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2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷(B卷)(考试时间:10月17日上午8:00-9:20)题号一二合计加试总成绩91011得分评卷人复核人考生注意:1本卷共二大题,全卷满分120分。2用圆珠笔或钢笔作答,解题书写不要超出装订线。3不能用计算器。一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分,把答案填在横线上。得分评卷人1函数的值域是 2已知函数的最小值为,则实数的取值范围是 3双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是 4已知是公差不为的等差数列,是等比数列,其中且存在常数、使得每一个正整数都有,则 5函数在区间上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是 6两个人轮流掷骰子,每人每次掷骰子两颗,第一个使两子点数之和大于6者为胜,否则轮另一人投掷。先投掷人获胜的概率是 7正三棱柱的9条棱长都相等,是的中点,二面角,则 8方程满足的正整数解的个数是 得分评卷人二、解答题:本大题3小题,共56分。解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。9(本题满分16分)已知函数,当时,试求的最大值。得分评卷人10(本题满分20分)已知抛物线上的两个动点和,其中且,线段垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值。得分评卷人11(本题满分20分)数列满足,求证:2010年全国高中数学联合竞赛一试试题参考答案及评分标准(B卷)说明:1. 评阅试卷时,请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档;其他各题的评阅,请严格按照本评分标准的评分档次给分,不要增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分,解答题中第9小题4分为一个档次,第10、11小题5分为一个档次,不要增加其他中间档次。一、填空题(本题满分64分,每小题8分)1. 函数的值域是 .解:易知的定义域是,且在上是增函数,从而可知的值域为.2. 已知函数的最小值为,则实数的取值范围是 .解:令,则原函数化为,即.由 , , 及 知 即 (1)当时(1)总成立;对;对.从而可知 .3. 双曲线的右半支与直线围成的区域内部(不含边界)整点(纵横坐标均为整数的点)的个数是 9800 .解:由对称性知,只要先考虑轴上方的情况,设与双曲线右半支于,交直线于,则线段内部的整点的个数为,从而在轴上方区域内部整点的个数为 .又轴上有98个整点,所以所求整点的个数为 .4. 已知是公差不为的等差数列,是等比数列,其中,且存在常数使得对每一个正整数都有,则 .解:设的公差为的公比为,则 (1) , (2)(1)代入(2)得,求得.从而有 对一切正整数都成立,即 对一切正整数都成立.从而 , 求得 , .5. 函数 在区间上的最大值为8,则它在这个区间上的最小值是 .解:令则原函数化为,在上是递增的.当时,,,所以 ;当时,所以 .综上在上的最小值为.6. 两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .解:同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为,从而先投掷人的获胜概率为.7. 正三棱柱的9条棱长都相等,是的中点,二面角,则 .解一:如图,以所在直线为轴,线段中点为原点,所在直线为轴,建立空间直角坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则,从而,.设分别与平面、平面垂直的向量是、,则由此可设 ,所以,即.所以 .解二:如图, .设与交于点 则 .从而平面 .过在平面上作,垂足为.连结,则为二面角的平面角.设,则易求得.在直角中,,即 .又 .8. 方程满足的正整数解(x,y,z)的个数是 336675 . 解:首先易知的正整数解的个数为 .把满足的正整数解分为三类:(1)均相等的正整数解的个数显然为1;(2)中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003; (3)设两两均不相等的正整数解为.易知 , , .从而满足的正整数解的个数为 .二、解答题(本题满分56分)9.(本小题满分16分)已知函数,当时,试求的最大值.解一: 由 得 (4分) . (8分) 所以 , . (12分)又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为.(16分)解二:. 设,则当时,. 设 ,则. (4分)容易知道当时,. (8分)从而当时, , 即 ,从而 ,,由 知. (12分)又易知当(为常数)满足题设条件,所以最大值为. (16分)10.(本小题满分20分)已知抛物线上的两个动点,其中且.线段的垂直平分线与轴交于点,求面积的最大值. 解一:设线段的中点为,则 , .线段的垂直平分线的方程是 . (1)易知是(1)的一个解,所以线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为. (5分)由(1)知直线的方程为 ,即 . (2)(2)代入得 ,即 .(3)依题意,是方程(3)的两个实根,且,所以 , . . 定点到线段的距离 . (10分) . (15分)当且仅当,即,或时等号成立. 所以面积的最大值为. (20分)解二:同解一,线段的垂直平分线与轴的交点为定点,且点坐标为. (5分) 设,则 的绝对值, (10分) , , (15分) 当且仅当且,即 ,或时等号成立. 所以面积的最大值是. (20分)11.(本小题满分20分)数列满足.求证: . (1)证明:由 知 , . (2)所以 即 . (5分)从而 .所以(1)等价于 ,即 . (3) (10分)由 及 知 .当时 , ,即时,(3)成立.设时,(3)成立,即 .当时,由(2)知 ; (15分)又由(2)及 知 均为整数,从而由 有 即 ,所以 ,即(3)对也成立.所以(3)对的正整数都成立,即(1)对的正整数都成立. (20分)www.zxsx.com
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