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2013年普通高等学校招生全国统一考试理科数学乐享玲珑，为中国数学增光添彩！免费，全开放的几何教学软件，功能强大，好用实用第一部分(共50分)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设全集为R, 函数的定义域为M, 则为(A) 1,1(B) (1,1)(C) (D) 2. 根据下列算法语句, 当输入x为60时, 输出y的值为输入xIf x50 Theny=0.5 * xElse y=25+0.6*(x-50)End If输出y(A) 25 (B) 30(C) 31(D) 613. 设为向量, 则“”是“”的(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件4. 某单位有840名职工, 现采用系统抽样方法, 抽取42人做问卷调查, 将840人按1, 2, , 840随机编号, 则抽取的42人中, 编号落入区间481, 720的人数为(A) 11(B) 12(C) 13(D) 145. 如图, 在矩形区域ABCD的A, C两点处各有一个通信基站, 假设其信号覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF(该矩形区域内无其他信号来源, 基站工作正常). 若在该矩形区域内随机地选一地点, 则该地点无信号的概率是(A)(B) (C) (D) 6. 设z1, z2是复数, 则下列命题中的假命题是(A) 若, 则(B) 若, 则(C) 若, 则(D) 若, 则 7. 设ABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若, 则ABC的形状为(A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定8. 设函数 , 则当x0时, 表达式的展开式中常数项为(A) 20(B) 20(C) 15(D) 159. 在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一个面积不小于300m2的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 (单位m)的取值范围是(A) 15,20(B) 12,25 (C) 10,30(D) 20,3010. 设表示不大于的最大整数, 则对任意实数， 有(A) (B) 2 2(C) (D) 二、填空题：把答案填写在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11. 双曲线的离心率为, 则m等于 .12. 某几何体的三视图如图所示, 则其体积为 .13. 若点()位于曲线与y2所围成的封闭区域, 则2xy的最小值为 . 14. 观察下列等式: 照此规律, 第个等式可为 . 15. (考生请注意:请在下列三题中任选一题作答, 如果多做, 则按所做的第一题计分)A. (不等式选做题) 已知均为正数, 且, , 则()()的最小值为 . B. (几何证明选做题) 如图, 弦AB与CD相交于内一点E, 过E作BC的平行线与AD的延长线相交于点P. 已知PD2DA2, 则PE . C. (坐标系与参数方程选做题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角为参数, 则圆的参数方程为 .三、解答题: 解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤（本大题共6小题，共75分）16. (本小题满分12分)已知向量, 设函数. () 求的最小正周期. () 求在上的最大值和最小值. 17. (本小题满分12分) 设是公比为的等比数列. () 导的前项和公式; () 设1, 证明数列不是等比数列. 18. (本小题满分12分)如图, 四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是正方形, O为底面中心, A1O平面ABCD, . () 证明: A1C平面BB1D1D; () 求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角的大小. 19. (本小题满分12分) 在一场娱乐晚会上, 有5位民间歌手(1至5号)登台演唱, 由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手. 各位观众须彼此独立地在选票上选3名歌手, 其中观众甲是1号歌手的歌迷, 他必选1号, 不选2号, 另在3至5号中随机选2名. 观众乙和丙对5位歌手的演唱没有偏爱, 因此在1至5号中随机选3名歌手. () 求观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率; () X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和, 求X的分布列和数学期望. 20. (本小题满分13分)已知动圆过定点A(4,0), 且在y轴上截得的弦MN的长为8. () 求动圆圆心的轨迹C的方程; () 已知点B(1,0), 设不垂直于x轴的直线与轨迹C交于不同的两点P, Q, 若轴是的角平分线, 证明直线过定点. 21. (本小题满分14分)已知函数. () 若直线与的反函数的图像相切, 求实数的值; () 设, 讨论曲线与曲线 公共点的个数. () 设, 比较与的大小, 并说明理由. 参考答案一、选择题1D解：,所以选D 2C解：,所以选C3C解：若,为真；相反，若，则。所以“”是“a/b”的充分必要条件。另：当为零向量时，上述结论也成立。所以选C4B解：使用系统抽样方法，从840人中抽取42人，即从20人抽取1人。,所以从编号1480的人中，恰好抽取24人，接着从编号481720共240人中抽取12人。故选B5A解：该地点信号的概率=所以该地点无信号的概率是。选A6D解：对（A），若,则，所以为真。对（B），若,则互为共轭复数，所以为真。对（C），设若,则，所以为真对（D），若则为真，而，所以为假选D7B解：因为，所以又。联立两式得。所以。选B8A解：当的展开式中，常数项为。所以选A9C解：设矩形高为y, 由三角形相似得: 利用线性规划知识解得，选C10D解：代值法。对A, 设x = - 1.8, 则-x = 1, -x = 2, 所以A选项为假。对B, 设x = - 1.4, 2x = -2.8 = - 3, 2x = - 4, 所以B选项为假。对C, 设x = y = 1.8, 对A, x+y = 3.6 = 3, x + y = 2, 所以C选项为假。故D选项为真。所以选D11 9解：12 解：立体图为半个圆锥体，底面是半径为1的半圆，高为2。所以体积13 - 4解：封闭区域为三角形。令| x 1 | = 2 , 解得 ，所以三角形三个顶点坐标分别为（1,0,），（-1,2），（3,2），故2xy 在点（-1,2）取最小值 - 414 解：分n为奇数、偶数两种情况。第n个等式为。当n为偶数时，分组求和：。当n为奇数时，第n个等式=。综上，第n个等式：15（1）2 解：利用柯西不等式求解，,且仅当时取最小值 2（2） 解： （3） 解： 。所以圆的参数方程为16解：() =。最小正周期。所以最小正周期为。() .所以，f (x) 在上的最大值和最小值分别为.17解：() 分两种情况讨论。.上面两式错位相减: 。综上，() 使用反证法。设是公比q1的等比数列, 假设数列是等比数列.则当=0成立，则不是等比数列。当成立，则。这与题目条件q1矛盾。综上两种情况，假设数列是等比数列均不成立，所以当q1时, 数列不是等比数列。18解：() ；又因为，在正方形AB CD中，。 在正方形AB CD中,AO = 1 . .(证毕)() 建立直角坐标系统,使用向量解题。以O为原点，以OC为X轴正方向，以OB为Y轴正方向。则.由()知, 平面BB1D1D的一个法向量设平面OCB1的法向量为。所以，平面OCB1与平面BB1D1D的夹角为19解：() 设事件A 表示:观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手。观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙未选中3号歌手的概率为。所以P(A) = .因此，观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为() X表示3号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，则X可取0,1,2,3.观众甲选中3号歌手的概率为,观众乙选中3号歌手的概率为。当观众甲、乙、丙均未选中3号歌手时，这时X=0，P(X = 0) = .当观众甲、乙、丙中只有1人选中3号歌手时，这时X=1，P(X = 1) = .当观众甲、乙、丙中只有2人选中3号歌手时，这时X=2，P(X = 2) = .当观众甲、乙、丙均选中3号歌手时，这时X=3，P(X =3) = .X的分布列如下表：X0123P所以，数学期望20解：() A(4,0),设圆心C() 点B(1,0), .直线PQ方程为：所以，直线PQ过定点（1,0）21解：() f (x)的反函数. 设直线ykx1与相切与点 。所以() 当 x 0，m 0 时， 曲线yf (x) 与曲线 的公共点个数即方程 根的个数。由，则 h(x)在h(x). 所以对曲线yf (x) 与曲线 公共点的个数，讨论如下：当m 时,有0个公共点；当m= ,有1个公共点；当m 有2个公共点；() 设令。，且。所以
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