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浙江省“温州十校联合体”2018-2019学年高一上学期期末考试数学试题第卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】直接根据特殊角的三角函数值,得出答案.【详解】根据特殊角的三角函数值,可知.故选D.【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值,属于基础题.从到内特殊角的三角函数值需要熟练记忆.2.已知函数,则的值域是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据的范围,求得的范围,由此求得的值域.【详解】由于,所以,故选C.【点睛】本小题主要考查具体函数值域的求法,属于基础题.3.为了得到的图象,只需将的图象( )A. 向左平移个长度单位 B. 向右平移个长度单位C. 向右平移个长度单位 D. 向左平移个长度单位【答案】A【解析】【分析】利用,可知向左平移个长度单位.【详解】由于可化简为,故只需将向左平移个长度单位得到,故选A.【点睛】本小题主要考查三角函数图像变换,属于基础题.在平移变换的过程中,要注意一个是“左加右减”,另一个是要注意的系数的影响.4.函数的部分图象可能是( )A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由奇偶性排除,由特殊点排除,从而可得结果.【详解】因为,所以是偶函数,图象关于轴对称,可排除选项;取,则,可排除,故选C.【点睛】本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质,属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向,该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多,但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手,根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及时函数图象的变化趋势,利用排除法,将不合题意的选项一一排除.5.已知,则( )A. 7 B. C. D. 1【答案】C【解析】【分析】利用诱导公式化简题目所求表达式,然后分子分母同时除以,转化为的式子,再将代入,求得表达式的值.【详解】依题意,原式,分子分母同时除以得.故选C.【点睛】本小题主要考查三角函数诱导公式,考查利用齐次方程三角函数式的值,属于基础题.对于或者的化简,要用到诱导公式,口诀是“奇变偶不变,符号看象限”.奇变的意思是若为奇数,化简时函数名称要改变;若为偶数,化简时函数名称不用改变.符号是将看成锐角时,所在的象限,原函数的正负.6.已知定义域为的偶函数在上是减函数,且,则不等式的解集是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据偶函数的性质可得函数在上单调递减,且.由此将不等式转化为来求解得不等式的解集.【详解】由于函数是定义在上的偶函数,且在上递减,故函数在上单调递增,且.所以原不等式转化为,即,或,解得或故选A.【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性以及单调性,考查对数不等式的解法,属于中档题.7.在中,则在方向上的投影是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】将转化为,将两边平方,证得,在直角三角形中,求得夹角的余弦值,以及 ,代入公式求得题目所求在方向上的投影.【详解】,两边平方并化简得,即,故三角形为直角三角形,所以,.所以在方向上的投影.故选D.【点睛】本小题主要考查平面向量的数量积,考查向量投影的计算,属于基础题.8.若函数能够在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3,且在上是单调函数,则整数的值是( )A. 4 B. 5 C. 6 D. 7【答案】B【解析】【分析】出现三次最大值,即为两个周期,由此得到.根据函数在上是单调函数,得到.解两个关于的不等式,由此求得的取值范围,进而确定整数的值.【详解】由于函数“在某个长度为3的闭区间上至少三次出现最大值3”,即为两个周期,由此得到,即.根据函数在上是单调函数,由于函数是奇函数,图像关于原点对称,即函数在上是单调函数,故,即.由得,解得.由于为整数,故,所以选B.【点睛】本小题主要考查三角函数的周期性与最大值,考查三角函数的单调性,属于中档题.9.设定义在上的函数,对于给定的正数,定义函数,则称函数为的“界函数”.关于函数的“2界函数”,则下列等式不成立的是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先求得函数的“界函数”,然后对四个选项逐一进行排除,由此得到正确选项.【详解】令,解得或,根据“界函数”的定义,有.所以,故A选项成立.,故B选项不成立.,故C选项成立.,故D选项成立.综上所述,本小题选B.【点睛】本小题主要考查新定义函数的概念及应用,考查分段函数求值,考查分析问题和解决问题的能力.属于中档题.解题的突破口在于理解新定义的函数:新定义的函数关键是函数值大于,或者函数值小于或等于,也就是先要求得函数值等于时对应的值,由此写出分段函数“界函数”.10.已知函数在上有两个不同的零点,则的范围是( )A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据二次函数零点的分布,列出关于的不等式组,将分别看作,画出不等式组对应的可行域.取可行域内的点代入进行验证,利用排除法得出正确选项.【详解】根据二次函数零点的分布,列出关于的不等式组,即.将分别看作,画出不等式组对应的可行域如下图所示.取可行域内点代入得到结果是排除选项.取可行域内点代入,得到结果是,排除A,B两个选项,故本小题选D.【点睛】本小题主要考查二次函数零点分布问题的解法,考查化归与转化的数学思想方法,属于中档题.第卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)11.已知,集合,则_,_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】利用交集的知识求得两个集合的交集,先求得集合的补集,然后求这个补集和集合的并集.【详解】依题意可知,,故.【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算,考查集合补集的概念及运算,考查并集的运算,属于基础题.12.已知向量,则_,与方向相反的单位向量_.【答案】 (1). (2). 【解析】【分析】先求得的坐标,然后求它的模.用求得的坐标.【详解】依题意,故.与方向相反的单位向量为.【点睛】本小题主要考查平面向量加法的坐标运算,考查平面向量模的坐标表示,考查相反的向量,考查单位向量等知识,属于基础题.对于两个向量,也即是两个向量加法的结果还是一个向量.向量方向上的单位向量的求法是.13.(1)计算_,(2)若,则_【答案】 (1). 3 (2). 【解析】【分析】(1)利用指数和对数运算公式,求得运算结果.(2)先求得的值,代入所求表达式,利用对数运算公式化简,求得结果.【详解】(1)原式.(2)依题意,故 .【点睛】本小题主要考查指数运算公式,考查对数运算公式,考查运算求解能力,属于基础题.14.已知扇形的周长为8,当扇形的面积最大时,扇形的圆心角等于_【答案】2【解析】【分析】设出扇形的半径,求得扇形面积的表达式,利用基本不等式求得面积的最大值,及此时扇形的半径和对应圆心角.【详解】设扇形的半径为,则对应的弧长为,扇形的面积为,当且仅当时等号成立,此时弧长为,对应的圆心角为.【点睛】本小题主要考查扇形的周长、面积公式,考查利用基本不等式求面积的最大值,考查基本不等式等号成立的条件,还考查了弧长与圆心角弧度数的对应关系,属于基础题.对于基本不等式,它可以变形为,也可以变形为,具体选择哪一个,要看题目所给条件来决定.15.已知函数,当时,则的取值范围是_【答案】【解析】【分析】等价为函数是减函数,根据指数函数、对数函数的单调性,列出不等式组,解不等式组求得的取值范围.【详解】由于等价为函数是减函数,故,解得.【点睛】本小题主要考查函数单调性的识别,考查指数函数、对数函数的单调性的运用,属于基础题.16.已知平面向量与的夹角为锐角,且的最小值为,若向量满足,则的取值范围为_【答案】【解析】【分析】根据的最小值为可知的夹角为,画出向量对应的平面图形,建立平面直角坐标系,求得两点的坐标,设出的坐标,代入,求得坐标满足的方程,根据这个方程对应的曲线是圆,由圆上的点和原点的距离的最大值和最小值,求得的取值范围.【详解】画出图像如下图所示,其中,设.由于的最小值为,根据向量加法的几何意义可知,而,故,.以为坐标原点,分别为轴建立如图所示的平面直角坐标系,设.由于,即,化简得,即对应的点在以为圆心,半径为的圆上,而表示圆上的点到原点的距离.圆心到原点的距离为,故的取值范围是.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算,考查平面向量加法的几何意义,考查建立平面直角坐标系的方法研究向量模的取值范围,考查化归与转化的数学思想方法、考查数形结合的数学思想方法,属于中档题.解题的关键点在于将的坐标满足的方程转化为圆的方程,将模的为题转化为圆上的点到原点距离来求解.三、解答题 (本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.已知平面上三点,. (1)若,求实数的值.(2)若是以为斜边的直角三角形,求实数的值.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据模的运算公式列方程,解方程求得的值.(2)先求得的坐标,根据题意,利用列方程,解方程求得的值.【详解】(1)由于,则,解得.(2)由题意得为直角,则.即,故.【点睛】本小题主要考查向量模的运算,考查向量加法的坐标运算,考查两个向量垂直的坐标表示,属于基础题.18.已知函数,的部分图像如图所示,函数图像与轴的交点为,并且与轴交于两点,点是函数的最高点,且是等腰直角三角形.(1)求函数的解析式.(2)若函数在上有两个不同的解,求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】【分析】(1)根据是等腰直角三角形求得的长,也即是半周期的值,由此求得周期并求得的值.代入点求得的值,由此求得函数的解析式.(2)求得函数在区间上的值域,根据有两个交点,求得的取值范围.【详解】解:(1)因为是函数的最高点,所以.又为等腰直角三角形,.,.又因为过点,所以.,.所以.(2),.因为有两个交点,所以.【点睛】本小题主要考查根据三角函数的图像求三角函数的解析式,考查三角函数的值域的求法,属于中档题.19.已知函数,为常数. (1)若,求证为奇函数;并指出的单调区间.(2)若对于,不等式恒成立,求实数的取值范围.【答案】(1)详见解析(2)【解析】【分析】(1)当时,先求出函数的定义域,然后证明,由此证得函数是奇函数.由于,根据复合函数单调性同增异减可知,函数在上为增函数.(2)将原不等式分离常数得到,利用单调性求得左边函数的最小值,由此求得的取值范围.【详解】(1)当时,.的定义域为.当时,.是奇函数.的单调增区间为.(2)由.令,只需要.由(1)知在上是增函数,所以.则的取值范围是.【点睛】本小题主要考查函数奇偶性的证明,考查函数单调性的识别以及应用,考查复合函数的单调性,考查分离常数法解不等式恒成问题.要证明一个函数是奇函数,首先要求得函数的定义域,然后根据奇函数的定义,证明来证明.不等式恒成立问题,一个重要的解题策略就是分离常数法.20.若函数,为常数. (1)若在上的最大值为3,求的值.(2)已知,若存在实数,使得函数有三个零点,求的取值范围.【答案】(1)或(2)【解析】【分析】(1)利用零点分段法去绝对值,将原函数表示为分段函数的形式,对分成两类讨论函数的最大值,由此求得的取值范围.(2)将函数有三个零点的问题,转化为函数与直线有三个不同交点,构造函数,将其表示为分段函数的形式,对分成,两类,结合函数的图像,求得的取值范围.【详解】(1)当时,.当时,.综上,或.(2)有三个零点有三个不同实根函数与直线有三个不同交点.令,则.当时,在上单增,在上单减,在上单增.,即.,.当时,在上单增,在上单减,在上单增.,即.,.综上:.【点睛】本小题主要考查含有绝对值符合的函数的解题策略,考查零点问题,考查数形结合的数学思想方法以及分类讨论的数学思想方法,属于中档题.
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