北师大数学6.2 第2课时 反比例函数的性质ppt课件

第六章反比例函数 6 2反比例函数的图象与性质 第2课时反比例函数的性质 关注 初中教师园地 公众号2019秋季各科最新备课资料陆续推送中快快告诉你身边的小伙伴们吧 1 掌握反比例函数的图象和性质 重点 2 能够初步应用反比例函数的图象和性质解题 重点 3 理解反比例函数的系数k的几何意义 并将其灵活运用于坐标系中图形的面积计算中 重点 难点 4 能够解决反比例函数与一次函数的综合性问题 重点 难点 学习目标 反比例函数的图象是什么 反比例函数的性质是什么 能类比前面学习的一次函数得到吗 反比例函数的图象是双曲线 复习引入 问题1 问题2 导入新课 例1画反比例函数与的图象 合作探究 提示 画函数的图象步骤一般分为 列表 描点 连线 需要注意的是在反比例函数中自变量x不能为0 讲授新课 解 列表如下 1 1 2 1 5 2 3 6 6 3 2 1 5 1 2 1 2 2 4 3 4 6 6 4 3 2 4 2 12 12 O 2 描点 以表中各组对应值作为点的坐标 在直角坐标系内描绘出相应的点 5 6 x y 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 3 4 1 5 6 1 2 3 4 5 6 连线 用光滑的曲线顺次连接各点 即可得的图象 观察这两个函数图象 回答问题 思考 1 每个函数图象分别位于哪些象限 2 在每一个象限内 随着x的增大 y如何变化 你能由它们的解析式说明理由吗 3 对于反比例函数 k 0 考虑问题 1 2 你能得出同样的结论吗 由两条曲线组成 且分别位于第一 三象限它们与x轴 y轴都不相交 在每个象限内 y随x的增大而减小 反比例函数 k 0 的图象和性质 观察与思考 当k 2 4 6时 反比例函数的图象 有哪些共同特征 回顾上面我们利用函数图象 从特殊到一般研究反比例函数 k 0 的性质的过程 你能用类似的方法研究反比例函数 k 0 的图象和性质吗 反比例函数 k 0 的图象和性质 由两条曲线组成 且分别位于第二 四象限它们与x轴 y轴都不相交 在每个象限内 y随x的增大而增大 归纳 1 当k 0时 双曲线的两支分别位于第一 三象限 在每一象限内 y随x的增大而减小 2 当k 0时 双曲线的两支分别位于第二 四象限 在每一象限内 y随x的增大而增大 一般地 反比例函数的图象是双曲线 它具有以下性质 点 2 y1 和 3 y2 在函数上 则y1y2 填 或 练一练 例2已知反比例函数 y随x的增大而增大 求a的值 解 由题意得a2 a 7 1 且a 1 0 解得a 3 练一练 已知反比例函数在每个象限内 y随着x的增大而减小 求m的值 解 由题意得m2 10 1 且3m 8 0 解得m 3 例3已知反比例函数的图象经过点A 2 6 1 这个函数的图象位于哪些象限 y随x的增大如何变化 解 因为点A 2 6 在第一象限 所以这个函数的图象位于第一 三象限 在每一个象限内 y随x的增大而减小 2 点B 3 4 C D 2 5 是否在这个函数的图象上 解 设这个反比例函数的解析式为 因为点A 2 6 在其图象上 所以有 解得k 12 因为点B C的坐标都满足该解析式 而点D的坐标不满足 所以点B C在这个函数的图象上 点D不在这个函数的图象上 所以反比例函数的解析式为 1 图象的另一支位于哪个象限 常数m的取值范围是什么 例4如图 是反比例函数图象的一支 根据图象 回答下列问题 解 因为这个反比例函数图象的一支位于第一象限 所以另一支必位于第三象限 由因为这个函数图象位于第一 三象限 所以m 5 0 解得m 5 2 在这个函数图象的某一支上任取点A x1 y1 和点B x2 y2 如果x1 x2 那么y1和y2有怎样的大小关系 解 因为m 5 0 所以在这个函数图象的任一支上 y都随x的增大而减小 因此当x1 x2时 y1 y2 练一练 已知反比例函数的图象经过点A 2 3 1 求这个函数的表达式 解 反比例函数的图象经过点A 2 3 把点A的坐标代入表达式 得 解得k 6 这个函数的表达式为 2 判断点B 1 6 C 3 2 是否在这个函数的图象上 并说明理由 解 分别把点B C的坐标代入反比例函数的解析式 因为点B的坐标不满足该解析式 点C的坐标满足该解析式 所以点B不在该函数的图象上 点C在该函数的图象上 3 当 3 x 1时 求y的取值范围 解 当x 3时 y 2 当x 1时 y 6 且k 0 当x 0时 y随x的增大而减小 当 3 x 1时 6 y 2 1 在反比例函数的图象上分别取点P Q向x轴 y轴作垂线 围成面积分别为S1 S2的矩形 填写下页表格 合作探究 5 P S1 S2 4 4 S1 S2 S1 S2 k 5 4 3 2 1 4 3 2 3 2 4 5 1 Q 2 若在反比例函数中也用同样的方法分别取P Q两点 填写表格 4 4 S1 S2 S1 S2 k S1 S2 由前面的探究过程 可以猜想 若点P是图象上的任意一点 作PA垂直于x轴 作PB垂直于y轴 矩形AOBP的面积与k的关系是S矩形AOBP k S 我们就k 0的情况给出证明 设点P的坐标为 a b A B 点P a b 在函数的图象上 即ab k S矩形AOBP PB PA a b ab k 若点P在第二象限 则a0 若点P在第四象限 则a 0 b 0 S矩形AOBP PB PA a b ab k 综上 S矩形AOBP k 自己尝试证明k 0的情况 点Q是其图象上的任意一点 作QA垂直于y轴 作QB垂直于x轴 矩形AOBQ的面积与k的关系是S矩形AOBQ 推理 QAO与 QBO的面积和k的关系是S QAO S QBO Q 对于反比例函数 A B k 归纳 反比例函数的面积不变性 A SA SB SCB SA SB SCC SA SB SCD SA SC SB 1 如图 在函数 x 0 的图像上有三点A B C 过这三点分别向x轴 y轴作垂线 过每一点所作的两条垂线与x轴 y轴围成的矩形的面积分别为SA SB SC 则 C 练一练 2 如图 过反比例函数图象上的一点P 作PA x轴于A 若 POA的面积为6 则k 12 提示 当反比例函数图象在第二 四象限时 注意k 0 3 若点P是反比例函数图象上的一点 过点P分别向x轴 y轴作垂线 垂足分别为点M N 若四边形PMON的面积为3 则这个反比例函数的关系式是 或 例5如图 P C是函数 x 0 图像上的任意两点 过点P作x轴的垂线PA 垂足为A 过点C作x轴的垂线CD 垂足为D 连接OC交PA于点E 设 POA的面积为S1 则S1 梯形CEAD的面积为S2 则S1与S2的大小关系是S1S2 POE的面积S3和S2的大小关系是S2S3 典例精析 2 S1 S2 S3 如图所示 直线与双曲线交于A B两点 P是AB上的点 AOC的面积S1 BOD的面积S2 POE的面积S3的大小关系为 S1 S2 S3 练一练 解析 由反比例函数面积的不变性易知S1 S2 PE与双曲线的一支交于点F 连接OF 易知 S OFE S1 S2 而S3 S OFE 所以S1 S2 S3的大小关系为S1 S2 S3 F S1 S2 S3 y D B A C x 例6如图 点A是反比例函数 x 0 的图象上任意一点 AB x轴交反比例函数 x 0 的图象于点B 以AB为边作平行四边形ABCD 其中点C D在x轴上 则S平行四边形ABCD 3 2 5 如图所示 在平面直角坐标系中 过点的直线与x轴平行 且直线分别与反比例函数 x 0 和 x 0 的图象交于点P Q 若 POQ的面积为8 则k Q P O x M y 10 练一练 例7如图所示 点A x1 y1 B x2 y2 都在双曲线上 且x2 x1 4 y1 y2 2 分别过点A B向x轴 y轴作垂线 垂足分别为C D E F AC与BF相交于G点 四边形FOCG的面积为2 五边形AEODB的面积为14 那么双曲线的解析式为 解得k 6 双曲线的解析式为 解析 x2 x1 4 y1 y2 2 BG 4 AG 5 S ABG 4 5 2 10 由反比例函数面积的不变性可知 S长方形ACOE S长方形BDOF k S五边形AEODB S四边形ACOE S四边形BDOF S四边形FOCG S ABG k k 2 4 14 如图 已知点A B在双曲线上 AC x轴于点C BD y轴于点D AC与BD交于点P P是AC的中点 若 ABP的面积为6 则k 24 练一练 E F 解析 作AE y轴于点E BF x轴于点F P是AC的中点 S四边形OCPD S四边形ACOE S四边形BDOF k S ABP S四边形BFCP S四边形BDOF S四边形OCPD k k k 6 k 24 1 已知反比例函数的图象在第一 三象限内 则m的取值范围是 2 下列关于反比例函数的图象的三个结论 1 经过点 1 12 和点 10 1 2 2 在每一个象限内 y随x的增大而减小 3 双曲线位于二 四象限 其中正确的是 填序号 1 3 m 2 随堂练习 A 4B 2C 2D 不确定 3 如图所示 P是反比例函数的图象上一点 过点P作PB x轴于点B 点A在y轴上 ABP的面积为2 则k的值为 O B A P x y A 4 已知反比例函数y mxm 5 它的两个分支分别在第一 第三象限 求m的值 解 因为反比例函数y mxm 5的两个分支分别在第一 第三象限 所以有 解得m 2 5 已知反比例函数的图象经过点A 2 4 1 求k的值 解 反比例函数的图象经过点A 2 4 把点A的坐标代入表达式 得 解得k 8 2 这个函数的图象分布在哪些象限 y随x的增大如何变化 解 这个函数的图象位于第二 四象限 在每一个象限内 y随x的增大而增大 3 画出该函数的图象 解 如图所示 4 点B 1 8 C 3 5 是否在该函数的图象上 因为点B的坐标满足该解析式 而点C的坐标不满足该解析式 所以点B在该函数的图象上 点C不在该函数的图象上 解 该反比例函数的解析式为 6 如图 反比例函数与一次函数y x 2的图象交于A B两点 1 求A B两点的坐标 解 解得 所以A 2 4 B 4 2 或 作AC x轴于C BD x轴于D 则AC 4 BD 2 2 求 AOB的面积 解 一次函数与x轴的交点为M 2 0 OM 2 M C D S OMB OM BD 2 2 2 2 2 S OMA OM AC 2 2 4 2 4 S AOB S OMB S OMA 2 4 6 反比例函数的性质 性质 反比例函数图象中比例系数k的几何意义 当k 0时 在每一象限内 y的值随x的增大而减小 当k 0时 在每一象限内 y的值随x的增大而增大 课堂小结 同学们 来学校和回家的路上要注意安全 同学们 来学校和回家的路上要注意安全