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第1讲 逻辑推理 我们常会见到这样一类题目，没有或很少给出什么数量关系，解决问题的主要方法不是依靠数学概念、法则、公式进行运算，且较少用到专门的数学知识，而是根据条件和结论之间的逻辑关系，进行合理的推理，最终找到问题的答案，这就是逻辑推理问题.例1 一次数学测验，A，B，C，D，E，F中有一人得了100分，老师让他们猜一猜是谁得了100分 A：或者是E，或者是F B:是我得了100分 C:是D得了100分 D:不会是B得了100分 E:不会是C得了100分 F:不会是我，也不会是E 老师说：你们只有两个人猜对了那么，谁得了100分呢？思维点拨 从这六个人的话中可以看出，A与F的话、B与D的话相互矛盾，也就是说，每一对中两个人的话必然是一真一假根据“只有两个人猜对了”这个条件，得出C与E必为假话，由E猜错可知，是C得了100分例2 三块正方体，它们的六个面都按相同规律标有1，2，3，4，5，6请你判断一下，2的对面是几?5的对面是几?6的对面是几？(1) (2) (3)思维点拨 从图(1)，(3)可看出，2的对面不可能是5，6，1，4，那么2的对面一定是3从图(1)，(2)可以看出，5的对面不可能是2，6，1，3，那么5的对面一定是4剩下的6的对面一定是1例3 位学者在几年前逝世，逝世时的年龄数是他出生年份数的，这位学者在1955年主持学术会议时是多少岁？思维点拨 由题意，出生年份数应是29的倍数，又因为他在1955年主持过会议，因此出生的年份应小于1955.可以把小于1955且是29的倍数的数列举出来：1943，1914，1885，1856，可以分析出生在1885年或1943年均不合理只有出生在1914年才符合事实例4 甲、乙、丙、丁四人进行有趣的会谈，用了汉、英、德、俄四种语言情况如下： (1)甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言； (2)有一种语言，四人中有三人都会； (3)甲会俄语，丁不会俄语，乙不会英语； (4)甲与丙、丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈； (5)没有人既会俄语，又会德语. 问甲、乙、丙、丁各会何种语言.思维点拨 这是条件比较复杂的问题，应使用列表法进行分析推理，这样有助于解题，列表格时，在肯定的一格打“”在否定的一格打“”例5 已知在每个正方体的6个面上分别写着1，2，3，4，5，6这6个数，并且任意两个相对的面上所写的两个数的和都等于7，现在把5个这样的正方体一个挨着一个地连接起来(如图)，在紧挨着的两个面上的两个数之和都等于8，那么图中打“？”的这个面上所写的数是几？思维点拨 根据题意容易推出1的对面是6，挨着6的面是2；2的对面是5，挨着5的面是3；3的对面是4，6的对面是1因此第3个正方体左右两面只能是2与5到底左端是2还是5呢？我们不妨作出假设. 假设左端是5，则其对面是2，挨着2的面是6，6的对面是1，挨着1的面(最右边一块的左面)就应该是7，与题意不符所以最左端只能是2，2的对面是5，挨着5的面是3，3的对面是4，挨着4的面是4，4的对面是3例6 有一次数学竞赛，共有6道题，均是是非题，正确的画“”，错误的画“”，每题答对得2分，不答得1分，答错得0分，王、张、赵、杨的答案如下表，杨得了多少分？思维点拨 由得分情况及答题数量知，张对4道，错1道，未答1道，王、赵各对3道，错2道，未答1道，因为王、张有3道的答案不同，且王、张共错3道，所以两人的错题只能是(3)(4)(6)3道题，由此得到剩下3题的正确答案：(1)，(2)，(5)比较知赵的答案，(2)(5)题错，其余已答的题都对，得(3)，(4)因为张只错1道，(4)题已错，故(6)题正确，故(6)，对照正确答案，杨对4道，错2道，得8分课内练习 1某校运动会上，A，B，C，D，E，F六人参加百米决赛，对于谁是冠军，甲、乙、丙、丁四人有以下猜测： 甲说：冠军不是A就是B. 乙说：冠军不是C 丙说：D，E，F都不可能是冠军 丁说：冠军是D，E，F中的一人， 比赛结果是，这四人中只有一人的猜测是正确的请你判断谁得了冠军 2如下图，3块正方体按同样的规律涂有红、黄、蓝、白、黑、绿6种颜色请你判断黄、白、红的对面分别涂什么颜色(1) (2) (3) 3刘强、马明、李刚三个男孩各有一个妹妹，六个人进行乒乓球混合双打比赛事先规定：兄妹不许搭档， 第一场：刘强和小丽对李刚和小英. 第二场：李刚和小红对刘强和马明的妹妹 问：三个男孩的妹妹分别是谁？ 4小秋的书架上有一些书，其中是故事书，是文艺书，书的本数在100150之间，他有多少本书？ 5一个正方体木块放在桌子上，每一面都有一个数，位于对面上的两个数之和都等于13小张能看到顶面和两个侧面，看到的三个数之和是18.小李能看到顶面和另外两个侧面，看到的三个数之和是24.那么挨着桌子这个面的数是多少？ 6A，B，C，D，E五入在一次满分为100分的考试中，得分都是大于91的整数，如果A，B，C的平均分为95分，B，C，D的平均分为94分，A是第一名，E是第三名，得96分那么D的得分是多少？课外作业 1甲、乙、丙三人进行跑步比赛.A，B，C三人对比赛结果进行预测 A说：“甲肯定是第一名” B说：“甲不是最后一名” C说：“甲肯定不是第一名” 其中只有一人对比赛结果的预测是对的是谁预测对了？ 2下图是标有1，2，3，4,5，6数字的同一正方体的三种不同摆法，求三个正方体朝左那一面的数字之积是多少(1) (2) (3) 3甲、乙、丙在南京、上海、北京工作，他们的职业分别是工人、记者、教师现在知道： (1)甲不在南京工作； (2)乙不在上海工作； (3)在南京工作的不是教师； (4)在上海工作的是工人； (5)乙不是记者. 三人各在什么地方工作？各是什么职业？ 4小糊涂对小博士说：“我想把54个围棋子放进10个盒子，每个盒子里都有围棋子，且每个盒子中的棋子数各不相同”小博士听了，笑着说：“小糊涂你又糊涂了，你说的情况根本办不到”小博士为什么能判断出这种情况根本办不到？ 5下面的图是飞行棋的一颗骰子，根据图中A，B，C三种状态显示的数字，请你推出“？”处的点数是几A B C 6甲、乙、丙三名同学参加了一次标准化考试，试题共10道，都是判断题，正确的画“”，错误的画“”，每道题1分，满分为10分，他们的答卷如下表： 成绩公布后，三人都得7分，请你给出各题的正确答案 7甲说：“我13岁，比乙小2岁，比丙大1岁” 乙说：“我不是年龄最小的，丙和我差3岁，丙是16岁”， 丙说：“我比甲年龄小，甲14岁，乙比甲大3岁”， 以上每人所说的三句话中，都有一句是错误的请你确定甲、乙、丙三人的年龄 8A，B，C，D四人进行乒乓球比赛，每两个人之间都要赛一场，结果A胜了D，并且A，B，C三人胜的场数相同，问D胜了几场 9六(1)班共44人，从A，B，C，D，E5名候选人中选举班长，A得票23张，B得票占第2位，C，D两人得票相同，E得票最少，得4票那么B得票多少张？ 10已知，是3个最简真分数，A，B，C都是自然数，如果每个分数的分子都加上A，分母保持不变，得到的3个新数之和等于2，那么A,B,C各为多少？你知道吗 1918年，英国著名数学家罗素(BA.W.Xusse11，18721970)引述了一个悖论 据说从前有一个村，规定理发师的职责是“专为村上所有不自己刮胡子的人刮胡子，而且只给这样的人刮胡子” 按照这个规定，理发师可不可以自己刮胡子呢？理发师陷入了自相矛盾的窘境：刮也好，不刮也好，都违反规定！ 这种自相矛盾的言论、概念，数学上叫做“悖论”，上面所说的就是著名的“理发师悖论”第2讲 列方程解应用题 列方程解应用题是运用方程知识来解决实际问题，很多稍复杂的应用题，特别是需要逆向思维的题，运用算术方法解答有一定的困难，列方程解答就比较容易 列方程解应用题的关键是正确地设立未知数，找出等量关系，从而建立方程 列方程解应用题的一般步骤是： 1弄清题意，找出未知数，并用x表示； 2找出应用题中数量之间的相等关系，列方程； 3解方程； 4检验，写出答案例1 六(1)班有58人，六(2)班有26人，从六(1)班调多少人到六(2)班，才能使六(2)班人数比六(1)班人数的2倍少9人？思维点拨 我们可以设从六(1)班调x人到六(2)班，那么，调动后六(1)班有(58x)人，六(2)班则有(26x)人再根据调动后“六(2)班人数比六(1)班人数的2倍少9人”这个条件，就可以列出方程：26x2(58x)9例2 有甲、乙、丙三个数，乙数是甲数的5倍，丙数比乙数少4，且三个数的和是95，求这三个数，思维点拨 这道题中有三个未知量，根据数量关系，设甲数为x，则乙为5x，丙为5x4，再根据三个数的和为95，就可以列出方程了例3 光明小学体育器材室里，足球的个数是排球的2倍体育课上，每班借8个足球，5个排球，排球借完时，足球还有48个体育器材室原有足球、排球各多少个？思维点拨 我们如果设原有排球x个，则原有足球2x个，借出的足球有(2x48)个用借出的球数除以每班借的球数就得到班级数，即班级数可以表示为(T5)，也可以表示为(21，48)8，即可得方程x5(2x48)8，这个方程解起来比较麻烦如果我们设光明小学有x个班，则排球数为5x，足球个数为( 8x48)，再根据“足球个数是排球的2倍”就可以列出方程：5x28x48例4 一个两位数，十位上的数字比个位上的数字少1，如果十位上的数字扩大到4倍，个位上的数字减去2，那么，所得的两位数比原来大58，求原来的两位数.思维点拨 要求原来的两位数，就要先求出十位数字和个位数字，如果设两位数的个位数字是x，则十位上的数字是(x1)，原来这个两位数是10(x1)x，把十位数字扩大到4倍，是4(x1)，个位上的数字减去2，是(x2)，现在的两位数为104(x1)(x2)，根据题意可列出方程.例5 有个水池，第一次放出全部水，第二次放出40立方米，第三次又放出剩下水的，池里还剩水56立方米，全池蓄水多少立方米？思维点拨 如果用x表示全池的蓄水量，那么第一次放出的水应为x，第二次放出的水是40立方米，第三次放出的水应是剩下的水的(xx40)有这样的等量关系：第一次放水量第二次放水量第三次放水量剩余水量全池蓄水量例6 两座粮仓，甲仓装粮食100吨，如果从乙仓中运出放到甲仓，这时，乙仓的粮食比甲仓少求乙仓原有粮食多少吨？思维点拨 设乙仓原有x吨粮食运出x吨给甲仓，甲仓就有(100x)吨，乙仓只剩下x吨，再根据“这时乙仓比甲仓少”这个条件，就可以列出方程了课内练习 1甲仓有86吨货物，乙仓有42吨货物，从甲仓运多少吨货物到乙仓，才能使乙仓的货物比甲仓的2倍还少4吨？ 2甲、乙、丙三个数的和为112，丙数比乙数多4，乙数是甲数的4倍，求这三个数 3某小学图书馆里科技书的本数是故事书的3倍，活动课上，每班借7本科技书，5本故事书，故事书借完时，科技书还剩96本，图书馆里有科技书和故事书各多少本？ 4一个两位数，个位数字与十位数字之和为8，将个位数字与十位数字对调后，所得的新数比原来的数大54，求原来的两位数 5一辆汽车从甲地到乙地第一小时行了全程的，第二小时行了80千米，第三小时行了剩下的，这时距乙地还有100千米，甲、乙两地相距多少千米？ 6甲仓有货物52吨，从乙仓运出到甲仓，这时乙仓比甲仓多，求乙仓原有货物多少吨课外作业 1甲布袋有280个玻璃球，乙布袋有40个玻璃球，从甲布袋取多少个放入乙布袋，才能使甲布袋的玻璃球比乙布袋的2倍还多35个？ 2希望小学的六年级有三个班，共有153人六(1)班人数是六(3)班的1.12倍，六(2)班比六(3)班少3人，三个班各有多少人？ 3布袋里有红球和黄球若干个，红球比黄球的3倍多6个，若每次取出8个红球和4个黄球，当黄球正好取完时，红球还剩30个，袋子里原有红球、黄球各多少个？ 4一个六位数的左边第一位数字是1如果把这个数字移到最右边，那么所得的六位数是原数的3倍，求原数 5两个集镇之间的公路除了上坡就是下坡，没有平路，客车上坡的速度保持为每小时15千米，下坡则保持为每小时30千米现知客车在两地之间往返一次，需在路上行驶6小时，求两地之间的距离 6甲、乙两班各有一个图书室，共有303本书，已知甲班图书的和乙班图书的合在一起是95本那么甲班图书有多少本？ 7西红柿和黄瓜共有180千克，西红柿的3倍比黄瓜的2倍少10千克，西红柿和黄瓜各多少千克？ 8第一个正方形的边长比第二个正方形边长的2倍多1厘米，它们的周长之和是88厘米，它们的面积之和是多少？9甲、乙、丙三个数的和是218，已知甲数除以乙数、乙数除以丙数都是商3余2，甲、乙、丙三个数各是多少？10.甲、乙、丙、丁四人共做零件265个，如果甲多做15个，乙少做5个，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以3，那么四个人做的零件数恰好相等，问：丙做了多少？ 你知道吗 列方程解应用题比阐算术方法解应用题有明显的优越性，即简单、快捷、正确. 什么叫方程呢?方程就是含有未知数的等式，把这个砉知数求出来，就叫做解方程方程中的未知43通常都用x，y，x来表示，这是法国著名数学家、哲学家笛卡儿(RDescaxtes，15961650)倡导使用的，常用a，b，c等表示已知量，用x，y，z等表示未知置第3讲 巧计算 在做分数计算题时，一般的分数计算题，只要能正确利用分数的基本性质、四则运算法则及定律，都能得到正确的结果，但有些稍难的分数计算题，若按常规的方法计算会很麻烦，而且很难得出正确的结果，又浪费时间所以我们必须学会某些特殊的运算技巧，合理选择巧妙的方法使运算简便，从而节省时间，提高运算速度和解题的正确率例1 计算： 思维点拨 用一般的通分方法计算可以算出结果，但实在是太麻烦了仔细观察会发现每个括号内都有，我们可以先把它看成一个整体，用一个字母来表示，使运算简化.例2 计算：思维点拨 我们先仔细观察每个分数，它们的分子都是1，分母都可分解为两个连续自然数的积于是每个分数都可拆分成两个分数的差： ， ，.例3 计算：思维点拨 仔细观察后很容易发现，每个分数的分子都是2，而分母都是两个相邻奇数的乘积，并且分子恰好等于分母的两个相邻奇数的差，则有，, ，.例4 计算：思维点拨 仔细观察后很容易发现，每个分数的分子都是1，而分母是两个差为3的自然数组成的乘积形式我们可以将写成的形式，再运用乘法分配律把提取出来，就可以进行简便计算了例5 计算：.思维点拨 本题先用等差数列求和公式将各分数的分母化简，再运用其他公式计算.例6 计算：.思维点拨 仔细观察本题的特一点，每一个分数总是其后一个相邻分数的2倍据此特点可设原式为A，将A扩大2倍后得到2A，再用2AA，便可以得到A的值了课内练习 1计算： 2计算： 3计算：4计算：5计算：6计算：课外作业1.计算：2计算：3计算：4计算：15. 计算: 16计算： 7计算：8计算：(3579)(1234).9.计算： .10.计算: .你知道吗 传说德国伟大的数学家、物理学和天文学家高斯(CFGauss，17771855)很小的时候就表现出了非凡的数学才能，他在10岁的那年还在读小学，一次老师出了一道123100?的数学题目，老师刚说完，高斯就能答出等于5050令同伴们都惊讶不已! 高斯不仅喜欢数学，还非常喜欢古代语，他在大学一年级发明了二次互反律，二年级得出正十七边形的尺规作图法，并给出了可用尺规作出的正多边形的条件，解决了两千年来悬而未决的难题，高斯的数学成就遍及数学的各个领域，被誉为历史上伟大的数学家之一 高斯还在天文学和物理学方面作出许多重要贡献第4讲 估算的技巧 在日常生活、科学研究及工程建设中，往往会遇到比较复杂的计算，许多情况下，我们没有必要也不可能算出绝对精确的结果，这时，只需估算一个大致结果就可以了，估算常常运用取近似值、放与缩等技巧进行快速、近似的计算，这是一种十分重要的计算方法熟练掌握这种算法不仅可以帮助我们解决问题，还可以用来检验计算结果是否正确例1 试用估算法检验下列计算是否正确 534543思维点拨 因为一个因数小于1，所以积应小于另一个因数，而543大于534,所以计算错误例2 某校六年级三个班举行一次数学考试，六(1)班43人，平均分是81分，六(2)班46人，平均分是83分，六(3)班43人，平均分是85分，这三个班每人的平均分是( )分A81 B82 C83 D85思维点拨 根据平均数的意义，三个班每人的平均分既不能低于或等于81分，也不能高于或等于85分，所以答案A，D都是错误的，因为六(1)班和六(3)班都是43人，若从六(3)班每个同学中取2分补给六(1)班的每个同学，平均分正好是83分，又与六(2)班的平均分相同，所以应选C例3 计算7.87.987.9987.9999999998的整数部分是多少思维点拨 这道题有10个加数，分别是7.8，7.98，7.998，7.9999999998，从十分位起依次多一个9，两个9九个9，把这十个数加起来，可以直接计算出结果，再确定整数部分是多少，但这样太烦琐了实际上，和的整数部分只与十个数的个位、十分位、百分位上各数的和有关，而与百分位以下各位上的数的和没有太多关系，这样就可以减少计算的次数而得出和的整数部分例4 求下式的整数部分：.思维点拨 先确定分母部分最小不小于几，最大不大于几，便可确定分母部分的值的范围若这个范围很小，就能算出该式的整数部分，因为分母部分一定比10个小，一定比10个大，从而可以得到该算式的值在200到200.9之间，从而得出该算式整数部分的确定值例5 一个四位数66能被134整除，求这个四位数除以134的商，思维点拨 原四位数一定在6006到6996之间，容易求出商的范围，再利用整除性求出这个商.例6 ，都是真分数，且1.38，那么 .思维点拨 先用不等式估计的大小，列出不定方程，从而求出整数解课内练习1试用估算法检验下列计算是否正确2054120362某校六年级三个班举行一次数学考试五(1)班41人，平均分是82分；五(2)班44人，平均分是83分；五(3)班41人，平均分是84分，这三个班每人的数学平均分是( )分 A82 B84 C83 D83.53求4.54.654.6654.6666666665的整数部分4.求的整数部分5求40(0.400.410.420.59)的商的整数部分是多少6下式是用四舍五入的方法计算得到的三个真分数的和，十十1.35， 那么，三个自然数a( )，b( )，c( )课外作业1试用估算法检验下列计算是否正确 0.8655.434.63752某车间加工一种机器零件，4人6小时能加工104个，照这样计算，10人加工260个零件，需要( )小时 A.6 B7 C8 D.103设A，求A的整数部分4.求的整数部分5求1070117112722080的整数部分6有一个算式1.71，,算式左边方框里都是整数，右边答案是四舍五入后的近似值求算式中方框里的整数分别是多少.7六(1)班共44名学生，A，B，C，D，E五名同学竞选班长已知A得票最多，得23票，B第二名，C，D，E分别为三、四、五名，E得3票，问B最多得几票8三个真分数1.35，那么x，y，y各是多少？9比较两式4567812345和5678923456的大小10求的整数部分.你知道吗德国数学家高斯10岁的时候就能很快地算出1231005050那么 12398991009998974321?你能很快算出来吗?宁宁能很快算出来，答案是10000，因为他记住了一个速算的方法. 请看： 121422 12321932 12343211642 刚有公式： 123(n1)n(n1)321n2. 再看上面那道题目，它的答案就是100210000. 如果你记住了这个方法，那么你也能很快地算出这种类型的题目的答案了第5讲 最大与最小问题 在日常生活中，经常会遇到有关最大、最小、最多、最少等问题，我们把这炎问题统称为最大与最小问题这类问题涉及的知识面广，题目复杂，大多数这样的问题并没有固定的解题模式，因此，解题时要根据题中给出的条件去分析、判断、推理，最后才能得出正确的答案例1 下面是一个乘法算式问：当乘积最大时所填的六个数字的和是多少？思维点拨 从算式看，积是三位数，最大可是999.又一个因数是5，所以积是5的倍数，从而积最大只能是995.根据积与一个因数，就能求出另一个因数，使问题得到解决例2 把16分成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，要使得乘积尽可能大，问：这个乘积是多少？思维点拨 要想使拆成的几个自然数乘积最大，拆成的个数要尽可能多且不含1，不宜大于4，例如5，可再拆成2和3，因为235，因此，所拆成的数大于4的应再拆还有，拆成的数中2的个数不宜多于2个，若多于2个，比如3个2，因为2226，而633，33222，因此应尽量多拆出3来，这样可将16拆成4个3和2个2，即16333322.此时乘积最大为333322324.例3 某人有一个长20米的铁丝网，他想借围墙做一面，用这个铁丝网围成一个长方形菜地，并使这块菜地的面积尽可能地大，问：这个菜地的最大面积是多少？思维点拨 因为菜地四周有三面用这个铁丝网围起来，另一面借助于已有的围墙，要使这个菜地的面积最大，即使得长与宽的乘积最大注意长与两个宽的和等于铁丝网的长度20米，为定值当长与宽的乘积最大时，长与2倍的宽乘积也最大，反之亦对，于是问题转化为：当长与2倍宽的和为定值，即20米时，长2倍的宽10米，乘积最大，即长为10米、宽为5米时乘积最大.例4 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中，选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7和13整除，这个数最大是多少？思维点拨 要使这个五位数能被3，5，7和13整除，可知这个五位数是3，5，7，13的公倍数因为3，5，7和13的最小公倍数是357131365，这个五位数中1365的最大倍数是13657399645，但99645中有两个9重复，不符合题意，因而可将这个99645逐个减少1365，直至找出符合题意的五位数例5 从1，2，3，1993，1994这些自然数中，最多可以取多少个数，才能使其中每两个数的差不等于4？思维点拨 我们设法将这些自然数分组，使得每组中两数的差为4由此，同组的两数中至多取出一个数，从而给出所能取出的数的个数的上界，再设法取出这些确定的数，说明这个数是可以达到的例6 和平小学有若干名学生参加数学竞赛，每名学生的得分都是整数已知参赛学生的总分为3063分，且前三名的分数分别是90，85，80，最低分数是50分，又已知前三名没有得分相同的学生，其他每个分数，得分相同的学生不超过4人，问：至少有多少学生不低于60分(包括前三名)?思维点拨 因为问的是得60分以上的至少有多少人，那么，我们应该让得60分以下的人尽可能地多，得60分以下的人最多可得(50515253545556575859)42180(分)，60分以上80分以下的人共得分：3063( 9085802180)628(分) 显然，得这628分的若干人应该是人数最少.628794784，这样，我们可以求出不低于60分的同学至少有44311(人)课内练习1两个非零自然数相除商是126，余数是36，问：被除数最小是多少？2将17拆成几个自然数的和，并使这些自然数的乘积最大，最大的积是多少？3用长为40米的竹篱笆围成一块长方形菜地，其中一面靠墙，为使菜地面积最大，应怎样分配长与宽？最大面积是多少平方米？4个位上的数字是4，且能被3整除的六位数有多少个？最大的六位数是多少？5从1，2，3，2002中最多可以取多少个数，使得其中任意两个数之差都不等于5？6一次数学考试的满分是100分，6名同学在这次考试中乇均得分是91分，这6名同学的得分互不相同，其中有1名同学仅得65分那么，得分排在第3名的同学至少得多少分？课外作业1下面算式中的两个方框内应填什么数，才能使这道整数除法题的余数最大？ 251092将30分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数的乘积最大，该乘积是多少？3有一块菜地长35米，宽25米，菜地中间留了1米的路，路把菜地分成四块(如图)，菜地的实际面积是多少？4今有一队学生(300人以内)，如果每9人排成一列，最后余下4人，如果每7人排成一列，最后余下3人，问：这队学生最少有多少人？最多有多少人？5从4，8，12，16，76这列数中，任取11个数，至少有两个数的差为36，请你说明这是为什么6五名选手在一次数学竞赛中共得404分，每人得分互不相等，并且其中得分最高的选手得90分那么得分最少的选手至少得多少分，至多得多少分？(每名选手的得分都是整数)7一个三位数除以43，商是a，余数是b(a，b均为整数)，求ab的最大值是多少8如果8个人的平均年龄是48岁，已知在8人中没有人大于51岁，又知最多能有3个人的年龄相同，那么年龄最小的可能是多少岁?9一个布袋中有35个同样大小的球，其中白色球、黄色球和红色球各10个，另外还有3个蓝色球、2个绿色球一次至少取出多少个球，才能保证取出的球中至少有4个是同色的？10.5名选手在一次数学竞赛中共得412分，每人得分互不相等，并且其中最高得分为90分那么得分最少的选手至少得多少分，至多得多少分？(得分都是整数)你知道吗 为什么油桶、水箱等装液体的容器六都做成圆柱形的？这里有数学方面的道理，设圆柱形的底面半径是r高为h可以做成2rh，2rh三种形状的圆柱形容器，使用哪一种形状用料最省呢?也就是上、下底面积和侧面积之和最小经过计算可以知道，当h2r时，即取底面圆的直径和高相等时，用料最省， 如果容器做成球形，则比做成圆柱形还要省料，但是球形容器容易滚动，很不稳定，而且盖子也难做好，做成球形虽然省料，但不实用，所以一般都不做成球的形状.第6讲 分数应用题分数应用题是小学数学的重点和难点之一它的基本类型有三种：1求一个数是另一个数的几分之几；2求一个数的几分之几是多少；3已知一个数的几分之几是多少，求这个数解答分数应用题的关键是找到单位“1”，建立对应关系.例1 甲数比乙数多，乙数比甲数少几分之几？思维点拨 这是“求一个数是另一个数的几分之几”类型的分数应用题解答这类题的方法是：看谁和单位“1”比，就用谁除以单位“1”，本题是求乙数比甲数少几分之几，所以是用“乙数比甲数少的”除以甲数.例2 小明看一本小说，第一天看了全书的还多16页，第二天看了全书的少2页，全书有144页小明这两天共看了多少页？思维点拨 此题的单位“1”是全书的页数，已经告诉我们全书有144页，所以这道题是“求单位1的几分之几是多少”的类型例3 小明看一本书，第一天看了全书的，第二天看了40页，第三天看的页数是前两天看的总数的，这时还剩下全书的没有看问：全书共有多少页？思维点拨 第三天看的页数是前两天看的总数的，就是指第三天看的页数是全书的加上40页的，由此可知，已知数量(4040)的对应分率是(1)例4 甲、乙两数之和是270，甲数的等于乙数的甲、乙两数各是多少？思维点拨 题中有甲数、乙数两个单位“1”，需统一单位“1”把甲数看做单位“1”，那么乙数就是甲数的，即甲数的这样与和270相对应的具体分率是1，由此可求出单位“1”.例5 向前小学六年级有学生480人，其中女生占，后来转来了一些女生，这样女生占六年级总人数的，转来的女生有多少人？思维点拨 在本题中，女生人数、六年级总人数都发生了变化，但男生人数却没有变化，因此可抓住男生人数这个不变量求出后来的总人数，从而推出转来的女生人数，例6 为了庆祝六一儿童节，学校买来红气球和黄气球共200个，红气球的比黄气球的多14个学校买来红气球和黄气球各多少个？思维点拨 设学校买来红气球1个，黄气球就有(200x)个，根据题目中的条件“红气球的比黄气球的多14个”，可以列出下面的等量关系式：红气球的黄气球的14课内练习1甲数比乙数少，乙数比甲数多几分之几？2一堆煤1050吨，一季度烧了还多10吨，二季度烧了原总煤量的少5吨，还剩多少吨？3一辆汽车从甲地开往乙地，第一小时行了50千米，第二小时行了全程的，第三小时行的是前两小时行的总和的，这时还剩下全程的，甲、乙两地相距多少千米？4小华和小红共有910元存款，小华存款的和小红存款的相等，她们俩入各有存款多少元？5某校六(2)班有48人，女生占，转走几名女生后，女生，转走了几名女生？6师徒两人合作加工400个零件，师傅加工的比徒弟加工的还多8个，师徒两人各加工了多少个？课外作业1六(1)班星期二这天出勤39人，缺勤1人，求六(1)班这天的出勤率2甲、乙两城相距960千米，自行车队从甲城出发去乙城，第一天行了全程的多15千米，第二天行了全程的多20千米，第三天行了全程的自行车队三天共行了多少千米？3王师傅加工一批零件，第一天加工了40个，第二天加工了这批零件的，第三天加工的比前两天加工的总和的还多20个，这时还剩下这批零件的没有加工，这批零件共有多少个？4甲、乙两个仓库共有510吨货物，从甲仓运走，从乙仓运走后，两仓库剩下的货物正好相等，甲、乙两个仓库原有货物各多少吨？5数学兴趣小组中，女生人数占，后来又有8名女同学参加，这时，女生人数占数学兴趣小组人数的，求这个数学兴趣小组现在共有多少人6王伟和李刚共有800元存款，王伟取出自己存款的，李刚取出自己存款的，这时两人还共有存款170元，王伟和李刚原来各有存款多少元？7红山小学六年级举行数学和语文竞赛，参加的人数占全年级总人数的，参加语文竞赛的占竞赛人数的，参加数学竞赛的占竞赛人数的，两项都参加的有12人，全年级共有多少人？8甲、乙、丙、丁四人共有存款若干，其中甲有480元，乙的存款是其余三人的，丙的存款是其余三人的，丁的存款是其余三人的，甲、乙、丙、丁四人共有存款多少元？9有一家粮店运进一批大米，第一天卖出总量的，第二天卖出总量的，第三天卖出剩下的，此时只剩下100千克，问：原运进大米多少？10.有一个水池，第一天放出全部水的，第二天放出40立方米，第三天放出全部水的，此时水池中还有水56立方米，试问：这个水池一共有水多少？你知道吗 关于乘法的记号. 人类很早就掌握了乘法运算，我国古代就出现了“九九”乘法表，在西方还出现过格子乘法，乘法的记号“”是1631年由英国数学家奥特雷德( W.Oughtxed，15741660)倡用的，由于容易和拉丁字母“x”相混，17世纪丰经莱布尼兹(GW.1eibnix，16461716,德国数学家)提出改阐“”在我国，这两种记号都采用，数字的乘法用记号“”，而数字和字母相乘或是字母之间相乘，则用记号“”或省略不写第7讲 百分数应用题 在日常生活中会遇到很多百分数问题，如溶液的质量分数问题、商品的打折出售、利润率的计算、储蓄的利息等，其中常用的数量关系有： 溶液的质量分数 利润售价成本， 利润率100%， 售价成本(1利润率)， 单利息本金利率时间.例1 有含盐10%的盐水50千克，要配制成含盐25%的盐水200千克，需加盐和水各多少千克？思维点拨 先求出含盐25%的盐水200千克中有多少千克盐和水，再求出含盐10%的盐水中有多少千克盐和水，再用含盐25%的盐和水分别减去含盐10%的盐和水，就可以求出需要加盐和水各多少千克了.例2 甲、乙两种酒精的质量分数分别为80%和60%，现在要配制质量分数为65%的酒精4000克，应当从这两种酒精中各取多少克？思维点拨 配制溶液的过程中，前、后溶液中的溶质没有改变，利用这个关系列出方程解答例3 某商品按20%的利润定价，然后按八八折卖出，获得利润56元这件商品的成本是多少元？思维点拨 把这件商品的成本看做单位“1”，商品的定价就是成本的120%120%因为商品按八八折卖出，所以商品的售价就相当于成本的120%88%105.6%，而获得的利润就相当于成本的105.6%15.6%.例4 某商品按定价出售，每个可以获得利润50元现在按定价八折出售8个与按定价每个减价40元出售12个所能获得的利润一样这种商品每个定价多少？思维点拨 每个减价40元出售12个共可获利润(5040)12120(元)，也是八折出售8个所得的利润，所以八折出售每个获利为120815(元) 八折每个商品少获利501535(元)，八折就是每件商品少卖定价的180%20%，这样我们可知定价的20%是35元，从而可以求出定价.例5 成本为3.5元的笔记本4000本，按50%的利润定价出售，当卖掉80%后，剩下的笔记本打折扣出售，结果获得的利润是预定的88%，问：剩下的笔记本出售时是按定价打了什么折扣？思维点拨 由题意，可得如下关系式：成本(150%)80%成本(180%)(150%)折扣成本(150%88%)例6 小华到商店买红、蓝两种笔共66支，红笔每支定价5元，蓝笔每支定价9元由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价85%付钱，蓝笔按定价80%付钱如果她付的钱比按定价少付了18%，那么她买了红笔多少支？思维点拨 由题意我们可知，她付的钱比定价少了18%，我们可以理解为红笔是定价的118%82%，蓝笔也是定价的82%，相当于红笔付钱时每支是582%4.1(元)，蓝笔付钱时是每支982%7.38(元)实际上红笔每支585%4.25(元)，蓝笔每支980%7.2(元)由于所付的总钱数不变，因此红笔多付的钱与蓝笔少付的钱一样多.课内练习1有含盐15%的盐水40千克，要配制含盐25%的盐水100千克，需加盐和水各多少千克？2将20%的盐水与J%的盐水混合，配成15%的盐水300克，需要20%的盐水和5%的盐水各多少克？3某商品按20%的利润定价，然后按九折卖出，共得利润64元，这件商品的成本是多少元？4一种商品按定价出售每个可获利60元，现在按定价的75%出售10个与按每个减价40元出售5个所获得的利润同样多，这种商品每个定价是多少元？5成本为4.2元的某商品共600件，按40%的利润定价出售，当卖掉80%后，剩下的商品打折扣，结果获得的利润是预定的86%问：剩下的商品出售时是按定价打了什么折扣？6赵师傅以每只2.80元的价格购进一批玩具狗，然后以每只3.60元的价格卖出，当卖出总数的时，不仅收回了全部成本，还盈利24元，赵师傅一共购进多少只玩具狗？课外作业1在质量分数为25%的食盐水20千克中加入10%的食盐水和白开水各若干千克，加入的食盐水是白开水的2倍，得到了质量分数为20%的食盐水，求加入10%的食盐水多少千克2质量分数为20%，18%和16%的三种盐水混合后得到100克18.8%的盐水如果18%的盐水比16%的盐水多30克，三种盐水各有多少克？3一件商品按30%的利润定价，然后按七折卖出，结果亏损了18元，这件商品的成本是多少元？4一种商品，甲店进货价比乙店便宜12%，两店同样按20%的利润定价，售出这样的一件商品乙店要比甲店多收入24元，求甲店的定价是多少元5某商店有两件商品，其中一件商品按成本增加25%出售，另一件商品按成本减少20%出售，售价恰相同，那么( )6某文体商店用2200元进了一批篮球和足球，篮球比足球多15个，商店出售足球的定价是20元，篮球的定价比足球增加20%，这批球售完后共得利润1020元，足球和篮球各有多少个？7在质量分数为30%的300克盐水中加入多少盐就能得到质量分数为40%的盐水？8甲容器中有质量分数为10%的盐水400克，乙容器中有质量分数为15%的盐水240克，往甲、乙两容器中倒入等量的水，使两个容器中盐水的质量分数相同，每个容器应加入多少水？9姜老师于2006年3月15日将10000元钱存入银行，存期为1年，年利率为4.5%2007年3月15日姜老师到银行办了本息续存1年的手续，年利率未变，2008年3月15日姜老师又到银行办了本息续存1年的手续，年利率仍为4.5%问：姜老师到2009年3月15日可拿到本息共多少？10.某商店出售一种商品，每售出1件可获利润18元，售出40%后每件减价10元出售，全部售完，共获利3000元问商店共售出这种商品多少件你知道吗 通常我们说甲比乙多多少和乙比甲少多少是一样的，例如，甲比乙多10千克，那么乙就比甲少10千克但是用分数来表示时情况就不一样了因为甲比乙多百分之几的意思是，乙比甲少百分之几的意思是里，两个式子分子相同，分母却是不同的，因此结果就不同了例如甲比乙多25%，刚乙比甲少百分之几呢？我们选乙做标准，也就是乙为100%，因甲比乙多25%，所以甲是125%乙比甲少百分之几就是20%,即乙比甲少20%,两者不同你可以自己再算几个第8讲 工程问题 工程间题是分数摩用题的特倒，因此解分数应用题的基本思想和解工程问题是一致的，工程问题是研究王作效率、王作时间和工作憨量之间相互关系的一类问题它的基本数量关系式是：工作效率工作越间工作总量在工程问题中，常常把工作总量看做单位“1”，工作效率则用“每天完成工作量妁几分之几”来表示例1 甲、乙两队合修一条公路甲队单独修要15天修完，乙队单独修要 20天修完，现在两队同时修了几天后， 由甲队单独修了8天修完，求乙队修了几天 思维点拨 把公路全长看做单位“1”，从单位“1”中减去甲队8天修的，剩下的就是甲、乙两队同时修的，用剩下的工作量除以甲、乙两队的工作效率之和，等于甲、乙两队合修的天数，也就是乙队修的天数例2 一项工程，甲、乙两队合作12 天完成，乙、丙两队合作18天完成，甲、丙两队合作需9天完成，现在三队合作，需多少天完成？思维点拨 根据题意，甲、乙两队每天完成这项工程的，乙、丙两队每天完成这项工程的，甲、丙两队每天完成这项工程的()就是甲、乙、丙三队合作2天共完成了这项工程的几分之几，容易求出甲、乙、丙每天完成这项工程的几分之几，进而求出三队合作完成这项工程需要多少天，例3 一件工作，甲单独完成需要20天，乙单独完成需要15天，若甲先做若干天后乙接着做，共用了18天完成，求甲工作了多少天思维点拨 由于甲的工作效率是，乙的工作效率是，甲比乙的工作效率慢，所以18天完不成这件工作用乙的一天工作量换成甲的一天工作量，则每天又可多完成这样甲18天内完不成的工作量里有几个，乙就应替换甲几天，也就是乙工作的时间例4 师徒两人合作一件工作，要20天完成，如果让徒弟先做8天，剩下的工作由师傅单独做，还要26天才能完成，师傅单独做这件工作需要多少天完成？思维点拨 这里可以把“徒弟先做8天，剩下的工作由师傅单独做，还要26天才能完成”转化为“师徒两人合作8天后，师傅再做26818(天)才能完成”来考虑例5 加工一批零件，甲、乙合作24天可以完成，现在由甲先做16天，然后乙再做12天，还剩下这批零件的40%没有完成，已知甲每天比乙多加工5个零件，求这批零件共有多少个思维点拨 甲、乙合作的效率和为，“甲先做16天，然后乙再做12天”可理解为“甲、乙合作12天后，甲再单独做16124(天)”，这样甲4天完成的工作量为140%12，于是，可以求出甲的工作效率为4，乙的工作效率为，从而求出5个零件占这批零件的击.例6 一项工程，单独做，甲要12小时完成，乙要9小时完成如果先由甲干1小时，然后乙接替甲干1小时，再由甲接替乙干1小时两人如此交替工作，需要几小时完成任务？思维点拨 甲的工作效率为，乙的工作效率为，甲工作1小时，乙再工作1小时，即一个循环，完成工作量为由15知，最多可以有5次循环，而5次循环将完成工作量5，还剩下1的工作量，剩下的工作量由甲做，还需要(小时)课内练习1一项工程，甲单独完成需要8天，乙单独完成需要12天现在甲、乙两人合作若干天后，乙有事请假，由甲单独干了3天完成，甲共干了多少天？2一件工作，甲、乙两人合作需24天完成，乙、丙两人合作需40天完成，甲、丙两人合作需30天完成，若由甲、乙、丙独做，各需多少天完成？3一项工程，甲独做要30天完成，乙独做要20天完成，若由甲做了若干天后，由乙继续做完，从开始到完工共用了26天，求甲、乙两人各做了多少天，4一件工作，甲、乙两人合作30天完成如果甲单独做20天后，乙再加入工作，两人合作12天后，甲因事离开，由乙继续做了15天才完成，这件工作如果由甲单独完成，需要多少天？5修一条公路，甲、乙两队合修需12天完工，现在由甲队先修8天，然后由乙队再工作6天，还剩下这条路的詈没有修，剩下的路由甲队修，还需要多少天？6一件工作，由甲单独做要14小时完成，乙单独做要20小时完成如果按甲先乙后，每人每次1小时轮流工作，需要多少小时完成任务？课外作业1一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了60天才完成，如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？2一项工程，甲、乙两队合作需30天完成，乙、丙两队合作需40天完成，丙、丁两队合作需120天完成甲、丁两队合作需多少天完成？3一件工作，甲独做要50天完成，乙独做要60天完成现在甲、乙两人合作，乙中途休息了若干天，到完成工作时，用了30天，求乙中途休息了几天4一条公路，甲、乙两队同时修5天可以修完，乙、丙两队同时修4天可以修完，如果甲、丙两队同时修2天，还需乙队修6天才能修完若乙队独修几天可以修完？5王师傅和张师傅共同加工一批零件需30天完成，王师傅先干22天，两人再合作12天，剩下的张师傅单独还要干16天才能全部完成，又知王师傅每天比张师傅少加工14个零件问：照这样，完成任务时，张师傅共做了多少个零件？6蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时现在池内有池水如果按甲、乙、丙、丁、甲、乙的顺序轮流打开1小时，问：多少小时后水
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