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动点问题所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题.关键:动中求静.数学思想:分类思想 数形结合思想 转化思想1、如图1,梯形ABCD中,AD BC,B=90,AB=14cm,AD=18cm,BC=21cm,点P从A开始沿AD边以1cm/秒的速度移动,点Q从C开始沿CB向点B以2 cm/秒的速度移动,如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t秒。当t= 时,四边形是平行四边形;6 当t= 时,四边形是等腰梯形. 82、如图2,正方形ABCD的边长为4,点M在边DC上,且DM=1,N为对角线AC上任意一点,则DN+MN的最小值为 53、如图,在中,点是的中点,过点的直线从与重合的位置开始,绕点作逆时针旋转,交边于点过点作交直线于点,设直线的旋转角为(1)当 度时,四边形是等腰梯形,此时的长为 ;OECBDAlOCBA(备用图)当 度时,四边形是直角梯形,此时的长为 ;(2)当时,判断四边形是否为菱形,并说明理由解:(1)30,1;60,1.5;(2)当=900时,四边形EDBC是菱形.=ACB=900,BC/ED. CE/AB, 四边形EDBC是平行四边形在RtABC中,ACB=900,B=600,BC=2, A=300.AB=4,AC=2. AO= .在RtAOD中,A=300,AD=2.BD=2. BD=BC. 又四边形EDBC是平行四边形,四边形EDBC是菱形 ACBEDNM图3ABCDEMN图24、在ABC中,ACB=90,AC=BC,直线MN经过点C,且ADMN于D,BEMN于E.CBAED图1NM(1)当直线MN绕点C旋转到图1的位置时,求证:ADCCEB;DE=ADBE;(2)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时,求证:DE=AD-BE;(3)当直线MN绕点C旋转到图3的位置时,试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请写出这个等量关系,并加以证明.解:(1) ACD=ACB=90 CAD+ACD=90 BCE+ACD=90 CAD=BCE AC=BC ADCCEB ADCCEB CE=AD,CD=BE DE=CE+CD=AD+BE (2) ADC=CEB=ACB=90 ACD=CBE 又AC=BC ACDCBE CE=AD,CD=BE DE=CE-CD=AD-BE(3) 当MN旋转到图3的位置时,DE=BE-AD(或AD=BE-DE,BE=AD+DE等) ADC=CEB=ACB=90 ACD=CBE, 又AC=BC, ACDCBE, AD=CE,CD=BE, DE=CD-CE=BE-AD. 5、数学课上,张老师出示了问题:如图1,四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点,且EF交正方形外角的平行线CF于点F,求证:AE=EF经过思考,小明展示了一种正确的解题思路:取AB的中点M,连接ME,则AM=EC,易证,所以在此基础上,同学们作了进一步的研究:(1)小颖提出:如图2,如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上(除B,C外)的任意一点”,其它条件不变,那么结论“AE=EF”仍然成立,你认为小颖的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由; (2)小华提出:如图3,点E是BC的延长线上(除C点外)的任意一点,其他条件不变,结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗?如果正确,写出证明过程;如果不正确,请说明理由ADFCGEB图1解:(1)正确ADFCGEBM证明:在上取一点,使,连接,是外角平分线, ADFCGEB图2, (ASA) (2)正确 证明:在的延长线上取一点使,连接 ADFCGEB图3ADFCGEBN 四边形是正方形, (ASA)6、如图, 射线MB上,MB=9,A是射线MB外一点,AB=5且A到射线MB的距离为3,动点P从M沿射线MB方向以1个单位/秒的速度移动,设P的运动时间为t. 求(1) PAB为等腰三角形的t值;(2) PAB为直角三角形的t值;(3) 若AB=5且ABM=45 ,其他条件不变,直接写出 PAB为直角三角形的t值7、如图1,在等腰梯形中,是的中点,过点作交于点,.求:(1)求点到的距离;(2)点为线段上的一个动点,过作交于点,过作交折线于点,连结,设.当点在线段上时(如图2),的形状是否发生改变?若不变,求出的周长;若改变,请说明理由;当点在线段上时(如图3),是否存在点,使为等腰三角形?若存在,请求出所有满足要求的的值;若不存在,请说明理由ADEBFC图4(备用)ADEBFC图5(备用)ADEBFC图1图2ADEBFCPNM图3ADEBFCPNM(第25题)解(1)如图1,过点作于点 为的中点, 在中, 图1ADEBFCG即点到的距离为 (2)当点在线段上运动时,的形状不发生改变 , 同理 如图2,过点作于,图2ADEBFCPNMGH 则在中,的周长= 当点在线段上运动时,的形状发生改变,但恒为等边三角形当时,如图3,作于,则类似, 是等边三角形,此时, 图3ADEBFCPNM图4ADEBFCPMN图5ADEBF(P)CMNGGRG当时,如图4,这时 此时,当时,如图5, 则又 因此点与重合,为直角三角形 此时,综上所述,当或4或时,为等腰三角形 8、如图,已知中,厘米,厘米,点为的中点(1)如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由B点向C点运动,同时,点Q在线段CA上由C点向A点运动若点Q的运动速度与点P的运动速度相等,经过1秒后,与是否全等,请说明理由;若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,能够使与全等?(2)若点Q以中的运动速度从点C出发,点P以原来的运动速度从点B同时出发,都逆时针沿三边运动,求经过多长时间点P与点Q第一次在的哪条边上相遇?AQCDBP解:(1)秒, 厘米,厘米,点为的中点, 厘米又厘米, 厘米, 又, , , , 又,则,点,点运动的时间秒, 厘米/秒。(2)设经过秒后点与点第一次相遇, 由题意,得,解得秒点共运动了厘米 ,点、点在边上相遇,经过秒点与点第一次在边上相遇9、如图所示,在菱形ABCD中,AB=4,BAD=120,AEF为正三角形,点E、F分别在菱形的边BCCD上滑动,且E、F不与BCD重合(1)证明不论E、F在BCCD上如何滑动,总有BE=CF;(2)当点E、F在BCCD上滑动时,分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化?如果不变,求出这个定值;如果变化,求出最大(或最小)值【答案】解:(1)证明:如图,连接AC四边形ABCD为菱形,BAD=120,BAE+EAC=60,FAC+EAC=60,BAE=FAC。BAD=120,ABF=60。ABC和ACD为等边三角形。ACF=60,AC=AB。ABE=AFC。在ABE和ACF中,BAE=FAC,AB=AC,ABE=AFC,ABEACF(ASA)。BE=CF。(2)四边形AECF的面积不变,CEF的面积发生变化。理由如下:由(1)得ABEACF,则SABE=SACF。S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC,是定值。作AHBC于H点,则BH=2,。由“垂线段最短”可知:当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短故AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,又SCEF=S四边形AECFSAEF,则此时CEF的面积就会最大SCEF=S四边形AECFSAEF。CEF的面积的最大值是。【考点】菱形的性质,等边三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,勾股定理,垂直线段的性质。【分析】(1)先求证AB=AC,进而求证ABC、ACD为等边三角形,得ACF =60,AC=AB,从而求证ABEACF,即可求得BE=CF。(2)由ABEACF可得SABE=SACF,故根据S四边形AECF=SAEC+SACF=SAEC+SABE=SABC即可得四边形AECF的面积是定值。当正三角形AEF的边AE与BC垂直时,边AE最短AEF的面积会随着AE的变化而变化,且当AE最短时,正三角形AEF的面积会最小,根据SCEF=S四边形AECFSAEF,则CEF的面积就会最大。10、如图,在AOB中,AOB=90,OA=OB=6,C为OB上一点,射线CDOB交AB于点D,OC=2点P从点A出发以每秒个单位长度的速度沿AB方向运动,点Q从点C出发以每秒2个单位长度的速度沿CD方向运动,P、Q两点同时出发,当点P到达到点B时停止运动,点Q也随之停止过点P作PEOA于点E,PFOB于点F,得到矩形PEOF以点Q为直角顶点向下作等腰直角三角形QMN,斜边MNOB,且MN=QC设运动时间为t(单位:秒)(1)求t=1时FC的长度(2)求MN=PF时t的值(3)当QMN和矩形PEOF有重叠部分时,求重叠(阴影)部分图形面积S与t的函数关系式(4)直接写出QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值考点:相似形综合题709388 分析:(1)根据等腰直角三角形,可得,OF=EP=t,再将t=1代入求出FC的长度;(2)根据MN=PF,可得关于t的方程6t=2t,解方程即可求解;(3)分三种情况:求出当1t2时;当2t时;当t3时;求出重叠(阴影)部分图形面积S与t的函数关系式;(4)分M在OE上;N在PF上两种情况讨论求得QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t的值解答:解:(1)根据题意,AOB、AEP都是等腰直角三角形,OF=EP=t,当t=1时,FC=1;(2)AP=t,AE=t,PF=OE=6tMN=QC=2t6t=2t解得t=2故当t=2时,MN=PF;(3)当1t2时,S=2t24t+2;当2t时,S=t2+30t32;当t3时,S=2t2+6t;(4)QMN的边与矩形PEOF的边有三个公共点时t=2或点评:考查了相似形综合题,涉及的知识有等腰直角三角形的性质,图形的面积计算,函数思想,方程思想,分类思想的运用,有一定的难度
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