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第八节函数与方程课时作业练1.已知函数f(x)=2x-1,x1,1+log2x,x1,则函数f(x)的零点为.答案0解析当x1时,由2x-1=0解得x=0;当x1时,方程1+log2x=0无解.所以函数f(x)的零点为0.2.(2017盐城伍佑中学期末)若方程7x2-(m+13)x-m-2=0的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区间(1,2)上,则实数m的取值范围是.答案(-4,-2)解析令f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,由题意得f(0)=-m-20,f(1)=-8-2m0,解得-4m-2.故实数m的取值范围是(-4,-2).3.(2019江苏南京多校高三模拟)已知函数f(x)=lg x+32x-9在区间(n,n+1)(nZ)上存在零点,则n=.答案5解析函数f(x)在(0,+)上递增,且f(5)=lg 5-320,所以函数的零点在区间(5,6)上,则n=5.4.已知函数y=f(x)的图象是连续曲线,且有如下的对应值表:x123456y124.435-7414.5-56.7-123.6则函数y=f(x)在区间1,6上的零点至少有个.答案3解析由零点存在性定理及题表可知,函数f(x)在区间(2,3),(3,4),(4,5)内均有零点,所以y=f(x)在1,6上至少有3个零点.5. 若函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,则实数a的取值范围是.答案-14,2解析函数f(x)=4x-2x-a,x-1,1有零点,即方程a=4x-2x,x-1,1有解,则a的取值范围就是函数y=4x-2x,x-1,1的值域,令2x=t,t12,2,y=t2-t=t-122-14,t12,2,值域是-14,2,即a的取值范围是-14,2.6.方程cosx+2=|log18x|的解的个数为.答案12解析cosx+2=|log18x|,|sin x|=|log18x|,作出函数y=|sin x|与y=|log18x|在(0,+)上的大致图象,如图所示.由图可知函数y=|sin x|与y=|log18x|的图象有12个交点,方程cosx+2=|log18x|有12个解.7.(2019江苏南京、盐城高三模拟)设函数f(x)是偶函数,当x0时, f(x)=x(3-x),0x3,-3x+1,x3,若函数y=f(x)-m有四个不同的零点,则实数m的取值范围是.答案1,94解析画出当x0时f(x)的图象,根据偶函数的图象关于y轴对称可得x0时, f(x)=ln x-x+1,则函数g(x)=f(x)-ex(e为自然对数的底数)的零点个数是.答案2解析当x0时, f(x)=ln x-x+1,则f (x)=1x-1=1-xx.由f (x)=0得x=1,且x(0,1)时, f (x)0, f(x)单调递增,x(1,+)时, f (x)1,2x2-2ax+a+58,x1,若g(x)=f(x)-2a有三个零点,则实数a的取值范围是.答案12,78解析当x1时, f (x)=x-1x20, f(x)递增,则g(x)有3个零点时,g(1)=1-2a12,且2x2-2ax-a+58=0,x1有两个不相等的实数根,则=4a2-8-a+580,a21,218-3a0,解得120,x+1,x0.(1)求g(f(1)的值;(2)若方程g(f(x)-a=0有4个实数根,求实数a的取值范围.解析(1)f(1)=-12-21=-3,g(f(1)=g(-3)=-3+1=-2.(2)令f(x)=t,则原方程可化为g(t)=a.易知方程f(x)=t仅在t(-,1)时有2个不同的解,则原方程有4个解等价于函数y=g(t)(t1)与y=a的图象有2个不同的交点,作出函数y=g(t)(t1)的图象,如图所示,由图象可知,当1a54时,函数y=g(t)(t0,任取x1,x2t,t+2,若不等式|f(x1)-f(x2)|1对任意t19,1恒成立,求m的取值范围.解析(1)由题意知,g(x)=f(x)+lg x2=lg(mx2+2x),g(x)有且仅有一个零点,m+2x0,x20,mx2+2x-1=0有且仅有一个解.当m=0时,x=12,符合题意;当m0时,由=4+4m=0,得m=-1,此时x=1,符合题意.综上,m=0或m=-1.(2)当x0时,u=m+2x为减函数,m0,u0,y=lg u为增函数,从而f(x)在(0,+)上为减函数.任取x1,x2t,t+2,|f(x1)-f(x2)|1对任意t19,1恒成立,f(t)-f(t+2)=lgm+2t-lgm+2t+21对任意t19,1恒成立.m+2t10m+2t+2对任意t19,1恒成立,整理得,9mt2+18(m+1)t-40对任意t19,1恒成立.m0,y=9mt2+18(m+1)t-4在t19,1上为增函数,当t=19时,ymin=19m+2(m+1)-40,解得m1819.12.已知函数f(x)=2x(xR).(1)解不等式f(x)-f(2x)16-92x;(2)若函数q(x)=f(x)-f(2x)-m在-1,1上有零点,求实数m的取值范围;(3)若函数f(x)=g(x)+h(x),其中g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式2ag(x)+h(2x)0对任意x1,2恒成立,求实数a的取值范围.解析(1)设t=2x,由f(x)-f(2x)16-92x得t-t216-9t,即t2-10t+160,2t8,即22x8,1x0解析将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.3.(2018泰州模拟)已知函数f(x)=lgx,x0,2x,x0,若f(m)=12,则m=.答案10或-1解析f(m)=12m0,lgm=12或m0,2m=12,解得m=10或m=-1.4.若f(x)是幂函数,且满足f(4)f(2)=4,则f12=.答案14解析设f(x)=xa(a为常数).由 f(4)f(2)=4a2a=2a=4,解得a=2,则f(x)=x2,所以f12=14.5.(2018江苏三校联考)函数f(x)=ex+x的零点在区间(k-1,k)(kZ)内,则k=.答案0解析函数f(x)在R上递增,且f(-1)=1e-10,则f(x)的零点在(-1,0)内.所以k=0.6.已知f(x)=x5+ax3+bx-8,且f(-2 019)=16,那么f(2 019)的值为.答案-32解析由已知得f(-2 019)=(-2 019)5+a(-2019)3-2 019b-8,f(2 019)=2 0195+a20193+2 019b-8,上述两式相加得f(-2 019)+f(2 019)=-16,又f(-2 019)=16,f(2 019)=-32.7.已知函数f(x)=1a-1x(a0,x0),若f(x)在12,2上的值域为12,2,则a=.答案25解析因为f(x)在12,2上单调递增,且值域为12,2,所以f12=12,f(2)=2,即1a-2=12,1a-12=2,解得a=25.8.直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则a的取值范围是.答案1,54解析y=x2-|x|+a是偶函数,图象如图所示,若直线y=1与曲线y=x2-|x|+a有四个交点,则需满足a-141a,即1a54.9.(2019江苏苏州模拟)已知x满足22x-(8+2)2x-820,求函数f(x)=log2x2log2x4的最值.解析由22x-(8+2)2x-820,得22x8,所以12x3,f(x)=log2x2log2x4=(log2x-1)(log2x-2)=(log2x)2-3log2x+2,x12,3,令t=g(x)=log2x,x12,3,则t-1,log23,则y=h(t)=t2-3t+2,t-1,log23,所以ymin=h32=-14,ymax=h(-1)=1+3+2=6.即函数f(x)的最大值为6,最小值为-14.
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