高中数学第二章平面向量2.4向量的应用课件新人教B版.ppt

2 4向量的应用 1 会用向量方法计算或证明平面几何和解析几何中的相关问题 2 会用向量方法处理物理中有关力 速度等矢量的合成与分解的问题 1 2 3 1 向量在平面几何中的应用 1 证明线段相等 转化为证明向量的长度相等 求线段的长 转化为求向量的长度 2 证明线段 直线平行 转化为证明向量共线 3 证明线段 直线垂直 转化为证明向量的数量积为零 4 几何中与角相关的问题 转化为向量的夹角问题 5 对于有关长方形 正方形 直角三角形等平面几何问题 通常以相互垂直的两边所在的直线分别为x轴和y轴 建立平面直角坐标系 通过代数 坐标 运算解决平面几何问题 1 2 3 做一做1 1 在四边形ABCD中 若 则四边形ABCD是 A 平行四边形B 梯形C 菱形D 矩形解析 由 得AB CD且AB CD 故四边形ABCD为梯形 故选B 答案 B 1 2 3 答案 等边三角形 1 2 3 2 向量在解析几何中的应用 1 若直线l的倾斜角为 斜率为k 向量a m n 平行于l 则k 则向量 m n 一定与该直线平行 2 向量 1 k 与直线l y kx b平行 3 与a m n 平行 且过点P x0 y0 的直线方程为n x x0 m y y0 0 4 过点P x0 y0 且与向量a m n 垂直的直线方程为m x x0 n y y0 0 1 2 3 做一做2 1 已知直线l mx 2y 6 0 向量 1 m 1 与l平行 则实数m的值为 A 1B 1C 2D 1或2答案 D 做一做2 2 过点A 3 2 且垂直于向量n 5 3 的直线方程是 答案 5x 3y 21 0 1 2 3 3 向量在物理中的应用 1 力是具有大小 方向和作用点的向量 它与自由向量有所不同 大小和方向相同的两个力 如果作用点不同 那么它们是不相等的 但是 在不考虑作用点的情况下 可用向量求和的平行四边形法则求作用于同一点的两个力的合力 2 速度是具有大小和方向的向量 因而可用三角形和平行四边形法则 求两个速度的合速度 归纳总结1 求力向量 速度向量常用的方法 向量几何法 借助于向量求和的平行四边形法则求解 2 用向量方法解决物理问题的步骤 1 把物理问题中的相关量用向量表示 2 转化为向量问题的模型 通过向量运算使问题解决 3 把结果还原为物理问题 1 2 3 做一做3 已知两个力F1 F2的夹角为90 它们的合力大小为10N 合力与F1的夹角为60 则F1的大小为 解析 F1 F cos60 5 N 答案 B 2 教材中的 探索与研究 利用向量与向量平行 垂直的条件 再次研究两条直线l1 A1x B1y C1 0 l2 A2x B2y C2 0平行和垂直的条件 以及如何求出两条直线夹角 的余弦 结论 l1 l2 或重合 A1B2 A2B1 0 l1 l2 A1A2 B1B2 0 剖析直线l1 A1x B1y C1 0的方向向量为n1 B1 A1 直线l2 A2x B2y C2 0的方向向量为n2 B2 A2 若l1 l2 则n1 n2 从而有 B1A2 A1B2 即A1B2 A2B1 0 若l1 l2 则n1 n2 0 从而有B1B2 A1A2 0 所以直线l1 l2 A1B2 A2B1 0 直线l1 l2 A1A2 B1B2 0 因为n1 n2 A1A2 B1B2 题型一 题型二 题型三 例1 如图 已知AD BE CF是 ABC的三条高 DG BE于G DH CF于H 求证 HG EF 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思用向量解决平面几何问题的步骤如下 1 建立平面几何与向量的联系 即用向量表示问题中涉及的几何元素 从而将平面几何问题转化为向量问题 2 通过向量运算 线性运算 数量积运算 研究几何元素之间的关系 如距离 夹角等 3 把向量运算结果翻译成几何关系 题型一 题型二 题型三 变式训练1 如图 若D是 ABC内的一点 且AB2 AC2 DB2 DC2 求证 AD BC 则a e c b e d a2 b2 e c 2 e d 2 c2 2e c 2e d d2 由已知a2 b2 c2 d2 c2 2e c 2e d d2 c2 d2 e c d 0 题型一 题型二 题型三 例2 过点A 2 1 求 1 与向量a 3 1 平行的直线方程 2 与向量b 1 2 垂直的直线方程 题型一 题型二 题型三 解 设所求直线上任意一点P的坐标为 x y x 2 1 3 y 1 0 即x 3y 5 0 所求直线方程为x 3y 5 0 x 2 1 y 1 2 0 即x 2y 4 0 所求直线方程为x 2y 4 0 反思已知直线l的方程Ax By C 0 A2 B2 0 则向量 A B 与直线l垂直 即向量 A B 为直线l的法向量 向量 B A 与l平行 题型一 题型二 题型三 变式训练2 已知 ABC的三个顶点A 0 4 B 4 0 C 6 2 点D E F分别为边BC CA AB的中点 1 求直线DE EF FD的方程 2 求AB边上的高线CH所在的直线方程 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 例3 一条河的两岸平行 河的宽度为d 500m 一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处 船的航行速度为 1 10km h 水流速度为 2 4km h 1 试求 1与 2的夹角 精确到1 及船垂直到达对岸所用的时间 精确到0 1min 2 要使船到达对岸所用时间最少 1与 2的夹角应为多少 分析若船 相对于河岸 的航行路线不能与河岸垂直 则船速的方向不能与河岸垂直 原因是船的实际航行速度是船本身 相对于河水 的速度与水流速度的合速度 题型一 题型二 题型三 题型一 题型二 题型三 反思注意 速度 是一个向量 既有大小又有方向 结合具体问题 在理解向量知识和应用两方面下功夫 将物理量之间的关系抽象成数学模型 然后通过对这个数学模型的研究解释相关物理现象 题型一 题型二 题型三 变式训练3 已知三个力f1 2 1 f2 3 2 f3 4 3 同时作用于某一物体上的一点 为使物体保持平衡 现加上一个力f4 则f4等于 A 1 2 B 1 2 C 1 2 D 1 2 解析 由题意可知f4 f1 f2 f3 2 1 3 2 4 3 1 2 1 2 答案 D 1 2 3 4 5 6 1 点P是 ABC所在平面内一点 若其中 R 则点P一定在 A ABC内部B AC边所在的直线上C AB边所在的直线上D BC边所在的直线上解析 由故点P在直线AC上 答案 B 1 2 3 4 5 6 2 若向量n与直线l垂直 则称向量n为直线l的法向量 则直线x 2y 3 0的一个法向量为 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 由a n 0 可知应选A 答案 A 1 2 3 4 5 6 3 在重600N的物体上系两根绳子 与铅垂线的夹角分别为30 60 重物平衡时 两根绳子拉力的大小分别为 答案 C 1 2 3 4 5 6 4 经过点A 3 2 且与直线l 4x 3y 9 0平行的直线方程为 答案 4x 3y 6 0 1 2 3 4 5 6 5 已知两个粒子A B从同一点发射出来 在某一时刻 它们的位移分别为sa 4 3 sb 3 4 则sa在sb方向上的射影的数量为 1 2 3 4 5 6 6 如图 已知 ABCD是菱形 AC和BD是它的两条对角线 求证 AC BD 1 2 3 4 5 6