (1，2，3)， sin|cosn|.(2) 设平面A1B1D的一个法向量为m(a，b，c)(2，0，0)， ma2b3c0，m2a0， a0，2b3c.令c2，得b3.m(0，3，2)设二面角B1A1DC1的大小为， |cos|cos|m，n|，则sin. 二面角B1A1DC1的正弦值为. 3. (2013南通二模)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，A1B平面ABC，ABAC，且ABACA1B2.(1) 求棱AA1与BC所成的角的大小；(2) 在棱B1C1上确定一点P，使二面角PABA1的平面角的余弦值为.解：(1) 如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则C(2，0，0)，B(0，2，0)，A1(0，2，2)，B1(0，4，2)，(0，2，2)，(2，2，0)cos，故AA1与棱BC所成的角是.(2) P为棱B1C1中点，设(2，2，0)，则P(2，42，2)设平面PAB的法向量为n1(x，y，z)，(2，42，2)，则故n1(1，0，)，而平面ABA1的法向量是n2(1，0，0)，则cosn1，n2，解得，即P为棱B1C1中点，其坐标为P(1，3，2)4. (2013广东韶关第二次调研)如图甲，在平面四边形ABCD中，已知A45，C90，ADC105，ABBD，现将四边形ABCD沿BD折起，使平面ABD平面BDC(如图乙)，设点E、F分别为棱AC、AD的中点(1) 求证： DC平面ABC； (2) 求BF与平面ABC所成角的正弦值；(3) 求二面角BEFA的余弦值解：(1) 平面ABD平面BDC，又 ABBD， AB平面BDC，故ABDC，又 C90， DCBC，BCABC平面ABC，DC平面ABC，故DC平面ABC.(2) 如图，以B为坐标原点，BD所在的直线为x轴建立空间直角坐标系如下图示， 设CDa，则BDAB2a，BCa，AD2a，可得B(0，0，0)，D(2a，0，0)，A(0，0，2a)，C，F(a，0，a)， ，(a，0，a)设BF与平面ABC所成的角为，由(1)知DC平面ABC， cos， sin.(3) 由(2)知 FE平面ABC, 又 BE平面ABC，AE平面ABC， FEBE，FEAE， AEB为二面角BEFA的平面角 .在AEB中，AEBEACa， cosAEB，即所求二面角BEFA的余弦为.1. 类比平面向量，掌握空间向量的线性运算、空间向量的数量积、空间向量的坐标运算2. 用空间向量解答立体几何问题的一般步骤：(1) 几何问题向量化：线线、线面、面面的平行、垂直、夹角等位置关系问题，利用立体几何中直线与平面有关判定定理和性质定理，将问题转化为直线的方向向量或平面的法向量之间的平行、垂直、夹角关系；(2) 进行向量运算：通常需通过建立空间直角坐标系将问题转化为空间向量的坐标运算(3) 回归几何问题如利用法向量求二面角时，要注意两平面的法向量的方向，确定求得的角是二面角还是其补角请使用课时训练(A)第6课时(见活页)备课札记
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