2020版高中数学 第一章 算法初步学案（含解析）新人教B版必修3.docx

第一章 算法初步1算法概念的诠释同学们也许对算法这个概念很陌生，但其实大家在日常生活中已经接触过很多算法了广义地说，算法就是做某一件事情的步骤或程序菜谱是做菜肴的“算法”，洗衣机的使用说明书是操作洗衣机的“算法”算法不仅是数学及其应用的重要组成部分，也是计算机科学的重要基础，它可理解为由基本运算及规定的运算顺序所构成的完整的解题步骤一、算法的特征1确定性确定性：算法中的每条运算规则必须是明确定义的、可行的，每一个步骤只能有一个确定的后继步骤，运行终止应得到问题的解答或指出问题没有解答2有限性一个算法必须保证在执行有限步后结束，不能出现无限循环或死循环这里说的“有限性”一般指算法在合理的范围以内，一般由人们的常识和需要以及计算机性能而定例如，计算机执行一个算法需要一千年才能结束，这个算法虽然有限，但超过了合理的限度，因而也不是一个有效算法二、算法的思想在数学中，计算一个函数值、求解一个方程、证明一个结论等等，我们都需要有一个清晰的思路，一步一步去完成，这就是算法的思想，即程序化思想它强调的是通性通法，给出一个算法实际上是给出了一种解决问题(特别是数学问题)的方法三、特别提示1在算法的理解方面，是指使用一系列运算规则，能在有限步骤内求解某类问题，其中每条规则必须是明确定义的，可行的2算法中的每一步应该是确定的并且能够有效地执行且得到确定的结果，而不应当模棱两可，如求近似值却没有要求近似的精确度，则该问题不能求解3在设计算法时，算法应有一个或多个输出，算法的目的是为了求解，没有输出的算法是没有意义的4只要有公式可以利用，利用公式解决问题是最理想、最简便的方法，比如在写解方程x23x40的算法时，用求根公式来做，步骤则较为简洁5求解某一个问题的算法一般不是唯一的，我们通常选择较为简单的算法四、典例分析例1已知一个等边三角形的周长为a，求这个三角形的面积，设计一个算法解决这个问题分析对于已知等边三角形的边长求面积的题目同学们已经很熟悉，回顾其中的解题过程不难得到这个问题的算法步骤解算法步骤如下：S1输入a的值S2计算l的值S3计算Sl2的值S4输出S的值例2下面给出了一个问题的算法：S1输入x.S2若x4，则执行第三步，否则执行第四步S3输出2x1.S4输出x22x3.这个算法解决的问题是什么？分析依据题目给出的算法步骤依次执行，分别写出其对应的结果就可以很容易解决此题解这个算法先是输入一个变量x，当x4时输出2x1，当x4时输出x22x3，不难发现这个算法解决的问题是求分段函数f(x)的函数值.2典型算法举例1解方程(方程组)、不等式的算法例1用自然语言描述求一元二次方程x2bxc0的根的算法思维切入对于求方程的根，解方程组这样的数值型的问题，我们都有具体的计算方法，只要我们把平时的计算方法严格地按步骤描述出来即可因此我们很容易得到下面的算法解用自然语言来描述算法，S1计算b24ac.S2如果0，则原方程无实数解，否则(0)x1，x2.S3输出x1，x2或无实数解的信息评注第二步中包含了一个判断b24ac是否小于零的条件，并根据判断结果进行不同的处理，在算法中称作条件分支结构例2写出解x24x30的算法思维切入只要把平时的固定解法有条理地写出来，即为解不等式的算法解S1求出对应方程的根x11，x23.S2确定根的大小x1x2.S3写出解集x|1xr，则直线与圆相离，dr则直线与圆相切，dr则相离；如果dr则相切；如果dr则相交评注算法要求分解成简单计算，不要直接计算d.4累加、累乘问题的算法例5用自然语言描述求解mul123456问题的算法思维切入根据算法的特点，我们学过的加、减、乘、除运算法则都是算法，只要按照具体的规则有步骤地描述过程，便有了该题的算法解S1计算12，得2.S2将S1中的运算结果2与3相乘得6.S3将S2中的运算结果6与4相乘得24.S4将S3中的运算结果24与5相乘得120.S5将S4中的运算结果120与6相乘得720.评注一眼就看出答案来了，为什么还一步一步地做，太枯燥了，但是相乘的数小、数少还能看出，如果数多了，数大了没有这样的步骤就很难解决这一类问题思维拓展该算法包含一个重复操作的过程是循环结构，我们可将算法改造得更为简练、科学解S1设i1，P1.S2如果i6执行S3，否则执行S5.S3计算Pi并将结果代替P.S4将i1代替i，转去执行S2.S5输出P.评注i称作计数变量，每一次循环它的值增加1，由1变到6，P是一个累乘变量，每一次循环得到一个新的结果，然后新的结果代替原值.3程序框图画法全知晓一、画程序框图的基本步骤第一步，设计算法，因为算法的设计是画程序框图的基础，所以画程序框图前，首先写出相应的算法步骤，并分析算法需要用哪种基本逻辑结构(顺序结构、条件分支结构、循环结构)完成第二步，把算法步骤转化为对应的程序框图，在这种转化过程中往往需要考虑很多细节，是一个将算法“细化”的过程第三步，将所有步骤的程序框图用流程线连接起来，并加上起、止框，得到整个表示算法的程序框图二、画程序框图的规则1使用标准的框图符号2框图一般按从上到下、从左到右的方向来画3除判断框外，大多数框图符号只有一个输入点和一个输出点，判断框是唯一具有超过一个输出点的符号4在图形符号内描述的语言要简练清楚三、典例分析1顺序结构顺序结构是最简单的算法结构，是任何一个算法都离不开的结构若一个算法由若干个依次执行的步骤组成，则在画程序框图时，可直接由顺序结构完成因为在其他的结构中都会涉及顺序结构，所以关于顺序结构的画法，在此不再单独叙述2条件分支结构设计程序框图时，若是分段函数或执行时需要先判断才能执行的问题，则需要用到判断框，引入条件分支结构例1如图，在边长为4的正方形ABCD的边上有一点P，沿着BCDA的方向由点B向点A运动，设点P运动的路程为x(0x12)，APB的面积为y，画出y关于x的关系式的程序框图分析先根据题意写出算法，再根据算法画出程序框图即第一步，按照题意，y与x的关系满足分段函数：y第二步，用合适的含条件分支结构的程序框图表示该分段函数解程序框图如图所示点评该题中的分段函数是分三段的函数，需引入两个判断框至于判断框的内容是没有顺序的，但与下一图形的内容或操作必须相互对应同时，在画程序框图时，要特别注意图形符号的规范性3循环结构如果问题中进行了重复的运算，且有相同的规律，就可根据需要引入相关变量，利用这些规律组成一个循环体，用循环结构来解决例2某机械厂为增加产值进行了技术革新据统计2014年的生产总值为500万元，技术革新后预计每年的生产总值比上一年增加5%，求最早要到哪一年生产总值才能超过600万元，试用程序框图表示分析用变量n，a分别表示所经过的年数和生产总值的数量，注意变量的初始值以及递加的值是多少由题意知第n年后的生产总值为a500(10.05)n，此时为(2014n)年由于题中进行了重复的运算，故应引入循环结构解程序框图如图所示点评在本例中，给出了一种循环结构的框图，另一种循环结构(先执行循环体，再判断条件是否成立)，同学们可以自行完成.4例说条件分支结构条件分支结构是三种基本逻辑结构之一，可以解决一些含有条件判断的算法问题，如分段函数求值问题、比较大小问题、分类讨论问题和一些实际问题等下面就其应用略举两例，供同学们学习时参考一、分段函数求值问题例1已知函数y请设计程序框图，要求输入自变量x，输出函数值y.分析输入自变量x的值，首先判断x与0的大小关系，再代入相应的表达式求函数值解程序框图如图点评求分段函数的函数值，需先判断再执行步骤，需要引入条件分支结构注意画程序框图时，判断条件不同，框图中表达式的位置也不同二、实际应用问题例2某电子汇款单笔最高限额为1万元，每笔汇款的资费标准为汇款金额的1%，最低收费为2元，最高收费为50元试编写一程序框图求出当汇款x (02015.解方法一程序框图如图1所示，方法二程序框图如图2所示评注涉及求多项的和与积的程序框图要用到循环结构和条件分支结构画图时要注意循环变量的初始值、终值以及循环变量的增量在程序中的作用本题代表了一类相邻两个数的差为常数的求和问题的解法，在设计程序框图时要注意前后两个加数相差2，此时计数变量不是ii1，而是ii2，要根据题意灵活地改变算法中的相应部分二、叠加求值例2画出求式子(共9个3)的值的一个程序框图分析本题是一个叠加问题，由于前后重复了多次相同的运算，所以应采用循环结构来设计算法，但利用循环结构实现算法需搞清初始值是什么本题中初始值可设定为a1，第一次循环得到a2，第二次循环得到a3，a9，共循环了8次解程序框图如图所示评注如果算法问题里涉及的运算有许多重复的步骤，且数之间有相同的规律，那么可引入变量，应用循环结构在循环结构中，要注意根据条件，设计合理的计数变量、累计变量，特别要注意条件的表述要恰当、精确，以免出现多一次循环或少一次循环的情况.6三种逻辑结构辨析算法中有三种逻辑结构，即顺序结构、条件分支结构、循环结构，同学们初学这三种结构，容易混淆本文将这三种结构进行比较，希望同学们能深刻体会这三种结构的差异与共同点一、三种基本逻辑结构顺序结构按照语句的先后顺序，从上而下依次执行这些语句，该结构不具备控制流程的作用，是任何一个算法都离不开的基本结构条件分支结构根据某种条件是否满足来选择程序的走向当条件满足时，运行一个分支，不满足时，运行另一个分支循环结构从某处开始，按照一定的条件，反复执行某一处理步骤的情况用来处理一些反复进行操作的问题.二、三种基本逻辑结构的共同特点1只有一个入口2只有一个出口，注意一个菱形判断框有两个出口，而一个条件分支结构只有一个出口，不要将菱形框的出口和条件分支结构的出口混为一谈3结构内的每一部分都有机会被执行到，即对每一个框来说都应当有一条从入口到出口的路径通过它，如图1中的A，没有一条从入口到出口的路径通过它，是不符合要求的程序框图4结构内不存在死循环，即无终止的循环，如图2就是一个死循环，在程序框图中是不允许有死循环出现的三种基本结构的这些共同特点，也是检查一个程序框图或算法是否正确、合理的方法和试金石三、典例剖析1顺序结构例1已知点P(x0，y0)和直线l：AxByC0，画出求点P(x0，y0)到直线l的距离d的算法的程序框图分析利用点到直线的距离公式可画出其程序框图解程序框图如图所示评注顺序结构是由若干个依次执行的处理步骤组成的，这是任何一个算法都离不开的基本结构，它是最简单的算法结构，在程序框图中的体现就是用流程线自上而下地连接起来，按顺序执行算法的步骤2条件分支结构例2画出解方程axb0(a，b为常数)的一个算法的程序框图分析在求解方程时，需要在方程两边同时除以a，这时对a是否为0的情况要加以讨论，当a0时，又要对b是否为0分情况讨论解程序框图如图所示评注条件分支结构中要先根据指定条件进行判断，再由判断的结果决定选择执行哪一条路径3循环结构例3某校高一(1)班共有60人，市青少年保护中心来抽样检测同学们的身体素质，要求学号被3整除的同学参加体检，已知同学们的学号是从1到60号，请画出一个算法的程序框图，使其能够输出参加体检的同学的学号解程序框图如图所示评注循环结构按照一定的条件，反复执行某一处理步骤循环结构要在某个条件下终止循环，这就需要条件分支结构来判断，在循环结构中都有一个计数变量和一个累加变量，计数变量用于记录循环次数，累加变量用于输出结果，计数变量和累加变量一般是同步执行的，累加一次，计数一次7算法在生活实际中的应用数学来源于生活，服务于社会，数学与生活息息相关，数学是有用的，在生活中做一件事情的方法和步骤有多种，生活中的许多问题都可以用算法描述，用程序框图表达下面请欣赏三例算法问题一、第29届奥林匹克运动会的申办例1北京成功举办了2008年第29届夏季奥林匹克运动会你知道在申办奥运会的最后阶段，国际奥委会是如何通过投票决定主办权归属的吗？对选出的5个申办城市进行表决的操作程序是首先进行第一轮投票，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市将获得举办权；如果所有申办城市的得票数都不超过总票数的一半，则将得票数最少的城市淘汰，然后重复上述过程，直到选出一个申办城市为止请设计一个算法表述上面过程，并画出程序框图解算法步骤如下：S1投票S2统计票数，如果有一个城市得票数超过总票数的一半，那么该城市就获得主办权；否则淘汰得票数最少的城市，转S1.S3宣布主办城市程序框图如图：点评算法本身就是用计算机解决一些实际问题的方法，一定要充分理解算法的特点二、奖金的发放例2某科研所决定拿出一定量的资金对科研人员进行奖励，按照科研成果价值的大小决定奖励前10名第1名得全部奖金的一半多1万元，第2名得剩余的奖金的一半多1万元，第3名再得剩余奖金的一半多1万元，以此类推，到第10名恰得奖金1万元，请设计一个算法的程序求科研所最初拿出多少奖金进行奖励解第10名的奖金额S11万元，第9名和第10名的总奖金额S2(11)24万元，第8名、第9名和第10名的总奖金额S3(41)210万元总奖金额S10(S91)2，得递推公式S11，Sn1(Sn1)2，n1,2，9.程序：S1；i1；whilei3，则输出S；否则，转S3.程序框图如图所示