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4.8正弦定理和余弦定理应用举例A组基础题组1.如图,两座相距60 m的建筑物AB,CD的高度分别为20 m、50 m,BD为水平线,则从建筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为()A.30B.45C.60D.75答案B依题意可得AD=2010(m),AC=305(m),又CD=50(m),所以在ACD中,由余弦定理得cosCAD=AC2+AD2-CD22ACAD=(305)2+(2010)2-50223052010=600060002=22.又0CAD180,所以CAD=45,所以从顶端A看建筑物CD的张角为45.2.(2018杭州调研)据气象部门预报,在距离某码头正西方向400 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向东北方向移动,距风暴中心300 km以内的地区为危险区,则该码头处于危险区内的时间为()A.9 hB.10 hC.11 hD.12 h答案B记码头为点O,热带风暴中心的位置为点A,t小时后热带风暴到达B点位置,在OAB中,OA=400 km,AB=20t km,OAB=45,根据余弦定理得4002+400t2-220t400223002,即t2-202t+1750,解得102-5t102+5,所以所求时间为102+5-102+5=10(h),故选B.3.(2018绍兴一中高三期中)以BC为底边的等腰三角形ABC中,AC边上的中线长为6,当ABC面积最大时,腰AB的长为()A.63B.65C.43D.45答案D如图所示,设D为AC的中点,由余弦定理得cos A=b2+c2-a22bc=2b2-a22b2,在ABD中,BD2=b2+b22-2bb22b2-a22b2,可得2a2+b2=144,设BC边上的高为h,所以S=12ah=12ab2-a22=12a144-9a24=12a2144-9a24=12-94(a2-32)2+2304,所以,当a2=32时,S有最大值,此时,b2=144-2a2=80,解得b=45,即腰长AB=45.故选D.4.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C(ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c),然后给出了三种测量方案:测量A,C,b;测量a,b,C;测量A,B,a,则一定能确定A,B间的距离的所有方案的序号为()A.B.C.D.答案D对于,由三角形内角和定理和正弦定理可求得A,B间的距离;对于,由余弦定理可求得A,B间的距离.5.(2018嘉兴高三模拟)如图所示,位于东海某岛的雷达观测站A,发现其北偏东45,与观测站A距离202海里的B处有一货船正匀速直线行驶,半小时后,又测得该货船位于观测站A东偏北(045)的C处,且cos =45.已知A、C两处的距离为10海里,则该货船的船速为海里/时.答案485解析因为cos =45,00,所以cos A=12,所以A=3.(2)因为a=10,b+c=5,所以由余弦定理可得a2=10=b2+c2-2bccos A=(b+c)2-3bc,可解得bc=5,所以SABC=12bcsin A=12532=534.11.(2018洛阳第一次统一考试)如图,在平面四边形ABDC中,CAD=BAD=30.(1)若ABC=75,AB=10,且ACBD,求CD的长;(2)若BC=10,求AC+AB的取值范围.解析(1)由已知,易得ACB=45,在ABC中,10sin45=CBsin60BC=56.因为ACBD,所以ADB=CAD=30,CBD=ACB=45,在ABD中,ADB=30=BAD,所以DB=AB=10.在BCD中,CD=CB2+DB2-2CBDBcos45=510-43.(2)AC+ABBC=10,cos 60=AB2+AC2-1002ABAC(AB+AC)2-100=3ABAC,而ABACAB+AC22,所以(AB+AC)2-1003AB+AC22,解得AB+AC20,故AB+AC的取值范围为(10,20.B组提升题组1.地面上有两座相距120米的塔,在矮塔塔底望高塔塔顶的仰角为,在高塔塔底望矮塔塔顶的仰角为2,且在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角,则两塔的高度分别为() A.50米,100米B.40米,90米C.40米,50米D.30米,40米答案B设高塔高H米,矮塔高h米,在O点望高塔塔顶的仰角为.则tan =H120,tan 2=h120,根据三角函数的倍角公式有H120=2h1201-h1202,因为在两塔底连线的中点O处望两塔塔顶的仰角互为余角,所以在O点望矮塔塔顶的仰角为2-.由tan =H60,tan2-=h60,得H60=60h,联立解得H=90,h=40.即两座塔的高度分别为40米,90米.2.如图,在海中一孤岛D的周围有2个观察站A,C,已知观察站A在岛D的正北5 km处,观察站C在岛D的正西方,现在海面上有一船B,在A点测得其在南偏西60方向4 km处,在C点测得其在北偏西30方向上,则两观察站A与C的距离为km.答案27解析如图,延长AB与DC,设交点为E,由题意可得E=30,BCE=60,EBC=90,ABC=90,在RtADE中,AE=ADsin30=10 km,所以EB=AE-AB=6 km.在RtEBC中,BC=BEtan 30=23 km,在RtABC中,AC=AB2+BC2=27(km).3.如图,一栋建筑物AB的高为(30-103)m,在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD.在它们之间的地面点M(B,M,D三点共线)处测得楼顶A,塔顶C的仰角分别是15和60,在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30,则通信塔CD的高为m.答案60解析如图,在RtABM中,AM=ABsinAMB=30-103sin15=30-103sin(45-30)=30-1036-24=206.过A点作CD的垂线,垂足为N,易知MAN=AMB=15,所以MAC=30+15=45,又AMC=180-15-60=105,从而ACM=30.在AMC中,由正弦定理得MCsin45=206sin30,解得MC=403.在RtCMD中,CD=403sin 60=60,故通信塔CD的高为60 m.4.如图,在一条海防警戒线上的点A、B、C处各有一个水声监测点,B、C两点到A的距离分别为20千米和50千米,某时刻,B收到发自静止目标P的一个声波信号,8秒后A、C同时接收到该声波信号,已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒.(1)设A到P的距离为x千米,用x表示B、C到P的距离,并求x的值;(2)求P到海防警戒线AC的距离.解析(1)依题意,有PA=PC=x千米,PB=x-1.58=(x-12)千米.在PAB中,AB=20千米,cosPAB=PA2+AB2-PB22PAAB=x2+202-(x-12)22x20=3x+325x,在PAC中,AC=50千米,cosPAC=PA2+AC2-PC22PAAC=x2+502-x22x50=25x.cosPAB=cosPAC,3x+325x=25x,解得x=31(负值舍去).(2)作PDAC于点D(图略),在ADP中,由(1)可知cosPAD=2531,则sinPAD=1-cos2PAD=42131,PD=PAsinPAD=3142131=421千米.故静止目标P到海防警戒线AC的距离为421 千米.5.某港湾的平面示意图如图所示,O,A和B分别是海岸线l1和l2上的三个集镇,A位于O的正南方向6 km处,B位于O的北偏东60方向10 km处.(1)求集镇A,B间的距离;(2)随着经济的发展,为缓解集镇O的交通压力,拟在海岸线l1,l2上分别修建码头M,N,开辟水上航线,勘测时发现:以O为圆心,3 km为半径的扇形区域为浅水区,不适宜船只航行,请确定码头M,N的位置,使得M,N之间的直线航距最短.解析(1)在ABO中,OA=6,OB=10,AOB=120,根据余弦定理得AB2=OA2+OB2-2OAOBcos 120=62+102-2610-12=196,所以AB=14,故集镇A,B间的距离为14 km.(2)依题意得,直线MN必与圆O相切,设切点为C,连接OC(图略),则OCMN.设OM=x,ON=y,MN=c,在OMN中,由12MNOC=12OMONsin 120,得123c=12xysin 120,即xy=23c,由余弦定理,得c2=x2+y2-2xycos 120=x2+y2+xy3xy,所以c263c,解得c63.当且仅当x=y=6时,c取得最小值63.所以码头M,N与集镇O的距离均为6 km时,M,N之间的直线航距最短,最短距离为63 km.
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