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三角函数公式三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的函数。它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。三角函数公式看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律，就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在。定义式锐角三角函数任意角三角函数图形直角三角形任意角三角函数正弦（sin）余弦（cos）正切（tan或tg）余切（cot或ctg）正割（sec）余割（csc）表格参考资料来源：现代汉语词典1函数关系倒数关系：；商数关系：；平方关系：；诱导公式公式一：设为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：公式二：设为任意角，与的三角函数值之间的关系：公式三：任意角与的三角函数值之间的关系：公式四：与的三角函数值之间的关系：公式五：与的三角函数值之间的关系：公式六：及的三角函数值之间的关系：记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限2即形如（2k+1）90，则函数名称变为余名函数，正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k90，则函数名称不变。诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：k/2a(kz)的三角函数值(1)当k为偶数时，等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号；(2)当k为奇数时，等于的异名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时原三角函数值的符号。记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：记忆方法二：无论是多大的角，都将看成锐角以诱导公式二为例：若将看成锐角（终边在第一象限），则+是第三象限的角（终边在第三象限），正弦函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值在第三象限是正值这样，就得到了诱导公式二以诱导公式四为例：若将看成锐角（终边在第一象限），则-是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的三角函数值在第二象限是负值这样，就得到了诱导公式四诱导公式的应用：运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：熟记特殊角的三角函数值；注意诱导公式的灵活运用；三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，分母能最简，易求值最好。基本公式和差角公式二角和差公式证明如图：负号的情况只需要用-代替即可cot(+)推导只需把角对边设为1，过程与tan(+)相同证明正切的和差角公式证明正弦、余弦的和差角公式三角和公式和差化积公式口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦积化和差公式倍角公式二倍角公式三倍角公式证明：sin3a=sin(a+2a)=sin2acosa+cos2asina=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina=3sina-4sin3acos3a=cos(2a+a)=cos2acosa-sin2asina=(2cos2a-1)cosa-2(1-cos2a)cosa=4cos3a-3cosasin3a=3sina-4sin3a=4sina(3/4-sin2a)=4sina(3/2)-sina(3/2)+sina=4sina(sin60+sina)(sin60-sina)=4sina*2sin(60+a)/2cos(60-a)/2*2sin(60-a)/2cos60+a)/2=4sinasin(60+a)sin(60-a)cos3a=4cos3a-3cosa=4cosa(cos2a-3/4)=4cosacos2a-(3/2)2=4cosa(cosa-cos30)(cosa+cos30)=4cosa*2cos(a+30)/2cos(a-30)/2*-2sin(a+30)/2sin(a-30)/2=-4cosasin(a+30)sin(a-30)=-4cosasin90-(60-a)sin-90+(60+a)=-4cosacos(60-a)-cos(60+a)=4cosacos(60-a)cos(60+a)上述两式相比可得：tan3a=tanatan(60-a)tan(60+a)四倍角公式sin4a=-4*cosa*sina*(2*sin2a-1)cos4a=1+(-8*cos2a+8*cos4a)tan4a=(4*tana-4*tan3a)/(1-6*tan2a+tan4a)五倍角公式n倍角公式应用欧拉公式：.上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：所以其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分而所以n倍角的三角函数半角公式（正负由所在的象限决定）万能公式辅助角公式证明：由于，显然，且故有：其他公式编辑正弦定理余弦定理详见词条：正弦定理在任意ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R则有3：正弦定理变形可得：余弦定理详见词条：余弦定理余弦定理对于如图所示的边长为a、b、c而相应角为、的ABC，有：也可表示为：降幂公式sin=1-cos(2)/2cos=1+cos(2)/2tan=1-cos(2)/1+cos(2)三角和sin(+)=sincoscos+cossincos+coscossin-sinsinsincos(+)=coscoscos-cossinsin-sincossin-sinsincostan(+)=(tan+tan+tan-tantantan)(1-tantan-tantan-tantan)幂级数c0+c1x+c2x2+.+cnxn+.=cnxn (n=0.)c0+c1(x-a)+c2(x-a)2+.+cn(x-a)n+.=cn(x-a)n (n=0.)它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,.cn.及a都是常数， 这种级数称为幂级数。泰勒展开式泰勒展开式又叫幂级数展开法f(x)=f(a)+f(a)/1!*(x-a)+f(a)/2!*(x-a)2+.+f(n)(a)/n!*(x-a)n+实用幂级数：ex= 1+x+x2/2!+x3/3!+xn/n!+,xRln(1+x)=x-x2/2+x3/3-+(-1)k-1xk/k, x(-1,1)sin x = x-x3/3!+x5/5!-+(-1)k-1x2k-1/(2k-1)!+, xRcos x = 1-x2/2!+x4/4!-+(-1)kx2k/(2k)!+, xRarcsin x = x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7)+(2k+1)!*x2k+1/(2k!*(2k+1)+, x(-1,1)（!表示双阶乘）4arccos x = /2 -x + x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) + (1*3*5)x7/(2*4*6*7), x(-1,1)arctan x = x - x3/3 + x5/5 -, x(-,1)sinh x = x+x3/3!+x/5!+x2k-1/(2k-1)!+, xRcosh x = 1+x2/2!+x4/4!+x2k/(2k)!+, xRarcsinh x =x - x3/(2*3) + (1*3)x5/(2*4*5) -(1*3*5)x7/(2*4*6*7), x(-1,1)arctanh x = x + x3/3 + x5/5 + , x(-1,1)在解初等三角函数时，只需记住公式便可轻松作答，在竞赛中，往往会用到与图像结合的方法求三角函数值、三角函数不等式、面积等等。傅里叶级数傅里叶级数傅里叶级数又称三角级数f(x)=a0/2+(n=0.) (ancosnx+bnsinnx)a0=1/(.-) (f(x)dxan=1/(.-) (f(x)cosnx)dxbn=1/(.-) (f(x)sinnx)dx
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