广西2020版高考数学一轮复习 第六章 数列 6.3 等比数列及其前n项和课件 文.ppt

6 3等比数列及其前n项和 知识梳理 双基自测 2 1 1 等比数列 1 等比数列的定义一般地 如果一个数列从第项起 每一项与它的前一项的比等于 那么这个数列叫做等比数列 这个常数叫做等比数列的 公比通常用字母表示 数学 2 同一个常数 公比 q q 0 知识梳理 双基自测 2 1 2 等比中项如果a G b成等比数列 那么G叫做a与b的等比中项 即 G是a与b的等比中项 a G b成等比数列 3 等比数列的通项公式an 可推广为an 4 等比数列的前n项和公式 G2 ab a1qn 1 amqn m 知识梳理 双基自测 2 1 2 等比数列及其前n项和的性质 1 若k l m n k l m n N 则ak al 若m n 2k 则 2 相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列 即ak ak m ak 2m 仍是等比数列 公比为 3 若 an bn 项数相同 是等比数列 则 am an qm 知识梳理 双基自测 2 1 当q 0时 an 为摆动数列 5 当q 1或q 1 且n为奇数时 Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比数列 其公比为 递增 递减 常 qn 2 知识梳理 双基自测 3 4 1 5 1 下列结论正确的打 错误的打 1 满足an 1 qan n N q为常数 的数列 an 为等比数列 2 G为a b的等比中项 G2 ab 3 等比数列中不存在数值为0的项 4 若 an 为等比数列 bn a2n 1 a2n 则数列 bn 也是等比数列 5 若数列 an 为等比数列 则数列 lnan 是等差数列 6 若数列 an 的通项公式是an an 则其前n项和为 答案 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 5 2 中国古代数学著作 算法统宗 中有这样一个问题 三百七十八里关 初行健步不为难 次日脚痛减一半 六朝才得到其关 要见次日行里数 请公仔细算相还 其大意为 有一个人走了378里路 第一天健步行走 从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半 走了6天后到达目的地 问此人第4天和第5天共走了 A 60里B 48里C 36里D 24里 答案 解析 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 5 3 已知 an 为等差数列 公差为1 且a5是a3与a11的等比中项 Sn是 an 的前n项和 则S12的值为 A 21B 42C 63D 54 答案 解析 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 5 4 2018四川凉山一诊 在各项均为正数的等比数列 an 中 a2a3 16 则数列 log2an 的前4项和等于 答案 解析 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 5 5 在等比数列 an 中 已知a5 a1 15 a4 a2 6 若公比q 1 则a3 答案 解析 知识梳理 双基自测 2 3 4 1 5 考点1 考点2 考点3 考点4 例1 1 设 an 是由正数组成的等比数列 Sn为其前n项和 已知a2a4 1 S3 7 则S5等于 2 2017全国 理14 设等比数列 an 满足a1 a2 1 a1 a3 3 则a4 思考解决等比数列基本运算问题的常见思想方法有哪些 答案 1 B 2 8 3 32 考点1 考点2 考点3 考点4 解析 1 由题意可知公比q 1 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得解决等比数列有关问题的常见思想方法 1 方程的思想 等比数列中有五个量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 求关键量a1和q 问题可迎刃而解 2 分类讨论的思想 因为等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论 所以当某一参数为公比进行求和时 就要对参数是否为1进行分类求和 3 整体思想 应用等比数列前n项和公式时 常把qn或当成整体进行求解 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练1 1 已知公比q 1的等比数列 an 的前n项和Sn a1 1 S3 3a3 则S5 2 在等比数列 an 中 a3 3a2 2 且5a4为12a3和2a5的等差中项 则 an 的公比q等于 A 3B 2或3C 2D 6 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 例2已知数列 an 的前n项和Sn 1 an 其中 0 1 证明 an 是等比数列 并求其通项公式 思考判断或证明一个数列是等比数列有哪些方法 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得1 判断数列 an 为等比数列的方法 2 解答选择题 填空题时也可用如下方法 1 通项公式法 若数列通项公式可写成an c qn c q均是不为0的常数 n N 则数列 an 是等比数列 2 前n项和法 若Sn kqn k k为常数 且k 0 q 0 1 则数列 an 为等比数列 3 若证明一个数列不是等比数列 则可用反证法证明存在相邻三项不成等比数列即可 一般证明 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练2已知数列 an 的前n项和为Sn 在数列 bn 中 b1 a1 bn an an 1 n 2 且an Sn n 1 设cn an 1 求证 cn 是等比数列 2 求数列 bn 的通项公式 1 证明 an Sn n an 1 Sn 1 n 1 得an 1 an an 1 1 2an 1 an 1 2 an 1 1 an 1 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1 考点2 考点3 考点4 考向一等比数列项的性质的应用例3 1 在由正数组成的等比数列 an 中 若a3a4a5 3 则sin log3a1 log3a2 log3a7 的值为 2 在正项等比数列 an 中 已知a1a2a3 4 a4a5a6 12 an 1anan 1 324 则n 思考经常用等比数列的哪些性质简化解题过程 答案 考点1 考点2 考点3 考点4 考点1 考点2 考点3 考点4 考向二等比数列前n项和的性质的应用例4设等比数列 an 的前n项和为Sn 若S2 3 S4 15 则S6 A 31B 32C 63D 64思考本题应用什么性质求解比较简便 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得1 在解答等比数列的有关问题时 为简化解题过程常常利用等比数列项的如下性质 1 通项公式的推广 an amqn m 2 等比中项的推广与变形 am an m n 2p 及ak al am an k l m n 2 对已知条件为等比数列的前几项和 求其前多少项和的问题 应用公比不为 1的等比数列前n项和的性质 Sn S2n Sn S3n S2n仍成等比数列比较简便 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练3 1 已知在各项均为正数的等比数列 an 中 a5 a6 4 则数列 log2an 的前10项和为 A 5B 6C 10D 12 2 已知等比数列 an 的首项a1 1 其前n项和为Sn 若 则公比q 答案 解析 考点1 考点2 考点3 考点4 例5已知等差数列 an 的前n项和为Sn 等比数列 bn 的前n项和为Tn a1 1 b1 1 a2 b2 2 1 若a3 b3 5 求 bn 的通项公式 2 若T3 21 求S3 思考解决等差数列 等比数列的综合问题的基本思路是怎样的 考点1 考点2 考点3 考点4 解 设 an 的公差为d bn 的公比为q 则an 1 n 1 d bn qn 1 由a2 b2 2 得d q 3 1 由a3 b3 5 得2d q2 6 因此 bn 的通项公式为bn 2n 1 2 由b1 1 T3 21 得q2 q 20 0 解得q 5或q 4 当q 5时 由 得d 8 则S3 21 当q 4时 由 得d 1 则S3 6 考点1 考点2 考点3 考点4 解题心得等差数列和等比数列的综合问题 涉及的知识面很广 题目的变化也很多 但是万变不离其宗 只要抓住基本量a1 d q 充分运用方程 函数 转化等数学思想方法 合理调用相关知识 就不难解决这类问题 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练4已知等差数列 an 满足 a1 2 且a1 a2 a5成等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 记Sn为数列 an 的前n项和 是否存在正整数n 使得Sn 60n 800 若存在 求n的最小值 若不存在 说明理由 解 1 设数列 an 的公差为d 依题意 2 2 d 2 4d成等比数列 故有 2 d 2 2 2 4d 化简得d2 4d 0 解得d 0或d 4 当d 0时 an 2 当d 4时 an 2 n 1 4 4n 2 从而得数列 an 的通项公式为an 2或an 4n 2 考点1 考点2 考点3 考点4 2 当an 2时 Sn 2n 显然2n60n 800成立 当an 4n 2时 令2n2 60n 800 即n2 30n 400 0 解得n 40或n60n 800成立 n的最小值为41 综上 当an 2时 不存在满足题意的n 当an 4n 2时 存在满足题意的n 其最小值为41 考点1 考点2 考点3 考点4 1 等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题 数列中有五个量a1 n q an Sn 一般可以 知三求二 通过列方程 组 便可迎刃而解 2 判定等比数列的方法 2 通项公式法 an cqn 1 c q均是不为零的常数 n N an 是等比数列 3 等比中项法 an an 2 an an 1 an 2 0 n N an 是等比数列 考点1 考点2 考点3 考点4 3 求解等比数列问题常用的数学思想 1 方程思想 如求等比数列中的基本量 2 分类讨论思想 如求和时要分q 1和q 1两种情况讨论 判断单调性时对a1与q分类讨论 1 在等比数列中 易忽视每一项与公比都不为0 2 求等比数列的前n项和时 易忽略q 1这一特殊情形 审题答题指导 如何理解条件和转化条件典例在等差数列 an 中 a3 a4 a5 84 a9 73 1 求数列 an 的通项公式 2 对任意m N 将数列 an 中落入区间 9m 92m 内的个数记为bm 求数列 bm 的前m项和Sm 审题要点 1 题干中已知条件有三个 数列 an 是等差数列 和两个等式 2 第 2 问中所含条件可理解为 数列 an 的各项在所给区间的项数为bm 3 第 2 问中条件的转化方法 文字语言转化为符号语言 即求满足9m an 92m的n的范围 解 1 设等差数列 an 的公差为d 由a3 a4 a5 84 可得3a4 84 即a4 28 而a9 73 则5d a9 a4 45 即d 9 又a1 a4 3d 28 27 1 an 1 n 1 9 9n 8 即an 9n 8 反思提升本题第 2 问设置了落入区间内的项的个数构成新数列 这是对考生数学能力的挑战 由通项公式及已知区间建立不等式求项数 进而得到所求数列 bm 的通项公式是解答该问题的核心与关键