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专题05 导数压轴题的零点及恒成立、有解问题1（2018新课标全国理科）已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求【解析】（1）当时，等价于设函数，则当时，所以在单调递减而，故当时，即若，即，在没有零点；若，即，在只有一个零点；若，即，由于，所以在有一个零点，由（1）知，当时，所以故在有一个零点，因此在有两个零点综上，在只有一个零点时，2（2017新课标全国理科）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求a的取值范围.【解析】（1）的定义域为，（）若，则，所以在单调递减.（）若，则由得.当时，；当时，所以在单调递减，在单调递增.又，故在有一个零点.设正整数满足，则.由于，因此在有一个零点.综上，的取值范围为.【名师点睛】研究函数零点问题常常与研究对应方程的实数根问题相互转化.已知函数有2个零点求参数a的取值范围，第一种方法是分离参数，构造不含参数的函数，研究其单调性、极值、最值，判断与其交点的个数，从而求出a的取值范围；第二种方法是直接对含参函数进行研究，研究其单调性、极值、最值，注意点是若有2个零点，且函数先减后增，则只需其最小值小于0，且后面还需验证最小值两边存在大于0的点.3（2015新课标全国理科）设函数（）证明：在单调递减，在单调递增；（）若对于任意，都有，求的取值范围 ()由()知，对任意的，在单调递减，在单调递增，故在处取得最小值所以对于任意，的充要条件是即，设函数，则当时，；当时，故在单调递减，在单调递增又，故当时，当时，即式成立；当时，由的单调性，即；当时，即综上可知，的取值范围是【名师点睛】()先求导函数，根据的取值范围讨论导函数在和的符号即可；()恒成立，等价于由是两个独立的变量，可研究的值域，由()可得最小值为，最大值可能是或，故只需，从而得关于的不等式，因不易解出，故利用导数研究其单调性和符号，从而得解1利用导数研究函数的零点问题，一般出现在解答题的压轴题中，难度较大，这类零点一般都不能直接求出数值，而是利用数形结合、分类讨论、转化思想和分离变量等求零点的个数或根据零点的个数求参数的取值范围.2利用导数解决函数恒成立问题或有解问题是近年来高考的热点问题，这类问题往往融函数、导数、不等式等知识于一体，以函数知识为载体，利用导数为工具研究函数的性质，如单调性、极值、最值，综合性强，很好地考查了考生的分析问题和解决问题的能力，解决这类问题的关键是运用等价转化的数学思想及整体构造法和参数分离法.指点1：利用导数研究函数的零点问题对于含参数的函数零点的个数问题，由函数有个零点方程有个实数根函数与轴有个交点可转化为方程解的个数问题，若能分离参数，可将参数分离出来，再作出函数的图象，根据函数的图象特征从而求出参数的取值范围.也可以根据函数的最值或极值的符号，即利用函数的性质去确定函数零点的个数，此方法主要是通过数形结合的方法确定存在零点的条件.【例1】设函数,其中为自然对数的底数（1）若,求的单调区间;（2）若,求证:无零点【解析】（1）若,则,令,则,当时,即单调递增,又,当时,单调递减,当时,单调递增的单调递减区间为,单调递增区间为（2）当时,，显然无零点当时,(i)当时,，显然无零点(ii)当时，易证，,令，则，令，得，当时，；当时，故，从而，显然无零点.综上,无零点指点2：利用导数解决函数恒成立、有解问题利用导数研究恒成立问题、有解问题，通常采用分类讨论思想或分离参变量的方法，通过函数的单调性研究函数的最值，利用最值去研究恒成立问题、有解问题，此类问题最后都化归为与函数最值有关的问题. 一般地，若恒成立，只需即可；若恒成立，只需即可.若存在，使得成立，只需即可；若存在，使得成立，只需即可.【例2】已知函数，.（1）若曲线与曲线在它们的交点处的公共切线为，求，的值；（2）当时，若，求的取值范围.【解析】（1）设它们的公共交点的横坐标为，则 .，则，；，则，.由得，由得.将，代入得，.（2）由，得，即在上恒成立，令 ，则，其中在上恒成立，在上单调递增，在上单调递减，则，.故的取值范围是.1设函数的单调递减区间是.（1）求的解析式；（2）若对任意的，关于的不等式在时有解，求实数的取值范围.【解析】（1）.的单调递减区间是(1,2)， 解得.（2）由（1）得，当时，0，在上单调递增，.要使关于的不等式在时有解，即，即对任意恒成立,只需在上恒成立. 设，则，当时，在上单调递减，在上单调递增，.要使在上恒成立，只需，则.故的取值范围是.2已知函数（1）证明：当时，；（2）当时，讨论关于x的方程的根的个数（2）当时，易得关于x的方程不成立； 当时，由可得，即，令，则问题可转化为讨论直线与函数的图象的交点个数. 由，可得，易知恒成立，所以当时，单调递减；当时，单调递增， 又易知当时，恒成立，且， 所以当时，直线与函数的图象有且只有一个交点，即关于x的方程有且只有一个实数根. 3设函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若，且在区间上恒成立，求的取值范围.【解析】（1）函数的定义域为，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；当时， 函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时，函数在上单调递增；当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增.（2）若，且在区间上恒成立，等价于在区间上.由（1）中的讨论，知当时，函数在区间上单调递减，,即，从而得；当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，
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