正方形的性质与判定课件.ppt

想一想 你觉得什么样的四边形是正方形呢 矩形 正方形 矩形怎样变化后就成了正方形呢 探究 一 有一组邻边相等 菱形怎样变化后就成了正方形呢 正方形 1 要使一个菱形成为正方形需增加的条件是 填上一个条件即可 有一个角是直角 探究小结 矩形 正方形 邻边 相等 发现 一组邻边相等的矩形叫正方形 一个角 是直角 正方形 发现 一个角为直角的菱形叫正方形 正方形定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 拓展讨论 讨论总结 正方形有那些性质 知识点一 正方形的性质 观察思考 正方形是中心对称图形吗 A C D B A C D B A C D B O 对边平行 四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等 每条对角线平分一组对角 四边形ABCD是正方形 AB CDAD BC AB BC CD AD 四边形ABCD是正方形 A B C D 90 四边形ABCD是正方形 AC BD AC BD OA OB OC OD 轴对称图形中心对称图形 二 正方形的性质的应用 例1 如图 正方形ABCD中 1 一条对角线把它分成个全等的三角形 问 这些三角形是什么三角形 2 两条对角线把它分成个全等的三角形 2 4 等腰直角 A B D C O 3 对角线AC与正方形的一边所成的角为度 45 例2 如图 正方形ABCD中 正方形的面积为64平方厘米 则正方形对角线AC 试一试 相信你很棒 1 正方形具有而菱形不一定具有的性质是 A 对角线互相垂直B 对角线互相平分C 对角线相等D 对角线平分一组对角 C 2 已知正方形的一条边长为2cm 则这个正方形的周长为 对角线长为 面积为 8cm 3 正方形的对角线和它的边所成的角是度 45 4 已知正方形的一条对角线长为4cm 则它的边长为 面积为 5 已知正方形ABCD中 对角线AC 10cm P为AB上任意一点 PE AC PF BD E F为垂足 则PE PF 5cm A B C D F P E O 例 求证 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形 A D C B O 已知 如图 四边形ABCD是正方形 对角线AC BD相交于点O 求证 ABO BCO CDO DAO是全等的等腰直角三角形 证明 四边形ABCD是正方形 AC BD 即 AOB BOC COD DOA 90 AO BO CO DO ABO BCO CDO DAO都是等腰直角三角形 并且 ABO BCO CDO DAO SAS A D C B O 正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形 拓展讨论 结论 分成八个等腰直角三角形 分别是 ABC ADC ABD BCD AOB BOC COD DOA 平行四边形 矩形 菱形 正方形 正方形 矩形 菱形 平行四边形四者之间有什么关系 小结 知识拓展 与同学讨论后填写下表 几种特殊四边形的性质 对边平行且相等 对边平行且相等 对边平行 四边都相等 对边平行 四条边都相等 对角相等 邻角互补 四个角都是直角 对角相等 邻角互补 四个角都是直角 对角线互相平分 对角线相等且互相平分 对角线互相垂直平分 每条对角线平分一组对角 对角线互相垂直平分且相等 每条对角线平分一组对角 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 轴对称图形 中心对称图形 知识点二 正方形的判定 有一组邻边相等 有一个角是直角 有一组邻边相等 有一个角是直角 平行四边形 有一个角是直角 有一组邻边相等 图形之间的变化关系 正方形的判定方法 2 有一组邻边相等的矩形是正方形 3 有一个角是直角的菱形是正方形 1 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 巩固练习 判断下列命题是否正确 不是正方形的补充什么条件能让它成为正方形 四个角都相等的四边形是正方形 四条边都相等的四边形是正方形 对角线相等的菱形是正方形 对角线互相垂直的矩形是正方形 对角线垂直且相等的四边形是正方形 四边相等 有一个角是直角的四边形是正方形 已知 正方形ABCD中 点E F G H分别在AB BC CD DA上 且AE BF CG DH 试判断四边形EFGH是正方形吗 为什么 例题教学 证明 四边形ABCD是正方形 ABC BCD 90 AB AD DC BC 正方形的四条边都相等 四个角都是直角 又 AE BF CG DH AB AE AD DH DC CG BC BF即BE AH DG CF AEH BFE CGF DHG EH EF FG GH 四边形EFGH是菱形又 3 2 90 且 1 3 1 2 90 EFG 90 四边形EFGH是正方形 有一个角是直角的菱形是矩形 练习 如图 四边形 是正方形 分别是四边的中点 你知道四边形EFGH的形状吗 为什么 2 已知 如图 ABC中 ABC 90 BD是角平分线 DE AB DF BC 垂足分别是E F 试说明 四边形DEBF是正方形 解 DF BC DE AB DEB DFB 90 又 ABC 90 四边形DEBF是矩形 BD平分 ABC DF BC DE AB DE DF 四边形DEBF是正方形 如图 在矩形 中 四个角的平分线相交于点 试说明四边形EFGH是正方形 小结 1 正方形定义 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2 正方形有那些性质 对边平行 四条边都相等 四个角都是直角 对角线互相垂直平分且相等 每条对角线平分一组对角等于45 边 角 对角线 3 正方形有那些判定方法 请各同学根据自己的实际具体分类 正方形的判定方法 2 有一组邻边相等的矩形是正方形 3 有一个角是直角的菱形是正方形 1 一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形 例 正方形ABCD中 DAF 25 AF交对角线BD于E 交CD于F 求 BEC的度数 A B C D E F 25 30 例3 已知 如图 4 在正方形ABCD中 F为CD延长线上一点 CE AF于E 交AD于M 求证 MFD 45 分析 欲证 MFD 45 由于 MDF是直角三角形 只须证 MDF是等腰三角形 即只要证 要证MD FD 大家只须证得哪两个三角形全等 CMD ADF 练习 如图 5 在AB上取一点C 以AC BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF BD延长BD交AF于H 求证 1 ACF DCB 2 BH AF 证明 如图 已知四边形ABCD和四边形DEFG是正方形 那么线段AE和CG有什么大小关系 请说明理由 1 2 3 例题赏析 在正方形ABCD中 AC是对角线 AE平分 BAC 试猜想AB BE AC之间的大小关系 并证明你的猜想 例2 如图 3 正方形ABCD中 AC BD相交于O 分析 要证明BM CN MN AB且MN分别交OA OB于M N 求证 BM CN AB BC 1 2 45 AM BN ABM BCN 正方形ABCD OM ON OMN ONM 45 活动与探索 如图正方形ABCD的边长为1 E F分别为BC CD上的点 若BE DF EF 求证 EAF 450 变式 如图 正方形ABCD的边长为4 点E F分别在BC CD上 EAF 450 CEF的面积为 求 AEF的面积