中考数学 第二轮 专题突破 能力提升 专题5 折叠问题课件.ppt

数学 专题5折叠问题 折叠操作就是将图形的一部分沿着一条直线翻折180 使它与另一部分图形在这条直线的同旁与其重叠或不重叠 其中 折 是过程 叠 是结果 折叠的问题的实质是图形的轴对称变换 折叠更突出了轴对称知识的应用 折叠 或翻折 在三大图形变换中是比较重要的 考查的较多 无论是选择题 填空题 还是解答题都有以折叠为背景的试题 常常把矩形 正方形的纸片放置于直角坐标系中 与函数 直角三角形 相似形等知识结合 贯穿其他几何 代数知识来设题 根据轴对称的性质可以得到 折叠重合部分一定全等 折痕所在直线就是这两个全等形的对称轴 互相重合两点 对称点 之间的连线必被折痕垂直平分 对称两点与对称轴上任意一点连结所得的两条线段相等 对称线段所在的直线与对称轴的夹角相等 在解题过程中要充分运用以上结论 借助辅助线构造直角三角形 结合相似形 锐角三角函数等知识来解决有关折叠问题 1 以下四种沿AB折叠的方法中 不一定能判定纸带两条边线a b互相平行的是 A 如图1 展开后测得 1 2B 如图2 展开后测得 1 2且 3 4C 如图3 测得 1 2D 如图4 展开后再沿CD折叠 两条折痕的交点为O 测得OA OB OC OD 解析 根据折叠后图形的不变性得出等量关系 对每一选项逐一进行判断 C 2 如图 矩形ABCD中 AB 3 BC 5 点P是BC边上的一个动点 点P与点B C都不重合 现将 PCD沿直线PD折叠 使点C落到点F处 过点P作 BPF的角平分线交AB于点E 设BP x BE y 则下列图象中 能表示y与x的函数关系的图象大致是 解析 利用折叠的性质 说明 BEP与 CPD相似 得出y与x的关系式 C 4 如图 E是矩形ABCD中BC边的中点 将 ABE沿AE折叠到 AEF F在矩形ABCD内部 延长AF交DC于G点 若 AEB 55 求 DAF的度数 解析 由 ABE沿AE折叠到 AEF 得出 BAE FAE 由 AEB 55 ABE 90 求出 BAE 解 ABE沿AE折叠到 AEF BAE FAE AEB 55 ABE 90 BAE 90 55 35 DAF BAD BAE FAE 90 35 35 20 5 如图 在边长为6的正方形ABCD中 E是边CD的中点 将 ADE沿AE对折至 AFE 延长EF交BC于点G 连结AG 1 求证 ABG AFG 2 求tan EGC的值 解析 1 根据正方形和折叠对称的性质 应用HL即可证明 ABG AFG HL 2 根据全等三角形的性质 得到BG FG 设BG FG x 将GC和EG用x的代数式表示 从而在Rt CEG中应用勾股定理列方程求解即可 8 2017 预测 如图 在边长为2的菱形ABCD中 A 60 点M是AD边的中点 连结MC 将菱形ABCD翻折 使点A落在线段CM上的点E处 折痕交AB于点N 求线段EC的长 解析 过点M作MF DC于点F 根据在边长为2的菱形ABCD中 A 60 M为AD中点 得到2MD AD CD 2 从而得到 FDM 60 FMD 30 进而利用锐角三角函数关系求出EC的长即可 9 原创题 如图 正方形ABCD的边长为9 将正方形折叠 使顶点D落在BC边上的点E处 折痕为GH 若BE EC 2 1 求线段CH的长 解析 根据折叠的性质可得DH EH 在直角 CEH中 若设CH x 则DH EH 9 x CE 3 可以根据勾股定理列出方程 从而解出CH的长 10 2016 绍兴 如图 矩形ABCD中 AB 4 BC 2 E是AB的中点 直线l平行于直线EC 且直线l与直线EC之间的距离为2 点F在矩形ABCD边上 将矩形ABCD沿直线EF折叠 使点A恰好落在直线l上 求DF的长 12 将一张宽为4cm的长方形纸片 足够长 折叠成如图所示图形 重叠部分是一个三角形 1 判断该三角形的类型 并证明你的结论 2 求这个三角形面积的最小值 解析 当AC AB时 重叠三角形面积最小 此时 ABC是等腰直角三角形 13 如图 已知正方形ABCD的边长为12 BE EC 将正方形边CD沿DE折叠到DF 延长EF交AB于点G 连结DG 求 BEF的面积 解析 由折叠和正方形的性质 在Rt BEG中 由勾股定理求出AG后再求 BGE的面积 最后由 BEF与 BGE的面积关系求 BEF的面积 15 如图 在矩形ABCD中 E是AB边的中点 沿EC对折矩形ABCD 使B点落在点P处 折痕为EC 连结AP并延长AP交CD于点F 1 求证 四边形AECF为平行四边形 2 若 AEP是等边三角形 连结BP 求证 APB EPC 3 若矩形ABCD的边AB 6 BC 4 求 CPF的面积 解析 1 由折叠的性质得到BE PE EC与PB垂直 利用两组对边分别平行的四边形为平行四边形即可得证 2 由折叠的性质及邻补角定义得到一对角相等 根据同角的余角相等得到一对角相等 再由AP EB 利用AAS即可得证 3 过P作PM CD 分别求出高PM和底边FC 利用三角形面积公式求解 16 如图1 在矩形ABCD中 AB 4 AD 3 将矩形沿直线AC折叠 使点B落在点E处 AE交CD于点F 连结DE 1 求证 DEC EDA 2 求DF的值 3 如图2 若P为线段EC上一动点 过点P作 AEC的内接矩形 使其顶点Q落在线段AE上 顶点M N落在线段AC上 当线段PE的长为何值时 矩形PQMN的面积最大 并求出其最大值 解决折叠问题时 一是要对图形折叠有准确定位 抓住图形之间最本质的位置关系 从点 线 面三个方面入手 发现其中变化的量和不变的量 发现图形中的数量关系 二是要把握折叠的变化规律 充分挖掘图形的几何性质 将其中基本的数量关系用方程的形式表达出来