高三数学专题复习函数的性质及应用.doc

高三数学专题复习函数的性质及应用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。一、 函数与反函数例1（1）已知A=1，2，3，B=4，5，则以A为定义域，B为值域的函数共有个（2）、（2012徐汇区一模）已知函数f（x）=x21的定义域为D，值域为1，0，1，试确定这样的集合D最多有个（3）（2013上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）=y|y=g（x），xI已知定义域为0，3的函数y=f（x）有反函数y=f1（x），且f1（0，1）=1，2），f1（2，4）=0，1）若方程f（x）x=0有解x0，则x0=二、 函数值域及最值求法例2、（1）（2011上海）设g（x） 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x） 在区间0，1上的值域为2，5，则f（x） 在区间0，3上的值域为（2）（2013黄浦区二模）已知，若存在区间a，b（0，+），使得y|y=f（x），xa，b=ma，mb，则实数m的取值范围是（3）（2012虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x26x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是三、 函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013资阳一模）已知函数若f（2m+1）f（m22），则实数m的取值范围是（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是 （3）（2012上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（1）=（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（1，3），g（x）=f（x1），则f（2012）+f（2013）=四、 函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为 。（2）设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x2）=f（x）对一切xR都成立，又当x1，1时，f（x）=x3，则下列四个命题：函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；当x1，3时，f（x）=（2x）3； 函数y=f（x）的图象关于x=1对称；函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称其中正确的命题是 五、 函数图像的对称性例5、（1）已知函数为偶函数，则函数图像关于直线 对称，函数图像关于直线 对称。（2）设则（3）已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：若f（x2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=2对称；若f（x+2）=f（x2），则函数f（x）的图象关于原点对称；函数y=f（2+x）与函数y=f（2x）的图象关于直线x=2对称；函数y=f（x2）与函数y=f（2x）的图象关于直线x=2对称其中正确的命题序号是六、函数性质的综合应用例6、（2013上海春季）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）b 是奇函数”（1）将函数g（x）=x33x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）= 图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）b 是偶函数”判断该命题的真假如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）例7、已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a0，xR，F（x）=，（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为0，+），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x1，1时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn0，m+n0，a0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0例8、（2012上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0f（12x）f（x）1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0x1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x1，2）的反函数例9、（2012卢湾区二模）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1D，存在唯一的x2D满足等式，则称M为函数y=f （x）的“均值”（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（1x1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）=ax22x（1x2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）例10、已知函数y=f（x），xR满足f（x+1）=af（x），a是不为0的实常数（1）若当0x1时，f（x）=x（1x），求函数y=f（x），x0，1的值域；（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x），xn，n+1），nN的解析式；（3）若当0x1时，f（x）=3x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由七、实战演练一填空题1、（2009上海）将函数（x0，6）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（0），得到曲线C若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为2、（2013上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）=y|y=g（x），xI已知定义域为0，3的函数y=f（x）有反函数y=f1（x），且f1（0，1）=1，2），f1（2，4）=0，1）若方程f（x）x=0有解x0，则x0=3、（2008湖南）设函数y=f（x）存在反函数y=f1（x），且函数y=xf（x）的图象过点（1，2），则函数y=f1（x）x的图象一定过点3、（2011上海）设g（x） 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x） 在区间0，1上的值域为2，5，则f（x） 在区间0，3上的值域为4、（2011闸北区二模）设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为1，3），则f（x）g（x）的值域为5、在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（a，b）在函数y=f（x）的图象上，那么称A，B为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（A，B与B，A看作一组）函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为6（2013上海）设a为实常数，y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x0时，f（x）=9x+7若f（x）a+1对一切x0成立，则a的取值范围为7（2012上海）若f（x）=为奇函数，则实数m=8（2012上海）已知函数f（x）=e|xa|（a为常数）若f（x）在区间1，+）上是增函数，则a的取值范围是9（2012上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g（1）=10（2013四川）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x0时，f（x）=x24x，那么，不等式f（x+2）5的解集是11（2013黄浦区二模）已知，若存在区间，使得y|y=f（x），xa，b=ma，mb，则实数m的取值范围是12f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（1，3），g（x）=f（x1），则f（2012）+f（2013）=13设函数f（x），g（x）的定义域分别为Df，Dg，且DfDg若对于任意xDf，都有g（x）=f（x），则称函数g（x）为f（x）在Dg上的一个延拓函数设f（x）=x2+2x，x（，0，g（x）为f（x）在R上的一个延拓函数，且g（x）是偶函数，则g（x）=14（2013普陀区一模）已知函数，设ab0，若f（a）=f（b），则bf（a）的取值范围是15 已知f（x）是定义在R上的函数，且对任意xR，都有f（x+3）f（x）+3和f（x+2）f（x）+2，若f（998）=1002，则f（2012）=16（2010西城区一模）设函数f（x）的定义域为D若存在非零实数l使得对于任意xM有x+lD，且f（x+l）f（x），则称f（x）为M上的l高调函数，如果定义域是1，+）的函数f（x）=x2为1，+）上的m高调函数则实数m的取值范围是-17定义在R上的函数f（x）满足f（m+n2）=f（m）+2f（n）2，其中m，nR，且f（1）0则f（2013）=18（2013浙江模拟）定义域为a，b的函数y=f（x）图象的两个端点为A、B，M（x，y）是f（x）图象上任意一点，其中x=a+（1）ba，b，已知向量，若不等式恒成立，则称函数f（x）在a，b上“k阶线性近似”若函数在1，2上“k阶线性近似”，则实数k的取值范围为-二解答题19（2012交大附中）若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2R，有f（x1+x2）f（x1）+f（x2），则称f（x）为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2R，有lgg（x1+x2）lgg（x1）+lgg（x2），则称g（x）为“对数V形函数”（1）当f（x）=x2时，判断f（x）是否为V形函数，并说明理由；（2）当g（x）=x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；（3）若f（x）是V形函数，且满足对任意xR，有f（x）2，问f（x）是否为对数V形函数？证明你的结论20（2012杨浦区一模）若函数y=f（x），如果存在给定的实数对（a，b），使得f（a+x）f（ax）=b恒成立，则称y=f（x）为“函数”（1）判断下列函数，是否为“函数”，并说明理由；f（x）=x3 f（x）=2x（2）已知函数f（x）=tanx是一个“函数”，求出所有的有序实数对（a，b）22给出函数封闭的定义：若对于定义域D内的任意一个自变量x0，都有函数值f（x0）D，则称函数y=f（x）在D上封闭（1）若定义域D1=（0，1），判断下列函数中哪些在D1上封闭（写出推理过程）：f1（x）=2x1，f2（x）=+1，f3（x）=2x1；（2）若定义域D2=（1，2），是否存在实数a，使得函数f（x）=在D2上封闭？若存在，求出a的值，并给出证明；若不存在，请说明理由23若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，而在I上是减函数，则称y=f（x）在I上是“弱增函数”（1）请分别判断f（x）=x+4，g（x）=x2+4x在x（1，2）是否是“弱增函数”，并简要说明理由（2）证明函数h（x）=x2+a2x+4（a是常数且aR）在（0，1上是“弱增函数”函数的性质及其应用 教师用函数的基本性质与函数的综合运用是高考对函数内容考查的重中之重，其中函数单调性与奇偶性是高考命题的必考内容之一，有具体函数，还会涉及抽象函数。函数单调性是函数在定义域内某个区间上的性质，函数奇偶性是函数在整个定义域上的性质。研究基本性质，不可忽略定义域对函数性质的影响。函数定义域体现了函数图像左右方向的延伸程度，而值域又表现了函数图像在上下方向上的延伸程度。对函数单调性要深入复习，深刻理解单调性定义，熟练运用单调性定义证明或判断一个函数的单调性，掌握单调区间的求法，掌握单调性与奇偶性之间的联系。掌握单调性的重要运用，如求最值、解不等式、求参数范围等，掌握抽象函数单调性的判断方法等等。要充分重视运用方程与函数、等价转换、分类讨论及数形结合等数学思想，运用分离变量方法解决函数相关问题，并围绕函数单调性分析解决函数综合问题。一、 函数与反函数例1（1）已知A=1，2，3，B=4，5，则以A为定义域，B为值域的函数共有6个解：从A到B建立映射共有23=8个，其中由2个映射的像集是4和5，把这2个映射去掉，其它映射的像集都是4，5，函数的本质是一个数集到另一个数集的映射，所以，构成以A为定义域，B为值域的不同的函数共有82=6个，故答案为6（2）、（2012徐汇区一模）已知函数f（x）=x21的定义域为D，值域为1，0，1，试确定这样的集合D最多有9个解：f（x）=x21，f（0）=1，f（1）=0，f（）=1因此，定义域D有：0，1，0，1，0，1，0，1，0，1，1，0，1，1，0，1，0，1，0，1，1，共9种情况，故答案为：9（3）（2013上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）=y|y=g（x），xI已知定义域为0，3的函数y=f（x）有反函数y=f1（x），且f1（0，1）=1，2），f1（2，4）=0，1）若方程f（x）x=0有解x0，则x0=2解：因为g（I）=y|y=g（x），xI，f1（0，1）=1，2），f1（2，4）=0，1），所以对于函数f（x），当x0，1）时，f（x）（2，4，所以方程f（x）x=0即f（x）=x无解；当x1，2）时，f（x）0，1），所以方程f（x）x=0即f（x）=x无解；所以当x0，2）时方程f（x）x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）x=0有解x0，且定义域为0，3，故当x2，3时，f（x）的取值应属于集合（，0）1，2（4，+），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：2二、 函数值域及最值求法例2、（1）（2011上海）设g（x） 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x） 在区间0，1上的值域为2，5，则f（x） 在区间0，3上的值域为2，7解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1） 函数f（x）=x+g（x）在区间0，1【正好是一个周期区间长度】的值域是2，5，令x+1=t，当x0，1时，t=x+11，2，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x） =x+g（x）+1 ，所以，在t1，2时，f（t）1，6（1） 同理，令x+2=t，在当x0，1时，t=x+22，3此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =x+g（x）+2所以，当t2，3时，f（t）0，7（2） 由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间0，3上的值域为2，7故答案为：2，7（2）（2013黄浦区二模）已知，若存在区间a，b（0，+），使得y|y=f（x），xa，b=ma，mb，则实数m的取值范围是（0，4）解：f（x）=4在（0，+）是增函数，f（x）在xa，b上值域为f（a），f（b），所以f（a）=ma且f（b）=mb，即4=ma且4=mb，所以ma24a+1=0且mb24b+1=0，所以mx24x+1=0必须有两个不相等的正根，故m0，解得0m4实数m的取值范围是（0，4）故答案为：（0，4）（3）（2012虹口区一模）已知函数f（x）=2x+a，g（x）=x26x+1，对于任意的都能找到，使得g（x2）=f（x1），则实数a的取值范围是2，6解：函数f（x）=2x+a，g（x）=x26x+1，x11，1时，f（x）的值域就是a2，a+2，要使上述范围内总能找到x2满足 g（x2）=f（x1），即g（x）的值域要包含a2，a+2，g（x）是一个二次函数，在1，1上单调递减，值域为4，8，因此，解得2a6故答案为：2，6三、 函数单调性与奇偶性例3、（1）（2013资阳一模）已知函数若f（2m+1）f（m22），则实数m的取值范围是（1，3）解：x1时，函数y=x2+2x+1=（x1）2+2，在（，1上单调递增；x1时，函数y=x3+1在（1，+）上单调递增，又x1时，x2+2x+12，x1时，x3+12，函数，函数在R上单调增，2m+1m22，m22m30，1m3，故答案为：（1，3）（2）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是 （1，3）解：是R上的增函数，a（1，3）故答案为：（1，3）（3）（2012上海）已知y=f（x）是奇函数，若g（x）=f（x）+2且g（1）=1，则g（1）=3解：由题意y=f（x）是奇函数，g（x）=f（x）+2g（x）+g（x）=f（x）+2+f（x）+2=4，又g（1）=11+g（1）=4，解得g（1）=3，故答案为3（4）f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数且过（1，3），g（x）=f（x1），则f（2012）+f（2013）=3解：由f（x）为R上的偶函数，g（x）为R上的奇函数，得f（x）=f（x），g（x）=g（x），且g（0）=0，由g（x）=f（x1），得f（x）=g（x+1）=g（x1）=f（x2）=f（x+2），即f（x）=f（x+2），所以f（x+4）=f（x+2）=f（x）=f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，所以f（2012）=f（4503）=f（0）=g（1）=g（1）=3，f（2013）=f（4503+1）=f（1）=f（1）=g（0）=0，所以f（2012）+f（2013）=3，故答案为：3四、 函数的周期性例4、（1）已知奇函数满足的值为 。解：（2）设函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，且满足f（x2）=f（x）对一切xR都成立，又当x1，1时，f（x）=x3，则下列四个命题：函数y=f（x）是以4为周期的周期函数；当x1，3时，f（x）=（2x）3； 函数y=f（x）的图象关于x=1对称；函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称其中正确的命题是 解：函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，f（x）=f（x），f（x2）=f（x）对一切xR都成立，f（x4）=f（x），函数y=f（x）是以4为周期的周期函数，故正确当x1，3时，x21，1，f（x2）=（x2）3=f（x），f（x）=（2x）3，故正确f（x2）=f（x），f（1+x）=f（1x），函数y=f（x）的图象关于x=1对称，故正确当x1，3时，f（x）=（2x）3，f（2）=0，f（x2）=f（x），f（x2）=f（x）=f（x）=f（x2），f（x+2）=f（x2），函数y=f（x）的图象关于（2，0）对称故正确的命题有 ，故答案选 （2）若f（n）为n2+1（nN*）的各位数字之和，如 142+1=197，1+9+7=17则f（14）=17，记f1（n）=f（n），f2（n）=ff1（n），fk+1（n）=ffk（n）kN*，则f2010（8）=8解：f1（8）=f（8）=64+1=656+5=11，f2（8）=ff1（8）=f（11）=121+1=122=1+2+2=5f3（8）=ff2（8）=f（5）=25+1=26=8，f4（8）=ff3（8）=f（8）所以f2010（8）=f3（8）=8，故答案为：8五、 函数图像的对称性例5、（1）已知函数为偶函数，则函数图像关于直线 对称，函数图像关于直线 对称。解：图像关于直线 对称，函数图像关于直线 对称。（2）设则1006解：若a+b=1，则f（a）+f（b）=1，所以=f（）+f（）+f（）+f（）+f（）+f（）=1+1+1=1006故答案为：1006（3）已知函数f（x）的定义域为R，则下列命题中：若f（x2）是偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x=2对称；若f（x+2）=f（x2），则函数f（x）的图象关于原点对称；函数y=f（2+x）与函数y=f（2x）的图象关于直线x=2对称；函数y=f（x2）与函数y=f（2x）的图象关于直线x=2对称其中正确的命题序号是解：不正确因为f（x2）的图象是由f（x）的图象向右平移两个单位而得到，结合f（x2）是偶函数知，f（x）的图象关于x=2对称，由f（x+2）=f（x2）变形得f（x+8）=f（x）是周期函数不能得出函数f（x）的图象关于原点对称，故不正确不正确，因为函数y=f（2+x）是由f（x）向左平移2个单位，函数y=f（2x）的图象是由f（x）的图象向右平移2个单位，故两函数的图象仍然关于原点对称如图所示，正确故答案为：六、函数性质的综合应用例6、（2013上海春季）已知真命题：“函数y=f（x）的图象关于点P（a，b）成中心对称图形”的充要条件为“函数y=f（x+a）b 是奇函数”（1）将函数g（x）=x33x2的图象向左平移1个单位，再向上平移2个单位，求此时图象对应的函数解析式，并利用题设中的真命题求函数g（x）图象对称中心的坐标；（2）求函数h（x）= 图象对称中心的坐标；（3）已知命题：“函数 y=f（x）的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数a和b，使得函数y=f（x+a）b 是偶函数”判断该命题的真假如果是真命题，请给予证明；如果是假命题，请说明理由，并类比题设的真命题对它进行修改，使之成为真命题（不必证明）解：（1）平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）33（x+1）2+2，整理得y=x33x，由于函数y=x33x是奇函数，由题设真命题知，函数g（x）图象对称中心的坐标是（1，2）（2）设h（x）= 的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）b是奇函数设f（x）=h（x+a）b则f（x）=b，即f（x）=由不等式的解集关于原点对称，得a=2此时f（x）=b，x（2，2）任取x（2，2），由f（x）+f（x）=0，得b=1，所以函数h（x）= 图象对称中心的坐标是（2，1）（3）此命题是假命题举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）b，即y=x+ab总不是偶函数修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”例7、已知函数f（x）=ax2+bx+1，a，b为实数，a0，xR，F（x）=，（1）若f（1）=0，且函数f（x）的值域为0，+），求F（x）的表达式；（2）在（1）的条件下，当x1，1时，g（x）=f（x）+kx是单调函数，求实数k的取值范围；（3）设mn0，m+n0，a0，且函数f（x）为偶函数，判断F（m）+F（n）是否大于0解：（1）依题意，有，解得，f（x）=x2+2x+1，（2）由（1）得g（x）=f（x）+kx=x2+2x+1+kx=x2+（k+2）x+1，函数g（x）的对称轴x=，g（x）在区间1，1上是单调函数，解得 k0，或k4实数k的取值范围为（，40，+），（3）f（x）=ax2+bx+1为偶函数，b=0，即f（x）=ax2+1（a0），mn0，m+n0，a0，不妨设n0m，则有0nm，mn0，m+n0F（m）+F（n）=am2+1an21=a（m+n）（mn），F（m）+F（n）0例8、（2012上海）已知f（x）=lg（x+1）（1）若0f（12x）f（x）1，求x的取值范围；（2）若g（x）是以2为周期的偶函数，且当0x1时，g（x）=f（x），求函数y=g（x）（x1，2）的反函数解：（1）由解得：1x1由0lg（22x）lg（x+1）=lg1得：110，x+10，x+122x10x+10，由得：（2）当x1，2时，2x0，1，y=g（x）=g（x2）=g（2x）=f（2x）=lg（3x），由单调性可知y0，lg2，又x=310y，所求反函数是y=310x，x0，lg2例9、（2012卢湾区二模）对于定义域为D的函数y=f（x），若有常数M，使得对任意的x1D，存在唯一的x2D满足等式，则称M为函数y=f （x）的“均值”（1）判断1是否为函数f（x）=2x+1（1x1）的“均值”，请说明理由；（2）若函数f（x）=ax22x（1x2，a为常数）存在“均值”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）是单调函数，且其值域为区间I试探究函数f（x）的“均值”情况（是否存在、个数、大小等）与区间I之间的关系，写出你的结论（不必证明）解：（1）对任意的x11，1，有x11，1，当且仅当x2=x1时，有，故存在唯一x21，1，满足，所以1是函数f（x）=2x+1（1x1）的“均值”（2）当a=0时，f（x）=2x（1x2）存在“均值”，且“均值”为3；当a0时，由f（x）=ax22x（1x2）存在均值，可知对任意的x1，都有唯一的x2与之对应，从而有f（x）=ax22x（1x2）单调，故有或，解得a1或a0或，综上，a的取值范围是或a1（3）当I=（a，b）或a，b时，函数f（x）存在唯一的“均值”这时函数f（x）的“均值”为；当I为（，+）时，函数f（x）存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；当I=（a，+）或（，a）或a，+）或（，a或a，b）或（a，b时，函数f（x）不存在“均值”当且仅当I形如（a，b）、a，b其中之一时，函数f（x）存在唯一的“均值”这时函数f（x）的“均值”为；当且仅当I为（，+）时，函数f（x）存在无数多个“均值”这时任意实数均为函数f（x）的“均值”；当且仅当I形如（a，+）、（，a）、a，+）、（，a、a，b）、（a，b其中之一时，函数f（x）不存在“均值”例10、已知函数y=f（x），xR满足f（x+1）=af（x），a是不为0的实常数（1）若当0x1时，f（x）=x（1x），求函数y=f（x），x0，1的值域；（2）在（1）的条件下，求函数y=f（x），xn，n+1），nN的解析式；（3）若当0x1时，f（x）=3x，试研究函数y=f（x）在区间（0，+）上是否可能是单调函数？若可能，求出a的取值范围；若不可能，请说明理由解：（1），（2）当nxn+1（n0，nZ）时，fn（x）=afn1（x1）=a2fn1（x2）anf1（xn），fn（x）=an（xn）（n+1x）（3）当nxn+1（n0，nZ）时，fn（x）=afn1（x1）=a2fn1（x2）anf1（xn），fn（x）=an3xn；显然fn（x）=an3xn，xn，n+1，n0，nZ当a0时是增函数，此时fn（x）an，3an，若函数y=f（x）在区间0，+）上是单调增函数，则必有an+13an，解得：a3；显然当a0时，函数y=f（x）在区间0，+）上不是单调函数；所以a3七、实战演练一填空题1、（2009上海）将函数（x0，6）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角（0），得到曲线C若对于每一个旋转角，曲线C都是一个函数的图象，则的最大值为arctan解：先画出函数（x0，6）的图象，这是一个圆弧，圆心为M（3，2），由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于MAB时，曲线C都不是一个函数的图象，MAB=arctan，故答案为：arctan2、（2013上海）对区间I上有定义的函数g（x），记g（I）=y|y=g（x），xI已知定义域为0，3的函数y=f（x）有反函数y=f1（x），且f1（0，1）=1，2），f1（2，4）=0，1）若方程f（x）x=0有解x0，则x0=2解：因为g（I）=y|y=g（x），xI，f1（0，1）=1，2），f1（2，4）=0，1），所以对于函数f（x），当x0，1）时，f（x）（2，4，所以方程f（x）x=0即f（x）=x无解；当x1，2）时，f（x）0，1），所以方程f（x）x=0即f（x）=x无解；所以当x0，2）时方程f（x）x=0即f（x）=x无解，又因为方程f（x）x=0有解x0，且定义域为0，3，故当x2，3时，f（x）的取值应属于集合（，0）1，2（4，+），故若f（x0）=x0，只有x0=2，故答案为：23、（2008湖南）设函数y=f（x）存在反函数y=f1（x），且函数y=xf（x）的图象过点（1，2），则函数y=f1（x）x的图象一定过点（1，2）解析：由函数y=xf（x）的图象过点（1，2）得：f（1）=1，即函数y=f（x）过点（1，1），则其反函数过点（1，1），所以函数y=f1（x）x的图象一定过点（1，2）3、（2011上海）设g（x） 是定义在R 上，以1为周期的函数，若函数f（x）=x+g（x） 在区间0，1上的值域为2，5，则f（x） 在区间0，3上的值域为2，7解：g（x）为R上周期为1的函数，则g（x）=g（x+1） ，函数f（x）=x+g（x）在区间0，1【正好是一个周期区间长度】的值域是2，5，令x+1=t，当x0，1时，t=x+11，2，此时，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x） =x+g（x）+1 ，所以，在t1，2时，f（t）1，6（1） 同理，令x+2=t，在当x0，1时，t=x+22，3，此时，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x） =x+g（x）+2，所以，当t2，3时，f（t）0，7（2） 由已知条件及（1）（2）得到，f（x）在区间0，3上的值域为2，7故答案为：2，74、（2011闸北区二模）设f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，若函数f（x）+g（x）的值域为1，3），则f（x）g（x）的值域为（3，1解：由f（x）是R上的奇函数，g（x）是R上的偶函数，得到f（x）=f（x），g（x）=g（x），1f（x）+g（x）3，且f（x）和g（x）的定义域都为R，把x换为x得：1f（x）+g（x）3，变形得：1f（x）+g（x）3，即3f（x）g（x）1，则f（x）g（x）的值域为（3，1故答案为：（3，15、在直角坐标系中，如果两点A（a，b），B（a，b）在函数y=f（x）的图象上，那么称A，B为函数f（x）的一组关于原点的中心对称点（A，B与B，A看作一组）函数g（x）=关于原点的中心对称点的组数为2