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六年级拔尖数学目 录第1讲 定义新运算第2讲 简单的二元一次不定方程第3讲 分数乘除法计算第4讲 分数四则混合运算第5讲 估算第6讲 分数乘除法的计算技巧第7讲 简单的分数应用题(1)第8讲 较复杂的分数应用题(2)第9讲 阶段复习与测试(略)第10讲 简单的工程问题第11讲 圆和扇形第12讲 简单的百分数应用题第13讲 分数应用题复习第14讲 综合复习(略)第15讲 测试(略)第16讲 复杂的利润问题(2)第一讲 定义新运算在加.减.乘.除四则运算之外,还有其它许多种法则的运算。在这一讲里,我们学习的新运算就是用“ #”“*”“”等多种符号按照一定的关系“临时”规定的一种运算法则进行的运算。例1:如果A*B=3A+2B,那么7*5的值是多少?例2:如果A#B表示 照这样的规定,6#(8#5)的结果是多少? 例3:规定 求21010的值。例4:设M*N表示M的3倍减去N的2倍,即M*N=3M-2N(1) 计算(14 *10)*6(2) 计算 (*) *(1 *)例5:如果任何数A和B有AB=AB-(A+B)求(1)107 (2)(53)4(3)假设2X=1求X例6:设PQ=5P+4Q,当X9=91时,1/5(X 1/4)的值是多少?例7:规定X*Y=,且5*6=6*5则(3*2)*(1*10)的值是多少?例8:表示一种运算符号,它的意义是已知 那么200882009=? 巩固练习 1、已知23=2+22+222=246; 34=3+33+333+3333=3702;按此规则类推(1) 32 (2)53 (3)1X=123,求X的值2、已知14=1234;53=567计算(1)(42)+(53) (2)(35)(44)3、如果A*B=3A+2B,那么(1)7*5的值是多少? (2)(4*5)*6 (3)(1*5)*(2*4)4、如果AB,那么A,B=A;如果AB,那么A,B=B; 试求(1)8,0.8 (2)1.9,1.9011.195、N为自然数,规定F(N)=3N-2 例如F(4)=34-2=10 试求:F(1)+F(2)+F(3)+F(4)+F(5)+F(100)的值6、如果1=1! 12=2! 123=3! 1234100=100!那么1!+2!+3!+100!的个位数字是几?(第四届小学生“迎春杯”数学决赛试题)7、若“+、-、=、()”的意义是通常情况,而式子中的“5”却相当于“4”。下面四个算式(1)87=8 (2)777=6 (3)(7+8+3)9=39 (4)33=3 那么应该是我们通常的哪四个算式?8、如果2*4=2345 5*3=567,请按此规定计算(1)(3*4)-(5*3) (2)(4*4)(3*3)9、规定(25)=2+5=7 (123)=1+2+3=6 (65)=6+5=(11)=1+1=2 则计算(1)(56489) (2)(92045)+(905)(12)10、规定64=222222表示成F(64)=6; 243=33333表示成G(243)=5;试求下面各题的值(1) F(128)= ( )(2) F(16)= G( )(3) F( )+ G( 27 )=611、如果1=1! 12=2! 123=3! 试计算(1)5! (2)X!=5040,求X 12、有一种运算符号“”使下列算式成立 23=7 53=13 45=13 97=25 求995 9=?13、A*B= 在X*(5*1)=6中,X的值是多少? 14、对于任意的整数X、Y定义新运算“¥”X¥Y=(其中M是一个固定的值)如果1¥2=2,那么2¥9=? 第二讲 二元一次不定方程一、学习目标:掌握用奇偶性、最值和尾数特点来解答不定方程。二、基础知识:我们知道,一般的一个方程只能解答一个未知数,而有的题目却必须设两个未知数,且列不出两个方程,类似这样的方程我们称之为二元一次不定方程。在我们研究不定方程的解时,常常会附有其他一些限制条件,有的条件是明显的,也有隐蔽的,但它们对解题至关重要,这就需要我们在解题过程中酌情进行讨论。三、例题解析:(一)基本方法例1、小明要买一只4元9角的钢笔,他手上有贰角和伍角的硬币各10枚,请问他可以怎样付钱?分析:本题可以用多种方法解答,这里用不定方程来解。设小明付了X枚贰角和Y枚伍角列方程,得2X+5Y=49方法一1、利用奇偶性。49是奇数,2X是偶数,那么5Y必定是奇数。这样,Y只能取1,3,5,7,9这五个数。2、利用最值:所付钱中贰角和伍角的都有,而X至多为10,那么5Y不小于49219=29,这样,可得Y大于6。方法二 观察系数的特点,利用尾数(个位数)解答。由例1可以看出,对于二元一次不定方程,尽量缩小未知数的取值范围,再求解。不定方程常常利用奇偶性,最值和尾数来帮助解决例2、大汽车能容纳54人,小汽车能容纳36人,现有378人要乘车,问要大、小汽车各几辆才能使每个人都能上车且各车都正好坐满。为了便于管理,要求车辆数最少,应该选择哪个方案? 分析:解答不定方程时,能够把方程化简就尽量化简。注意加了限制条件以后,答案的变化。试一试:一个同学把他生日的月份乘以31,日期乘以12,然后加起来的和是170,你知道他出生于几月几日?例3、现有铁矿石73吨,计划用载重量分别为7吨和5吨的两种卡车一次运走,且每辆车都要装满,已知载重量7吨的卡车每台车运费65元,载重量5吨的卡车每台车运费50元,问需用两种卡车各多少台运费最省?分析:根据条件用不定方程可以求出卡车的台数,但是要注意问题求运费最省。例4 、一个同学发现自己1991年的年龄正好等于他出生那一年的年份的各位数字之和,请问这个学生1991年时多少岁?分析与解:设他出生于19XY年,那么199119XY=1+9+X+Y1991(1900+10X+Y)=10+X+Y9110XY=10+X+Y(二)能力拓展例5、一辆匀速行驶的汽车,起初看路标上的数字是一个两位数xy,过了一小时路标上的数字变为yx,又行驶了一小时路标上的数字是一个三位数x0y,求每次看到的数字和汽车的速度。分析:路标上的数字是累计数。由于汽车是匀速行驶,因此汽车在单位时间里行驶的路程是相等的,根据这个关系可以列出方程。试一试:一个两位数,如果把数字1放在它前面可得一个三位数,放在它后面也可得一个三位数。已知这两个三位数之差为414,求原来的两位数。例6、如下图,一个长方体的长、宽、高的长度都是质数,且长宽高,将这个长方体横切两刀,竖切两刀,得到9个长方体,这9个长方体表面积之和比原来长方体表面积之和多624平方厘米,求原来长方体的体积。分析与解:设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,分析可得,横切两刀,增加了4ab的面积,竖切两刀增加了4ac的面积,所以可列方程:4ab+4ac=624。三个未知数的不定方程一般采用分解质因数的方法解答。练习一、基本题1、求方程6x+9y=87的自然数解。2、求方程2x+5y=24的自然数解3、大客车有48个座位,小客车有30个座位。现在有306名旅客,要使每位旅客都有座位而且不空出座位来,需要大、小客车各几辆?4、装饼干的盒子有大、小两种,大盒每盒要11元,小盒每盒要8元,妈妈用了89元,问大小盒子各买了多少个?5、一个两位数,交换个位和十位上的数字,就得到一个新的两位数,已知新两位数比原两位数多54,求原来的两位数。6、一个两位数,各位数字之和的6倍比原数大3,求这个两位数。7、一个商人将弹子放进两种盒子里,每个大盒子装12个,每个小盒子装5个,恰好装完。如果弹子数为99,盒子数大于10,问两种盒子各有多少个?二、综合题8、在一个两位质数的两个数字之间,添上数字6以后,所得的三位数比原数大870,那么原数是多少?9、会场里有两座和四座的两种长椅若干把。现有一个班的学生(不足70人)来开会。一部分学生一人坐一把两座的长椅,其余的同学每三人坐一把四座的长椅。结果平均每个学生坐1.35个座位。求有多少个学生?思考题10、有一个长方体,它的正面和上面的面积之和是209,如果它的长、宽、高都是质数,那么这个长方体的体积是多少?第三讲 分数乘除法计算 分数乘除法的计算方法用字母表示为:(a,c都不等于0);(a,c都不等于0)。一、课前准备:1、 计算下列各题:(1)10 (2) (3) (3)9 (4) (6)(+)2、在或里填上合适的数字或符号,并说明使用了什么运算定律?(1) 25= ( )(2) =( ) (3) (15)= ( )(4) 254= + (5) 7= (6) 125= (7) 54(- )= 二、例题讲解例1:计算:; 。【分析】认真观察这两道题的数学特点:第(1)题中的与1只相差,如果把写成的差与37相乘,再运用乘法分配律就能简化运算了。同样,第(2)题中的27可以写成(26+1)。练习:“挑战自己!”比一比,看一看,谁的方法最巧妙? 26 32例2:计算:分析仔细观察因数的特点可知,可转化为,这样就可以利用乘法的分配律进行简算了。练习:计算:例3:计算:【分析】把几个分数的和作为一个整体去处理,往往会使计算简便得多。在本题中,把与的和作为一个数来参与运算,使计算中只含有乘除法。再利用乘法的交换律、结合律就可以很快算出结果。例4:计算:;。【分析】同学们都会计算带分数除法。不过,看了这两题,你一定感到把带分数化成假分数太繁了。如果我们动一下脑筋,就会发现:可以把题(1)中的分成一个41的倍数与另一个较小的数相加,再利用除法性质就可以使运算简便。把题(2)中的化为假分数时,把分子用两个数相乘的形式表示,便于约分和计算。例5:计算:例6:计算:一、基本练习1、下面各题,怎样简便就怎样算。 2. “考考你”下面各题怎么算简便就怎么算?101- 99 + 325 36 ( - )( + ) + - 4. 分数四则混合计算:(1)()1000 (2)() (3) (4)(0.19+0.19)0.05二能力提高 (4) (5) 第四讲 分数四则混合运算一、课前准备:9 () ()24二、例题讲解例1:计算:练习:例2:计算:(598.13759816.26)1190例3、 例4;计算; 练习:1. 下面各题怎样算简便就怎样算。 ()27 () 4 5 2. 用简便方法计算。11310091 1.1440.954.093、计算下面各题。 第五讲 估 算取近似值的方法除了常用的四舍五入法外,还有去尾法和收尾法(进一法)。其方法一般是计算出准确值再按要求取近似值。还有两种:(1)省略尾数取近似值,即观其“大概”; (2)用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围,即估计范围。这就是估计与估算,估计与估算,是一种十分重要的算法,在生活实践和数学解题中有广泛的应用。一、去尾法和收尾法(进一法)例1、某飞机所载油料最多只能在空中连续飞行4时,飞去时速度为900千米/时,飞回时速度为850千米/时。问:该飞机最远飞出多少千米就应返回?(精确到1千米)解:设该飞机最远能飞出x小时,依题意有此题采用去尾法。如果按照四舍五入的原则,那么得到x1749,当飞机真的飞出1749千米再返回时,恐怕在快着陆的瞬间就要机毁人亡了。例2、某人执行爆破任务时,点燃导火线后往70米开外的安全地带奔跑,其奔跑的速度为7米/秒。已知导火线燃烧的速度是0.112米/秒。问:导火线的长度至少多长才能确保安全?(精确到0.1米)此题采用收尾法。如果你的答案是1.1米,执行任务的人还没跑到安全地带,炸药就被引爆,那可就太危险了。二、放缩法与省略尾数法例3、有三十个数:1.64,1.64+,1.64+,1.64+1.64+,如果取每个数的整数部分(例如:1.64的整数部分是1,1.64+的整数部分是2),并将这些整数相加,那么其和是多少?分析:关键是判断从哪个数开始整数部分是2例4、 A=1234567891011121331211101987654321,求 A的小数点后前3位数字。分析:本题可以采用取近似值的办法求解,还可采用放缩法估计范围解答的。方法一:放缩法:A12343122=0.3952A123531210.3957所以0.3952A0.3957方法二:省略尾数法:近似值:将被除数、除数同时舍去13位,各保留4位,则有12343121例5、老师在黑板上写了十三个自然数,让小明计算平均数(保留两位小数),小明计算出的答数是12.43。老师说最后一位数字错了,其它的数字都对。正确的答案应是什么?分析:小明的答案仅仅是最后一位数字错了,那么正确答案应该在12.40与12.50之间。原来13个数的总和最小应该是12.4013=161.2,最大应该是12.5013=162.5之间,从而可求出这 13个自然数的总和,从而知道正确答案例6、 已知:S=,求S的整数部分。分析与解:如果我们能知道分母部分最小不小于几、最大不大于几,就能知道它的值在某个范围内。当这个范围很小时,就容易判断出s的整数部分了。设A=说明:本题如果直接计算,不但非常麻烦,而且容易出错。上面的“分析”中,我们采用了“放大缩小”的方法,就是先把s的倒数(分母部分)的每一个加数都看成最大的一个(放大),再都看成最小的一个(缩小)。练一练:求的整数部分。练习一、基本题1、(1+)+(1+2)+(1+3)+(1+10)+(1+11)的结果是x,那么,与x最接近的整数是多少?2、求算式0.123450510.51504321的小数点后前二位数字是多少?3、为了修水电站,需要在极短的时间内向河道中投入300米3石料,以截断河流。如果每台大型运输车一次可运石料17.5米3,那么为保障一次截流成功,至少需多少台运输车?4、用5米长的花布做上衣,已知每件上衣需用布2米,求这块布料可以做几件上衣?5、小华在计算一道求七个自然数平均数(得数保留两位小数)的题目时,将得数最后一位算错了。他的错误答案是21.83,正确答案应是多少?6、求下式中S的整数部分:二、综合题7、 计算:(提示:注意385= 5711,可以先用乘法分配律化简,再估算。)三、思考题:8、在1,中选出若干个数,使得它们的和大于3,至少要选几个数? 第六讲 分数运算的技巧对于分数的混合运算,除了掌握常规的四则运算法则外,还应该掌握一些特殊的运算技巧,才能提高运算速度,解答较难的问题。下面我们着重介绍五种常用的简算技巧。(一)一般分数乘除法的计算:(二)分数的简便计算1.凑整法与整数运算中的“凑整法”相同,在分数运算中,充分利用四则运算法则和运算律(如交换律、结合律、分配律),使部分的和、差、积、商成为整数、整十数从而使运算得到简化。 例3、计算:2.约分法:例4、计算:分析:仔细观察可知,分子的每一项(每一个加数)都可以分解出123,分母的每一项都可以分解出135。把它们作为公因数提出来后,括号内的和是相等的。例5、计算:分析:仔细观察分子、分母中各数的特点,就会发现分毋中的被减数362548可以变形为:(3611)548=361548548,同时发现548186=362。这样就可以把分母转化成与分子完全相同的式子,简化运算。例6、计算:例7、计算: 2、 分组法例8、计算:分析:利用加法交换律和结合律,先将同分母的分数相加。4、代数法例9、练习: 2005 第七讲 简单的分数应用题(一)一、基础知识:1、分数应用题的一般关系式是:表示单位“1”的量(标准量)分率=分率的对应量。2、解题思路:一道分数应用题中,先根据分率所在的哪个条件,找出并判断“1”。分率是“谁的”几分之几,谁就是单位“1”(分率是一个不带单位的、不具体的分数,反映的是两个数之间的一种倍数关系。)单位“1”的量的判断:根据分率来判断把哪个数量平均分成多少份,哪个数量就是单位“1”。表示单位“1”的量是已知的,则该题用“”。表示单位“1”的量是未知的,则该题用“”或方程。解题的关键是:寻找“与数量对应的分率”,“与分率对应的数量”。二、例题解析:(一)基本方法例1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。一只鸡的重量是鸭的。把( )平均分为3份,把( )看作单位“1”,( )相当于这样的2份,2/3对应的数量是( )。甲的相当于乙。把( )平均分为5份,把( )看作单位“1”,( )相当于这样的3份,3/5对应的数量是( )。现价是原价的。把( )平均分为40份,把( )看作单位“1”,( )相当于这样的3份,3/40对应的数量是( )。现价比原价少的部分对应的分率是( )。小红的书比小明少。把( )平均分为8份,把( )看作单位“1”,( )相当于这样的7份,7/8对应的数量是( )。小明的书对应的分率是( )。例2、根据已知条件用“”线标出单位“1”的量,再写出数量关系式。 (1)白兔只数的是黑兔的只数。 (2)已经修了公路全长的。(3)二班植树棵数相当于一班的。 (4)今年棉花产量比去年增加。 (4)第三季度冰箱价格比第二季度便宜。 (6)还剩这堆煤的。 例3、小王买了一个本子和一支钢笔。本子的价格是1 元,钢笔的价格比本子的价格多,钢笔的价格是多少元?例4、一条裤子比一件上衣便宜25元。一条裤子是一件上衣价格的2/3,一件上衣多少元?例5、商店运来一批水果,运来苹果20筐,梨的筐数是苹果的3/4,梨的筐数同时又是桔子的3/5。运来桔子多少筐?例6、学校买来54本新书,其中科技书占 1/6,文艺书占1/3,文艺书比科技书多多少本?(二)能力拓展例7、小强看一本故事书,每天看16页,看了5天后,还剩全书的3/5没有看,这本故事书有多少页?分析:把全书看作单位“1”,是未知的,可以用除法或方程解答。3/5与没有看的页数相对应,看了的已知量165与13/5相对应。例8、客车由甲城开往乙城要10小时,货车由乙城开往甲城要15小时, 两车同时从两城相向开出,多少小时两车相遇?如果相遇时客车走了600千米,甲乙两城之间的公路长多少千米?分析:本题的关键是要求相遇时间,我们知道相遇时间=相遇距离速度和,而本题要求的就是相遇距离,怎么办?可以假设全程为单位“1”。练一练:一项工作,由甲单独做需要10天;由乙单独做需要12天.如果两人合做,几天才能完成?练习:一、基本题1、指出下面每组中单位“1”和对应分率。白兔是黑兔的。把( )平均分为6份,把( )看作单位“1”,( )相当于这样的5份,对应的数量是( )。一种毛衣现价是原价的4/7。把( )平均分为7份,把( )看作单位“1”,( )相当于这样的4份,4/7对应的数量是( )。现价比原价少的部分对应的分率是( )。九月份的产量比八月份增加了 。单位“1”:( )。九月份的产量对应分率( )。2、根据已知条件用“”线标出单位“1”的量,再写出数量关系式。 (1)妈妈年龄的是女儿的年龄。 (2)已经用这根绳子的。(3)男生人数占总数的。 (4)今年车祸比去年减少。 (4)现价比原价增加。 (6)没有看的占这本书的。 3、六年级有男生100人,女生有80人。(1)男生人数是女生的几分之几?(2)女生是男生的几分之几?(3)女生是全年级学生的几分之几?(4)男生人数比女生多几分之几?3、某生产队挖一条长300米的水渠,第一天挖了全长的1/4,挖了多少米?还剩多少米?4、某车间五月份生产零件3000个,六月份比五月份多生产了,六月份生产了多少个零件?分析:把( )看作单位“1”,是( )知的。可用( )方法计算。对应的数量是( ),六月份生产的对应分率是( )。 解答:5、某小学有学生若干人,其中女生占3/8,还已知该校男生有240人,这所小学共有多少人?分析:把( )看作单位“1”,是( )知的。可用( )方法计算。男生的对应分率是( )。解答:6、小亮在银行存了240元,小华存的钱是小亮的5/6,小华存的钱是小新的2/3,小新存了多少元?7、某粮店共有大米2800千克,第一天卖了4/7,粮店还有大米多少千克?8、商店有红气球和黄气球,共有48只,其中黄气球的只数是红气球的3/5 。红气球和黄气球各多少只?9、一只大雁由北方飞往南方要6天, 一只野鸭由南方飞往北方要8天,如果大雁和野鸭同时从两个方向同时出发,多少天他们可以相遇?二、综合题:10、王琳看一本连环画共80页,第一天看了全书的1/5,第二天看了全书的1/4。还剩多少页没有看?11、本站有一批货物,上午运走了总数的2/5,下午运走了总数的3/8 ,还剩下2700吨没有运,这批货物一共有多少吨?12、一袋大米吃了1/3后又加入8千克,这时袋里的大米恰好是22千克。这袋大米原来有多少千克?13、小刚读一本书,先读了全书的,又读了全书的,已读的比没读的多70页,这本书共有多少页?14、根据算式写出问题。(说明:35%=7/20)还剩下全长的1/3没有修完,?(1)24001/4 ?(2)240035% ?(3)2400(1/4+35%) ?(4)24001/3 ?(5)2400(35% - 1/4) ?(6)2400(1/3 - 1/4) ?(7)2400(1/4+35% - 1/3) ?第八讲 较复杂的分数应用题(二)本讲继续学习较复杂的应用题两个单位“1”的情况和量与率的对应关系。较复杂的分数应用题常常需要画出线段图或用方程的方法解答。例1、一根140厘米长的绳子,第一次用去它的4/7 ,第二次又用了余下的3/5 ,两次共用去多少厘米?分析:本题有2个分率,相对应的有2个单位“1”。例2、小红看一本书,第一天看了全书的4/7 ,第二天又看了剩下的 3/5,还剩下42页没有看,这本书共有多少页?练一练:某生产队挖一条长300米的水渠,第一天挖了全长的,第二天挖了余下的,第三天恰好挖完,第三天挖了多少米?例3、一瓶油第一次吃了1/5千克,第二次吃了余下的3/4,这时瓶内还有1/5千克,问这瓶油原来有多少千克?分析:根据条件“第二次吃了余下的3/4”,我们先确定“1”;再利用线段图来找出:“与量对应的率”或“与率对应的量”。例4、某校男生人数比全校学生总数的4/9少25人,女生人数比全校学生总数的4/7 多15人。求全校学生总人数。分析:利用线段图来找出:“与量对应的率”或“与率对应的量”。而单位“1”是未知的,可以用除法或方程解答。例5、 有一瓶酒精,第一次倒出2/3又80克,然后倒回140克;第二次再倒出瓶里酒精的3/4,这时瓶里还剩下90克酒精。求原来瓶里有酒精多少克?分析:本题2个分率,相对应的有2个单位“1”。利用线段图来找出:“与量对应的率”或“与率对应的量”。单位“1”是未知的,可以用除法或方程解答。试一试:东盛化肥厂生产一批化肥,分三次运出,第一次运出的比总数的3/5还多300吨,第二次运出的是第一次的1/3,第三次运出的450吨,求这批化肥有多少吨?例6、某工厂二月份比元月份增产1/10,三月份比二月份减产1/10问三月份比元月份增产了还是减产了?分析:本题没有告诉我们具体的数量,要求的也是不具体的分率,所以我们可以假设老三年龄为“1”,或者假设一个具体的数量、字母。练一练:有兄弟三个,老大比老二年龄大2/5,老二比老三年龄大2/5,老大的年龄是老三的几分之几?练习:1、某水泥厂第二个月生产水泥2400吨,比第一个月多生产1/4,第一个月生产水泥多少吨?第三个月生产的水泥,比第一个月少生产1/5,那么第三个月生产水泥多少吨?2、小红看一本240页的书,第一天看了全书的1/4 ,第二天又看了剩下的1/3,还剩下多少页没有看?3、某粮店,第一天卖了全部大米的4/7,第二天又卖了余下的3/5,这时还剩下420千克米没有卖。这个粮店共有大米多少千克?4、某车间一月份生产了1000个零件,以后每个月都增产1/10,三月份生产了多少个零件?5、某工厂去年制造一种零件,成本逐渐下降,每一季度的成本都比前一季度降低1/4,问第三季度的成本是第一季度的几分之几?6、某班学生中,男生人数比全班人数的5/9 少5人,女生人数比全班人数的3/7多11人,求全班人数。7、一桶柴油,第一次用了全桶的2/5,第二次用去20千克,第三次用了前两次的和,这时桶里还剩8千克油问这桶油有多少千克?二、综合题8、两队合修一条水渠,甲队完成的比全长的1/2还多7.2千米,乙队完成的相当于甲队的1/3。这条水渠有多长?9、小王做零件,已经做了240个,比计划还少20%,为了超额25%,小王还应再做多少个? 10、一袋大米第一周吃了1/3又6千克,后又加入8千克,第二周又吃了剩下的1/3,这时袋里的大米恰好是24千克。这袋大米原来有多少千克?11、向阳村用拖拉机耕地,第一天耕了全部土地的1/4,第二天耕了剩下的三分之二,第二天比第一天多耕30公顷,问这个村共有多少公顷土地?12、一种商品,先提价,再降价,现价相当于原价的几分之几?第九讲 阶段复习与考试第十讲 简单的工程问题(一)准备题:修建一条长1200米的公路,甲队需要30天,乙队需要40天,如果两队合修需要多少天?在日常生活中,做某一件事,制造某种产品,完成某项任务,完成某项工程等等,都要涉及到工作量、工作效率、工作时间这三个量,它们之间的基本数量关系是:工作效率工作时间=工作总量(由此还可以变化为工作时间=工作总量工作效率,工作效率=工作总量工作时间),在小学数学中,探讨这三个数量之间关系的应用题,我们都叫做“工程问题”。工程问题中的本质关系为:工作效率工作时间=工作总量。分数工程问题的特点,常常不给出具体的工作总量,我们把全部工程看作单位“1”,这样,工作效率=1/工作时间,然后再根据工总、工效和工时这三个量的关系解题。一、基本方法例1、加工一批零件,甲单独做6小时完成,乙单独做9小时完成。(1)甲、乙合做,每小时完成这批零件的几分之几?(2)合做3小时完成这批零件的几分之几?(3)合做3小时后完成剩下零件两人合作还需要多少小时?(4)如果合做2小时后,剩下的由甲单独做还需要多少小时做完?练一练:现在打一份文稿,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由甲、乙合作完成,还需要做几天可以完成全部工作?例2、两列火车同时从甲、乙两地相向而行,货车从甲地开往乙地需要10小时,客车从乙地开往甲地需要8小时,现货车先行2小时后,客车才出发,求客车出发后多少小时两车相遇?分析;没有告诉我们甲、乙两地的路程,我们把甲、乙两地路程看做单位“1”,速度用1/时间来表示。求相遇时间,相遇时间=相隔路程速度和。例3、一个水池有两个进水管,一个出水管。单开甲管12小时可把空池注满,单开乙管20小时可把空池注满,单开丙管15小时可把满池水放空,三管同开,多少小时把空池注满水?分析:注意本题是两个进水管,一个出水管,进水管来灌水,出水管来放水。例4、水池上装有甲、乙两个大小不同的水龙头,单开甲龙头60分钟可注满水池,现在两个水龙头同时注水,20分钟可注满水池的1/2,如果单开乙龙头需要多长时间注满水池? 分析:根据条件可以求出甲、乙两水龙头的工效和,再根据甲龙头的工效,就可以求出乙龙头的工效了。进而求出乙龙头的工作时间。二、能力拓展例5、一项工程,先由甲、乙合做5天完成了全部工程的1/3,再由乙单独做了2天完成了全部工程的1/30 ,然后由乙、丙二人合做19天完成余下的工程。如果这项工程由甲、乙、丙三人合做,需要多少天完成?例6、一项工程,甲队独做需要45天完成,乙队独做需要60天完成,现在甲、乙两队合作,中途乙队因事调走,这样完成全部工程共用了30 天,求乙队工作了几天?分析:这项工程,我们可以看成甲队做了一部分,乙队也做了一部分。例7、某项工程,甲、乙两队合做,30天可以完成。今两队合做12天后,剩下的由甲队独做,经过24天才完成。问:乙队独做全部工程需几天完成? 分析:根据条件可以求出两队工效和。例8、加工一批零件,甲独做20天完成,乙独做每天完成这件零件的1/30,现在两人合作完成这批零件,甲中途休息了2.5天,乙也休息了几天,这样用了15天才全部完成,求乙休息了几天?分析:乙休息的天数可能2.5天多或少或同样多。解题方法多样:按前面例题的思路,可用方程的方法,或假设方法。练习:一、基本题:1、修一栋楼房,甲公司单独做5个月完成,乙公司单独做6个月完成。(1)合做2个月完成这栋楼房的几分之几?(2)如果合做2个月后,剩下的由甲公司做还需要多少个月做完?2、一项工程,甲队单独做20天完成,乙队单独做30天完成。现在两队合作,多少天可以完成?3、一件工作,甲做9天可以完成,乙做6天可以完成.现在甲先做了3天,余下的工作由乙继续完成.乙需要做几天可以完成全部工作?4、做一批零件,甲单独做12天完成,乙单独做16天完成,现在两人合作4天后,余下的由乙独做多少天可以完成?5、一个水池上装有一根进水管和一根出水管,单开一根进水管30分钟可以将水池注满,单开一根出水管45分钟可以将一池水放完。现在水池有1/2的水,两管齐开,多少分钟水池可以把水池灌满?6、一只大雁从甲地飞向乙地需要10天,一只野鸭从乙地飞向甲地需要12天,现野鸭先飞了3天后,大雁才出发,求大雁出发后多少天大雁和野鸭相遇?7、一项工程,甲队单独做5天完成;乙队单独做6天完成,甲、乙两队合做2天后,甲队因事调走,余下的部分由乙队单独做完,还需要多少天完成?二、综合题8、做一批零件,甲、乙两人合做12天完成,现在甲、乙合做4天后,余下的乙独做20天可以完成。如果甲单独完成这批零件要用多少天?9、有一项工程,甲队独做40天可完成,乙队独做60天可完成,现在已知两队合做这项工程,但中间甲队因另有任务调走几天,所以经过27天才完成全部工作,甲队离开了几天? 10、一件工程,甲5小时先完成了1/4,乙接着用9小时又完成了剩下任务的一半,最后余下的部分由甲、乙合作,还需要多少小时才能完成?11、一项工程,先由甲做10天完成了全部工程的1/6;再由乙做5天完成了全部工程的1/4;然后由丙做2天完成了全部工程的1/15。最后甲、乙、丙合做余下的工程,还要几天可以完成?第十一讲:圆和扇形(一)(一)基本知识1、圆:圆周长公式:C=d或C=2r。 圆面积公式:。圆环面积: 图一 图二 图三2、扇形。如上图二,连接两条半径OA、OB,就可得到一个扇形OAB,扇形面积公式是:S=。扇形的圆弧长=所在圆周长的。其中r是指扇形的在圆的面积,n指的是圆心角的度数。例1、图二中n=60,半径为6厘米,扇形面积是多少?弧AB是多少?3、弓形。如上图三, S弓AC= S扇AOCSAOC例2、图三中,直角三角形AOC的直角边OA= 6厘米,求弓形AC的面积。(二)基本运用例3、街心花园中圆形花坛的周长是18.84米。花坛的面积是多少平方米?例4、计算下图阴影部分的面积(单位:厘米)例5、在一块长4.5米,宽2米的长方形铁板上截下2个最大的圆形后,剩下的铁板面积是多少平方米? 例6、从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆,这块圆形铁皮的面积是多少平方厘米?剩下的面积是多少?例7、从一个直径为10厘米的圆中,剪去一个最大的正方形,正方形面积是多少?例8、求下图中阴影部分的面积和周长。练 习一、基本题1、一个圆形花坛的周长是25.12米。花坛的面积是多少平方米?2、已知一个圆的面积是28.26平方厘米,求这个圆的周长。3、下图涂色部分是个环形,它的内圆半径是10厘米,外圆半径是15厘米,它的面积是多少?4、从一块边长8厘米的正方形铁皮上剪下一个最大的圆,阴影部分面积是多少?5、下图圆的半径为6厘米,圆心角为45度,扇形AOC的面积是多少?弧AC是多少?6、下图是一个直角边长为20厘米的等腰直角三角形。求弓形面积。 7、求阴影部分的面积:(单位:分米) (=3)8、右图中直角三角形ABC的底AB= 20 厘米,以AB为直径画成一个圆,圆心为O,CO垂直于AB,求弓形AC的面积。9、求下图中阴影部分面积和周长(1)等腰梯形的腰是0.8。(单位:厘米)(2)三角形ABC是等边三角形,底BC= 6厘米,扇形圆心角为120度。思考题:10、在下图中左右两个正方形一样大小,且图(2)中四个小圆一样大试问是图(1)中的大圆面积大,还是图(2)中四个小圆的面积之和大?请说明理由。第十二讲 简单的百分数应用题(一)百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数,叫做百分数。百分数也叫做百分率或百分比。百分数在生活中大量地运用。如出生率、利息、利润等。 一般地,我们可以把百分数应用题看作分数应用题来解答。一、一般百分数应用题例1、东风化肥厂去年计划生产化肥60万吨,实际生产了72万吨。实际产量比计划超过百分之几?例2、商店卖一种袖珍收音机, 现在按八折出售,每台是14.4元,这种收音机原价每台多少元?例3、有甲、乙两个仓库,甲仓库存粮的2/3正好是乙仓库存粮的60%,已知乙仓库存粮1500吨,甲仓库存粮多少吨?例4、工程队挖一条水渠,每天挖1.4千米,10天挖了全长的70%,还剩多少千米没有挖? 例5、学校去年春季植树500棵,成活率为85,去年秋季植树的成活率为90。已知去年春季比秋季多死了20棵树,那么去年秋季学校共种多少棵树?分析:成活率是指成活的棵数占全部棵数的百分之几。根据去年春季成活率85,可以求出成活棵数和死了的棵数。进而求出死了的棵数,再根据去年秋季植树的成活率90,求出去年秋季种的树。例6、纺织厂的女工占全厂人数的80,一车间的男工占全厂男工的25。问:一车间的男工占全厂人数的百分之几?分析:没有告诉我们具体的数量,而且求的也是一个不具体的数量百分比,这样,我们可以采用设参数的方法。二、特殊的百分数应用题利润问题在这类问题中,特别的在于,它涉及两个量的相乘,一是商品的单价,另一个是销售量。我们要同时把握这两个量的变化:总价=单价数量利润:一般地,商店购进货物的钱叫成本(或购入价)。卖出去的钱叫售价(或卖出价)。售价与成本的差叫利润。利润与成本的比叫利润率。售价=成本+利润=成本+成本利润率=成本(1+利润率)利润=售价成本例7、某商店进货的批发价为50元一袋,规定零售价为70元一袋,求商品的利润率是多少?例8、商店从某供货商以每台1200元,购进了50台空调。该商店以20%的利润率来定价,空调的定价是多少?如果全部按这个价卖出,商店共获利多少元?例9、商场以400元的成本购进一见商品,该商店准备以50%的利润率来定价,但因为价高,没有人购买,只好打75折优惠,问现在这件商品卖多少元?练习1、曙光面粉厂5000千克小麦可以出面粉4000千克,面粉的出粉率是多少?面粉的出粉率是80,4000千克小麦可以出面粉多少千克?面粉的出粉率是80,加工3200千克面粉需要多少千克小麦?2、把20克盐溶解在80克水中,盐占盐水的百分之几?3、一家大型超级市场,一月份的营业额是5000万元,如果按营业额的5%缴纳营业税后,还剩余多少万元?4、甲数比乙数多20%,乙数比甲数少百分之几?5、某化肥厂第一季度生产化肥2400吨,完成了全年任务的 25%,他们准备在第二季度完成全年任务的 30%,那么第二季度应生产化肥多少吨?6、运送一批树苗,已运了总数的62.5,未运的比已运的少420棵,这批树苗总数多少棵?7、某商场以每套64元的价格,购进童装100套,全部销售完后,共得10000元,求商场销售这些童装的利润率。8、中国书店收购一本旧书, 原价12元收购时按八折作价, 然后又按比收购价多5%的价钱售出书店售出这本书的价钱是多少元?9、在某校学生中,男生人数占全校人数的60,女生人数占全校的40,那么,男生人数比女生多百分之几?10、采煤队三月份上半月完成月计划的60,下半月完成月计划的65,这个月实际采煤2.5万吨,这个月超过月计划多少万吨?11、一家服装店出售两种春装,一种是新式样,每件卖240元,可赚20%,另一种样式过时,是处理品赔本20%,每件售价也是240元,问:两种春装各出售一件,是赔还是赚?赔(或赚)多少?12、某校绿化校园植了水杉,柏树、梧桐三种树,其中种植水杉的棵数为总数的40%,柏树的棵数是水杉的7/8,其余的是梧桐树。已知水杉比梧桐多144棵,水杉是多少棵?第十三讲 分数应用题复习例1:数量和分率直接对应一辆汽车4小时行了全程的2/5,照这样的速度,再行几小时到达?练习:六(1)班,男生比女生少8人,女生比男生多1/3,全班多少人?例2:已知量的对应分率1、一条公路第一天修了全长的1/4,第二天修了全长的2/5,两天共修了1.3千米,这条公路全长多少米?2、一辆汽车行了全程的3/5,这时已超过中点15千米,已行了多少千米?3、服装店分两次加工一批服装,第一次做了全部的1/5,第二次比第一次多做90件。这批服装共多少件?4、汽车从A城开往B城,第一小时行全程的1/4,第二小时行全程的1/3,超过中点15千米,A、B两城相距多少千米?5、电视机厂9月份生产一批电视机,上旬生产了全部的3/10,中旬生产的是上旬的2
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