常微分方程的解法大全

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,常微分方程的解法介绍,向量场,设一阶微分方程,的右端函数在x平面的一个区域D中有定义,满足解的存在唯一性定理的条件,那么,过D中任一点(x)有且仅有(13.1)的一个解,y=9(x),满足=6纸对x中对,从几何方面看,解y=9(x)就是通过点x,y)的一条,曲线(称为积分曲线),且(x,(x)就是该曲线上,的点(x(x)处的切线斜率,特别在(xy)切线斜率,就是(x,y)尽管我们不一定能求出方程(131)的,解,但我们知道它的解曲线在区域D中任意点(x,y),的切线斜率是(x,y),如果我们在区域D内每一点(xy)处,都画上一个,以f(xy)的值为斜率中心在(xy)点的线段,我们,就得到一个方向场,将这个方向场称为由微分方程,所确定的向量场,向量场对于求解微分方程的近似解和研究微分方,程的几何性质极为重要,因为,可根据向量场的走,向来近似求积分曲线,同时也可根据向量场本身的,性质来研究解的性质,从几何上看,方程(1、3)的一个解y=p(x)就是位于,它所确定的向量场中的一条曲线,该曲线所经过的,每一点都与向量场在这一点的方向相切。,形象的说,解y=(x)就是始终沿着向量场中的方向,行进的曲线,因此,求方程(13)满足初始值y(x)=,的解,就是求通过点(x,y)的这样的一条曲线,定理1.3曲线L为(1.1)的积分曲线的充要条件是:,在L上任一点,L的切线与(1.3.1)所确定的向量场在该,点的向量相重合。L在每点均与向量场的向量相切,例1.3.1在区域艳+N半一内画出方程,=y的向量场和几条积分曲线,解:用计算各点的斜率的方法手工在网格点上,画出向量场的方向可以得到向量场,但手工绘,图误差较大。我们可以用 Maple软件包来完成。,Maple指令,DEtools(phaseportrait,#画向量场及积分曲线,(dify(x),x)=y(),y(X),#定义微分方程y=-y,X=-2.2,#指定范围,y(2)=2y(2)=1y(2)=2,#给出3个初始值,dirgrid=17,171,#定义网格密度,arrows=LINE,#定义线段类型,axes=NORMAL,#定义坐标系类型,在 MATLAB的向量场命令为 quiver(x,y;pxpy),