资源描述
第2章 圆锥曲线与方程1圆锥曲线定义的妙用1.求动点轨迹例1一动圆与两圆：x2y21和x2y26x50都外切，则动圆圆心的轨迹为_.解析x2y21是圆心为原点，半径为1的圆，x2y26x50化为标准方程为(x3)2y24，是圆心为A(3,0)，半径为2的圆.设所求动圆圆心为P，动圆半径为r，如图，则PAPO1b0)的离心率等于，其焦点分别为A，B，C为椭圆上异于长轴端点的任意一点，则在ABC中，_.解析在ABC中，由正弦定理得，因为点C在椭圆上，所以由椭圆定义知CACB2a，而AB2c，所以3.答案33.求离心率例3如图，F1，F2是椭圆C1：y21与双曲线C2的公共焦点，A，B分别是椭圆C1，双曲线C2在第二、四象限的公共点.若四边形AF1BF2为矩形，则双曲线C2的离心率是_.解析由椭圆可知AF1AF24，F1F22.因为四边形AF1BF2为矩形，所以AFAFF1F12，所以2AF1AF2(AF1AF2)2(AFAF)16124，所以(AF2AF1)2AFAF2AF1AF21248，所以AF2AF12.因此对于双曲线有a，c，所以C2的离心率e.答案例4已知双曲线1(a0，b0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且PF14PF2，则此双曲线的离心率e的取值范围是_.解析由双曲线的定义有PF1PF22a.又PF14PF2，PF1a，PF2a.点P在双曲线的右支上，PF2ca，ca，e，又e1，离心率e的取值范围是.答案4.求最值例5线段AB4，PAPB6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是_.解析由于PAPB64AB，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为中心，A，B为焦点的椭圆，且a3，c2，b.于是PM的长度的最小值是b.答案例6已知F是双曲线y21的右焦点，P是双曲线右支上一动点，定点M(4,2)，求PMPF的最小值.解设双曲线的左焦点为F，如图所示，则F(2,0).由双曲线的定义知，PFPF2a2，所以PFPF2，所以PMPFPMPF2，要使PMPF取得最小值，只需PMPF取得最小值，由图可知，当P，F，M三点共线时，PMPF最小，此时MF2，故PMPF的最小值为22.2圆锥曲线的离心率问题求与离心率有关的问题的三大模板：模板一：利用公式直接求解，对于椭圆三个基本量a，b，c，它们之间具有关系a2b2c2；双曲线的三个基本量a，b，c，它们之间具有关系a2b2c2，知二求一，可求得离心率.此种方法适用于已知椭圆、双曲线方程或相关性质的离心率的求解.模板二：通过构造整体求解，将提供的椭圆、双曲线的几何关系转化为关于基本量a，b，c的方程或不等式，利用a，b，c的关系和e构造为关于e的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围.模板三：利用数形结合求解，利用椭圆、双曲线的性质特征与图形的直观性，发现图形中的相关几何关系，建立关于基本量a，b，c的等量关系或不等量关系，求解离心率的值或范围.例1双曲线1(a0，b0)的焦点到相应准线的距离等于实轴长，则双曲线的离心率为_.解析双曲线1(a0，b0)的焦点坐标(c,0)到相应准线x的距离等于实轴长2a，可得c2a，即c22aca20，解得c(1)a或c(1)a(舍去)，即离心率e1.答案1例2如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A，B1，B2分别为椭圆C：1(ab0)的右、下、上顶点，F是椭圆C的右焦点.若B2FAB1，则椭圆C的离心率是_.解析由题意得，A(a,0)，B1(0，b)，B2(0，b)，F(c,0)，所以(c，b)，(a，b)，因为B2FAB1，所以0，即b2ac，所以c2aca20，e2e10，又椭圆的离心率e(0,1)，所以e.答案例3已知双曲线E：1(a0，b0).若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为双曲线E的两个焦点，且2AB3BC，则双曲线E的离心率是_.解析假设点A在第一象限，点B在第四象限，则A，B，所以AB，BC2c.由2AB3BC，c2a2b2，得离心率e2或e(舍去)，所以双曲线E的离心率为2.答案23巧解直线和椭圆位置关系问题“设而不求”法的应用在直线和椭圆位置关系问题中，设而不求、整体代换是常用的运算技巧，在解题中要注意运用.当直线和椭圆相交时要切记0是求参数范围的前提条件，不要因忘记造成不必要的失分.例已知椭圆方程为1(ab0)，过点A(a,0)，B(0，b)的直线的倾斜角为，原点到该直线的距离为.(1)求椭圆的方程；(2)斜率大于零的直线过D(1,0)与椭圆分别交于点E，F，若2，求直线EF的方程；(3)对于D(1,0)，是否存在实数k，使得直线ykx2分别交椭圆于点P，Q，且DPDQ，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由.思路点拨解(1)由，ab，得a，b1，所以椭圆的方程是y21.(2)设EF：xmy1(m0)，代入y21，得(m23)y22my20.设E(x1，y1)，F(x2，y2).由2，得y12y2，由y1y2y2，y1y22y，得2，m1，m1(舍去)，直线EF的方程为xy1，即xy10.(3)记P(x1，y1)，Q(x2，y2).将ykx2代入y21，得(3k21)x212kx90，(*)x1，x2是此方程的两个相异实根.36k2360，即k21，设PQ的中点为M，则xM，yMkxM2.由DPDQ，得DMPQ，kDM，3k24k10，得k1或k.但k1，k均不能使方程(*)有两相异实根，满足条件的k不存在.4解析几何中的定点、定值与最值问题1.定点问题圆锥曲线中定点问题的两种解法：(1)引进参数法，引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.(2)特殊到一般法，根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.例1如图，椭圆C：1(ab0)的顶点A1，A2，B1，B2，S四边形A1B2A2B14，直线yx与圆O：x2y2b2相切.(1)求椭圆C的离心率；(2)若P是椭圆C上除顶点外的任意点，直线A1P交y轴于点F，直线A1B1交B2P于点E.若设B2P的斜率为k，探究EF是否过定点？如果有，求出其定点，如果没有，说明理由.解(1)因为直线yx与圆O相切，所以b，即b1，又因为S四边形A1B2A2B14，所以2a2b4，所以a2，所以椭圆C的方程为y21，所以离心率e.(2)由(1)可知A1(2,0)，B1(0，1)，B2(0,1)，因为B2P的斜率为k，所以直线B2P的方程为ykx1，由消去y，得(14k2)x28kx0，其中xB20，所以xP，所以P，则直线A1P的斜率kA1P，直线A1P的方程为y(x2)，令x0，则y，即F，因为直线A1B1的方程为x2y20，由解得所以E，所以EF的斜率k0，所以直线EF的方程为yx，所以2k(xy1)(y1)0，所以可求定点为(2,1)，即直线EF过定点(2,1).2.定值问题定值问题是解析几何中的一种常见问题，基本的求解方法是：先用变量表示所需证明的不变量，然后通过推导和已知条件，消去变量，得到定值，即解决定值问题首先是求解非定值问题，即变量问题，最后才是定值问题.例2在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆1(ab0)的焦距为2，离心率为，椭圆的右顶点为A.(1)求该椭圆的标准方程；(2)过点D(，)作直线PQ交椭圆于两个不同点P，Q，求证：直线AP，AQ的斜率之和为定值.(1)解由题意可知，椭圆1(ab0)，焦点在x轴上，2c2，c1，椭圆的离心率e，则a，b2a2c21，则椭圆的标准方程为y21.(2)证明设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，A(，0)，由题意得PQ的方程为yk(x)，则整理得(2k21)x2(4k24k)x4k28k20，由根与系数的关系可知，x1x2，x1x2，则y1y2k(x1x2)2k2，则kAPkAQ，由y1x2y2x1k(x1)x2k(x2)x12kx1x2(k)(x1x2)，kAPkAQ1，直线AP，AQ的斜率之和为定值1.3.最值问题解决圆锥曲线中的最值问题，一般有两种方法：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解非常巧妙；二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为函数问题(即根据条件列出所求的目标函数)，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角有界法、函数单调法及基本不等式法等，求解最大或最小值.例3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，且点在椭圆C上.(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l交椭圆C于P，Q两点，线段PQ的中点为H，O为坐标原点，且OH1，求POQ面积的最大值.解(1)由已知得，1，解得a24，b21，椭圆C的标准方程是y21.(2)设l与x轴的交点为D(n,0)，直线l：xmyn，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，联立消去x，得(4m2)y22mnyn240，y1,2，y1y2，即H，由OH1，得n2，则SPOQOD|y1y2|n|y1y2|，令n2(y1y2)2n2(y1y2)24y1y21216.设t4m2(t4)，则，当且仅当t，即t12时，SPOQ1，所以POQ面积的最大值为1.5圆锥曲线中的存在探索型问题探索型问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化.其步骤为：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在.反证法与验证法也是求解探索型问题常用的方法.题型一给出结论，探索条件例1如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：1的左、右顶点分别为A，B，过右焦点F的直线l与椭圆C交于P，Q两点(点P在x轴上方).(1)若QF2FP，求直线l的方程；(2)设直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2.是否存在常数，使得k1k2？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.解(1)因为a24，b23，所以c1，所以F的坐标为(1,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直线l的方程为xmy1，代入椭圆方程，得(43m2)y26my90，则y1，y2.若QF2PF，则20，解得m，故直线l的方程为x2y0.(2)由(1)知，y1y2，y1y2，所以my1y2(y1y2)，所以，故存在常数，使得k1k2.题型二特殊入手，论证一般例2如图，在平面直角坐标系xOy中，过椭圆C：1(ab0)内一点A(0,1)的动直线l与椭圆相交于M，N两点，当l平行于x轴和垂直于x轴时，l被椭圆C所截得的线段长均为2.(1)求椭圆C的方程；(2)是否存在与点A不同的定点B，使得对任意过点A的动直线l都满足？若存在，求出定点B的坐标；若不存在，请说明理由.解(1)当l垂直于x轴时，2b2，从而b.当l平行于x轴时，点(，1)在椭圆C上，所以1，解得a2.所以椭圆C的方程为1.(2)设存在与点A不同的定点B满足.当l平行于x轴时，AMAN，所以BMBN，从而点B在y轴上，设B(0，t)；当l垂直于x轴时，不妨设M(0，)，N(0，).由，可得，解得t1(舍去)或t2，即B(0,2).下面证明对任意斜率存在且不为0的动直线l都满足.设直线l的方程为ykx1，M(x1，y1)，N(x2，y2).联立消去y，得(12k2)x24kx20，所以x1x2，x1x2.因为，要证，只要证，只要证x(1k2)x2kx21x(1k2)x2kx11，即证2kxx22kxx1xx0，即证(x1x2)2kx1x2(x1x2)0.因为2kx1x2(x1x2)2k0，所以.所以存在与点A不同的定点B(0,2)，使得对任意过点A的动直线l都满足.题型三同时探索条件和结论，分类讨论例3如图，椭圆E：1(ab0)的离心率是，点P(0,1)在短轴CD上，且1.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点.是否存在常数，使得为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.解(1)由已知，得点C，D的坐标分别为(0，b)，(0，b)，又点P的坐标为(0,1)，且1，由解得a2，b，所以椭圆E的方程为1.(2)当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为ykx1，A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，联立消去y，得(2k21)x24kx20，其判别式(4k)28(2k21)0，所以x1x2，x1x2，从而x1x2y1y2x1x2(y11)(y21)(1)(1k2)x1x2k(x1x2)12.所以当1时，23，此时3为定值.当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD，此时，213.故存在常数1，使得为定值3.6圆锥曲线中的易错点剖析1.忽视定义中的条件而致误例1平面内一点M到两定点F1(0，4)，F2(0,4)的距离之和为8，则点M的轨迹为_.错解根据椭圆的定义知，点M的轨迹为椭圆.错因分析在椭圆的定义中，点M到两定点F1，F2的距离之和必须大于两定点的距离，即MF1MF2F1F2，即2a2c.而在本题中MF1MF2F1F2，所以点M的轨迹不是椭圆，而是线段F1F2.正解因为点M到两定点F1，F2的距离之和为F1F2，所以点M的轨迹是线段F1F2.答案线段2.忽视标准方程的特征而致误例2设抛物线ymx2 (m0)的准线与直线y1的距离为3，求抛物线的标准方程.错解抛物线ymx2 (m0)的准线方程为y.又与直线y1的距离为3的直线为y2或y4.故2或4.所以m8或m16.所以抛物线的标准方程为y8x2或y16x2.错因分析错解忽视了抛物线标准方程中的系数，应位于一次项前这个特征，故本题应先化为x2y的形式，再求解.正解方程ymx2 (m0)可化为x2y，其准线方程为y.由题意知2或4，解得m或m.则所求抛物线的标准方程为x28y或x216y.3.求解抛物线标准方程时，忽略对焦点位置讨论致误例3抛物线的焦点F在x轴上，点A(m，3)在抛物线上，且AF5，求抛物线的标准方程.错解一因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，3)在抛物线上，所以抛物线方程可设为y22px(p0).设点A到准线的距离为d，则dAFm，所以解得或所以抛物线方程为y22x或y218x.错解二因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，3)在抛物线上，所以当m0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y22px(p0).设点A到准线的距离为d，则dAFm，所以解得或所以抛物线方程为y22x或y218x.当m0)，设点A到准线的距离为d，则dAFm，所以解得或(舍去).所以抛物线方程为y22(5)x.综上所述，抛物线方程为y22(5)x或y22x或y218x.正解因为抛物线的焦点F在x轴上，且点A(m，3)在抛物线上，所以当m0时，点A在第四象限，抛物线方程可设为y22px(p0)，设点A到准线的距离为d，则dAFm，所以解得或所以抛物线方程为y22x或y218x.当m0)，设A到准线的距离为d，则dAFm，所以解得或所以抛物线方程为y22x或y218x.综上所述，抛物线方程为y22x或y218x或y22x或y218x.7圆锥曲线中的数学思想方法1.方程思想方程思想就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或解方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题得以解决.在本章中，方程思想的应用最为广泛.例1已知直线yx2和椭圆1 (ab0)相交于A，B两点，且a2b，若AB2，求椭圆的方程.解由消去y并整理，得x24x82b20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系，得x1x24，x1x282b2.AB2，2，即2，解得b24，故a24b216.所求椭圆的方程为1.2.函数思想很多与圆锥曲线有关的问题中的各个数量在运动变化时，都是相互联系、相互制约的，它们之间构成函数关系.这类问题若用函数思想来分析、寻找解题思路，会有很好的效果.一些最值问题常用函数思想，运用根与系数的关系求弦的中点和弦长问题，是经常使用的方法.例2若点(x，y)在1 (b0)上运动，求x22y的最大值.解1(b0)，x240，即byb.x22y42y2y424.当b，即0b，即b4时，若yb，则x22y取得最大值，其最大值为2b.综上所述，x22y的最大值为3.分类讨论思想在本章中，涉及的字母参数较多，同时圆锥曲线的焦点可能在x轴上，也可能在y轴上，所以必须要注意分类讨论.例3求与双曲线y21有共同的渐近线且焦距为10的双曲线的方程.解由题意可设所求双曲线的方程为y2 (0)，即1 (0).当0时，c24525，即5，所求双曲线的方程为1.当0时，c2(4)()525，即5，所求双曲线的方程为1.综上所述，所求双曲线的方程为1或1.
展开阅读全文