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高三数学难题(1)求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程;(2)设动圆C2:x2y2t与C0相交于A,B,C,D四点,其中bt2a,t1t2.若矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,证明:tt为定值自主解答(1)设 A(x1,y1),B(x1,y1),又知A1(a,0),A2(a,0),则直线A1A的方程为y(xa),直线A2B的方程为y(xa)由得y2(x2a2)由点A(x1,y1)在椭圆C0上,故1.从而yb2,代入得1(xa,y0)(2)证明:设A(x2,y2),由矩形ABCD与矩形ABCD的面积相等,得4|x1|y1|4|x2|y2|,故xyxy.因为点A,A均在椭圆上,所以b2xb2x.由t1t2,知x1x2,所以xxa2,从而yyb2,因此tta2b2为定值3(2012山东省实验中学模拟)已知抛物线y22px(p0)及定点A(a,b),B(a,0),ab0,b22pa,M是抛物线上的点设直线AM,BM与抛物线的另一个交点分别为M1,M2,当M变动时,直线M1M2恒过一个定点,此定点坐标为_解析:设M,M1,M2,由点A,M,M1共线可知,得y1,同理由点B,M,M2共线得y2.设(x,y)是直线M1M2上的点,则,即y1y2y(y1y2)2px,又y1,y2,则(2pxby)y022pb(ax)y02pa(by2pa)0.当xa,y时上式恒成立,即定点为.6(2013长沙)直线l:xy0与椭圆y21相交于A、B两点,点C是椭圆上的动点,则ABC面积的最大值为_解析:由得3x22,x,A,B,|AB|.设点C(cos ,sin ),则点C到AB的距离dsin(),SABC|AB|d.答案:8(2012黄冈质检)已知椭圆1(ab0)的离心率为,椭圆上任意一点到右焦点F的距离的最大值为1.(1)求椭圆的方程;(2)已知点C(m,0)是线段OF上一个动点(O为坐标原点),是否存在过点F且与x轴不垂直的直线l与椭圆交于A,B点,使得|AC|BC|?并说明理由解:(1),b1,椭圆的方程为y21.(2)由(1)得F(1,0),0m1.假设存在满足题意的直线l,设l的方程为yk(x1),代入y21中,得(2k21)x24k2x2k220.设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2,y1y2k(x1x22).设AB的中点为M,则M.|AC|BC|,CMAB,即kCMkAB1,k1,即(12m)k2m.当0m时,k ,即存在满足题意的直线l;当m1时,k不存在,即不存在满足题意的直线l.2(2012郑州模拟)已知圆C的圆心为C(m,0),m3,半径为,圆C与离心率e的椭圆E:1(ab0)的其中一个公共点为A(3,1),F1,F2分别是椭圆的左、右焦点(1)求圆C的标准方程;(2)若点P的坐标为(4,4),试探究直线PF1与圆C能否相切?若能,设直线PF1与椭圆E相交于D,B两点,求DBF2的面积;若不能,请说明理由解:(1)由已知可设圆C的方程为(xm)2y25(m3),将点A的坐标代入圆C的方程中,得(3m)215,即(3m)24,解得m1,或m5.m3,m1.圆C的标准方程为(x1)2y25.(2)直线PF1能与圆C相切,依题意设直线PF1的斜率为k,则直线PF1的方程为yk(x4)4,即kxy4k40,若直线PF1与圆C相切,则.4k224k110,解得k或k.当k时,直线PF1与x轴的交点的横坐标为,不合题意,舍去当k时,直线PF1与x轴的交点的横坐标为4,c4,F1(4,0),F2(4,0)由椭圆的定义得:2a|AF1|AF2|56.a3,即a218,e,满足题意故直线PF1能与圆C相切直线PF1的方程为x2y40,椭圆E的方程为1.设B(x1,y1),D(x2,y2),把直线PF1的方程代入椭圆E的方程并化简得,13y216y20,由根与系数的关系得y1y2,y1y2,故SDBF24|y1y2|4.3(2012深圳模拟)如图,已知椭圆C:1(ab0)的离心率为,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x2)2y2r2(r0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.(1)求椭圆C的方程;(2)求,的最小值,并求此时圆T的方程;(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:|OR|OS|为定值解:(1)依题意,得a2,e,c,b1.故椭圆C的方程为y21.(2)易知点M与点N关于x轴对称,设M(x1,y1),N(x1,y1),不妨设y10.由于点M在椭圆C上,y1.(*)由已知T(2,0),则,(x12,y1),,(x12,y1),,(x12,y1)(x12,y1)(x12)2y(x12)2x4x132.由于2x12,故当x1时,,取得最小值.把x1代入(*)式,得y1,故M,又点M在圆T上,代入圆的方程得r2.故圆T的方程为(x2)2y2.(3)设P(x0,y0),则直线MP的方程为:yy0(xx0),令y0,得xR,同理:xS,故xRxS.(*)又点M与点P在椭圆上,故x4(1y),x4(1y),代入(*)式,得xRxS44.所以|OR|OS|xR|xS|xRxS|4为定值5(2012郑州模拟)若双曲线1(a0,b0)的左,右焦点分别为F1,F2,线段F1F2被抛物线y22bx的焦点分成73的两段,则此双曲线的离心率为()解析:依题意得,c2c,即bc(其中c是双曲线的半焦距),ac,则,因此该双曲线的离心率等于.6设双曲线的左,右焦点为F1,F2,左,右顶点为M,N,若PF1F2的一个顶点P在双曲线上,则PF1F2的内切圆与边F1F2的切点的位置是()A在线段MN的内部B在线段F1M的内部或NF2内部C点N或点MD以上三种情况都有可能解析:选C若P在右支上,并设内切圆与PF1,PF2的切点分别为A,B,则|NF1|NF2|PF1|PF2|(|PA|AF1|)(|PB|BF2|)|AF1|BF2|.所以N为切点,同理P在左支上时,M为切点10(2012南昌模拟)已知ABC外接圆半径R,且ABC120,BC10,边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边,则过点A且以B,C为焦点的双曲线方程为()解析:sinBAC,cosBAC,|AC|2RsinABC214,sinACBsin(60BAC)sin 60cosBACcos 60sinBAC,|AB|2RsinACB26,2a|AC|AB|1468,a4,又c5,b2c2a225169,所求双曲线方程为1.11(2012乌鲁木齐模拟)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F,P,Q是抛物线上的两个点,若PQF是边长为2的正三角形,则p的值是()解析:依题意得F,设P,Q(y1y2)由抛物线定义及|PF|QF|,得,所以yy,所以y1y2.又|PQ|2,因此|y1|y2|1,点P.又点P位于该抛物线上,于是由抛物线的定义得|PF|2,由此解得p2.14已知F1,F2分别是椭圆1(ab0)的左,右焦点,A,B分别是此椭圆的右顶点和上顶点,P是椭圆上一点,O是坐标原点,OPAB,PF1x轴,|F1A|,则此椭圆的方程是_解析:由于直线AB的斜率为,故直线OP的斜率为,直线OP的方程为yx.与椭圆方程联立得1,解得xa.根据PF1x轴,取xa,从而ac,即ac.又|F1A|ac,故 cc,解得c,从而a.所以所求的椭圆方程为1.答案:118(12分)(2012南昌模拟)已知圆C过点P(1,1),且与圆M:(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程;(2)过点P作两条相异直线分别与圆C相交于A,B,且直线PA和直线PB的倾斜角互补,O为坐标原点,试判断直线OP和AB是否平行?请说明理由解:设圆心C(a,b),则解得则圆C的方程为x2y2r2,将点P的坐标代入得r22,故圆C的方程为x2y22.(2)由题意知,直线PA和直线PB的斜率存在,且互为相反数,故可设PA:y1k(x1),PB:y1k(x1),由得(1k2)x22k(1k)x(1k)220.因为点P的横坐标x1一定是该方程的解,故可得xA.同理可得xB,所以kAB1kOP,所以,直线AB和OP一定平行20(12分)(2012河南模拟)已知椭圆1(ab0)的离心率为,短轴的一个端点为M(0,1),直线l:ykx与椭圆相交于不同的两点A,B.(1)若|AB|,求k的值;(2)求证:不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.解:(1)由题意知,b1.由a2b2c2可得cb1,a,椭圆的方程为y21.由得(2k21)x2kx0.k24(2k21)16k20恒成立,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2,x1x2.|AB|x1x2|,化简得23k413k2100,即(k21)(23k210)0,解得k1.(2),(x1,y11),,(x2,y21),,x1x2(y11)(y21),(1k2)x1x2k(x1x2)0.不论k取何值,以AB为直径的圆恒过点M.21 (2012广州模拟)设椭圆M:1(a)的右焦点为F1,直线l:x与x轴交于点A,若,2,0(其中O为坐标原点)(1)求椭圆M的方程;(2)设P是椭圆M上的任意一点,EF为圆N:x2(y2)21的任意一条直径(E,F为直径的两个端点),求,的最大值解:(1)由题设知,A,F1(,0),由,2,0,得2,解得a26.所以椭圆M的方程为1.(2)设圆N:x2(y2)21的圆心为N,则,(,)(,)(,)(,),2,2,21.从而将求,的最大值转化为求NP,2的最大值因为P是椭圆M上的任意一点,设P(x0,y0),所以1,即x63y.因为点N(0,2),所以,2x(y02)22(y01)212.因为y0, ,所以当y01时,,2取得最大值12.所以,的最大值为11.22 (2012湖北模拟)如图,曲线C1是以原点O为中心,F1,F2为焦点的椭圆的一部分曲线C2是以O为顶点,F2为焦点的抛物线的一部分,A是曲线C1和C2的交点且AF2F1为钝角,若|AF1|,|AF2|.(1)求曲线C1和C2的方程;(2)设点C是C2上一点,若|CF1| |CF2|,求CF1F2的面积解:(1)设椭圆方程为1(ab0),则2a|AF1|AF2|6,得a3.设A(x,y),F1(c,0),F2(c,0),则(xc)2y22,(xc)2y22,两式相减得xc.由抛物线的定义可知|AF2|xc,则c1,x或x1,c.又AF2F1为钝角,则x1,c不合题意,舍去当c1时,b2,所以曲线C1的方程为1,曲线C2的方程为y24x.(2)过点F1作直线l垂直于x轴,过点C作CC1l于点C1,依题意知|CC1|CF2|.在RtCC1F1中,|CF1| |CF2|CC1|,所以C1CF145,所以CF1F2C1CF145.在CF1F2中,设|CF2|r,则|CF1|r,|F1F2|2.由余弦定理得22(r)222rcos 45r2,解得r2,所以CF1F2的面积SCF1F2|F1F2|CF1|sin 4522sin 452.
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