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第3讲导数及其应用考情考向分析1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.3.导数与函数零点、不等式的结合常作为高考压轴题出现热点一导数的几何意义1函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率kf(x0)，相应的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)2求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同例1(1)(2018全国)设函数f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)为奇函数，则曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为()Ay2x Byx Cy2x Dyx答案D解析方法一f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)为奇函数，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.方法二f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，f(x)3x22(a1)xa为偶函数，a1，即f(x)3x21，f(0)1，曲线yf(x)在点(0,0)处的切线方程为yx.故选D.(2)(2018雅安三诊)若曲线yx2与曲线yaln x在它们的公共点P处具有公共切线，则实数a等于()A1 B. C1 D2答案A解析曲线yx2的导数为y，在P(s，t)处的斜率为k1.曲线yaln x的导数为y，在P(s，t)处的斜率为k2.由曲线yx2与曲线yaln x在它们的公共点P(s，t)处具有公共切线，可得，并且ts2，taln s，即ln s，s2e.可得a1.思维升华(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解跟踪演练1(1)(2018全国)曲线y2ln x在点(1,0)处的切线方程为_答案2xy20解析因为y，y|x12，所以切线方程为y02(x1)，即2xy20.(2)若函数f(x)ln x(x0)与函数g(x)x22xa(x0)，则切线方程为yln x1(xx1)设公切线与函数g(x)x22xa切于点B(x2，x2x2a)(x20)，则切线方程为y(x2x2a)2(x21)(xx2)，x20x1，02.又aln x121ln 21，令t，0t2，at2tln t.设h(t)t2tln t(0t2)，则h(t)t1h(2)ln 21ln ，a.热点二利用导数研究函数的单调性1f(x)0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)x3在(，)上单调递增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)为增函数的必要不充分条件，当函数在某个区间内恒有f(x)0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性例2(2018惠州模拟)已知函数f(x)4ln xmx21.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若对任意x，f(x)0恒成立，求实数m的取值范围解(1)由题意知f(x)2mx(x0)，当m0时，f(x)0在x(0，)时恒成立，f(x)在(0，)上单调递增当m0时，f(x)(x0)，令f(x)0，得0x；令f(x).f(x)在上单调递增，在上单调递减综上所述，当m0时，f(x)在(0，)上单调递增；当m0时，f(x)在上单调递增，在上单调递减(2)方法一由题意知4ln xmx210在上恒成立，即m在上恒成立令g(x)，x， g(x)，x1，e，令g(x)0，得1x；令g(x)0，得x0，()若e，即0m，则f(x)在上单调递增，f(x)maxf(e)4me210，即m，这与0m矛盾，此时不成立()若1e，即m2，则f(x)在上单调递增，在上单调递减f(x)maxf4ln10，即，解得m.又m2，m2，()若00或f(x)1时，ln x0，要使f(x)0恒成立，则xa0恒成立xa1a，1a0，解得a1，当0x1时，ln x0，要使f(x)0恒成立，则xa0恒成立，xa0，则关于x的不等式f(x2)的解集为()A. B.C(，0) D(0，)答案B解析因为f(x)f，所以f(x)周期为3，f(x)为偶函数，所以f(2 018)f(2)f(1)f(1)，令g(x)ex2f(x)，则g(x)ex2f(x)f(x)0，g(x)在R上单调递增，g(1)1，由f(x2)，得g(x2)g(1)，所以x21，x3，即解集为.热点三利用导数求函数的极值、最值1若在x0附近左侧f(x)0，右侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极大值；若在x0附近左侧f(x)0，则f(x0)为函数f(x)的极小值2设函数yf(x)在a，b上连续，在(a，b)内可导，则f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在极值点或端点处取得例3(2018北京)设函数f(x)ax2(3a1)x3a2ex.(1)若曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线斜率为0，求a；(2)若f(x)在x1处取得极小值，求a的取值范围解(1)因为f(x)ax2(3a1)x3a2ex，所以f(x)ax2(a1)x1ex，f(2)(2a1)e2.由题意知f(2)0，即(2a1)e20，解得a.(2)由(1)得f(x)ax2(a1)x1ex(ax1)(x1)ex.若a1，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x1处取得极小值若a1，则当x(0,1)时，ax1x10.所以1不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是(1，)思维升华(1)求函数f(x)的极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解(3)求函数f(x)在闭区间a，b上的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值跟踪演练3(2018四川省 “联测促改”活动试题)已知函数f(x)是偶函数，且满足2f(x2)f(x)0，当x(0,2时，f(x)exax(a1)，当x时，f(x)的最大值为4e216.(1)求实数a的值；(2)函数g(x)bx34bx2，若对任意的x1(1，2)，总存在x2(1,2)，使不等式f(x1)1)，当x时，x4(0,2，f(x)4f4ex44a.又a1，f(x)4ex44a0恒成立，f(x)在上单调递增，f(x)maxf(2)4e28a，令4e28a4e216，解得a2.实数a的值为2.(2)当x(1,2)时，f(x)ex2x，f(x)ex20，函数f(x)在(1,2)上单调递增，当x(1,2)时，f(x)0时，g(x)0，函数g(x)在区间(1,2)上单调递增，g(x)g(2)b2.对任意的x1(1,2)，总存在x2(1,2)，使不等式f(x1)g(x2)恒成立，e24b2，解得be2；当b0时，g(x)0，函数g(x)在区间(1,2)上单调递减，g(x)0，故正确2(2017全国改编)若x2是函数f(x)(x2ax1)ex1的极值点，则f(x)的极小值为_答案1解析函数f(x)(x2ax1)ex1，则f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函数f(x)的极值点，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所以a1，所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立，得当x2或x1时，f(x)0，且x0；当2x1时，f(x)1时，f(x)0.所以x1是函数f(x)的极小值点所以函数f(x)的极小值为f(1)1.3(2017山东改编)若函数exf(x)(e2.718 28是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增，则称函数f(x)具有M性质，下列函数中具有M性质的是_(填序号)f(x)2x; f(x)x2；f(x)3x; f(x)cos x.答案解析若f(x)具有性质M，则exf(x)exf(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立，即f(x)f(x)0在f(x)的定义域上恒成立对于式，f(x)f(x)2x2xln 22x(1ln 2)0，符合题意经验证，均不符合题意4(2017全国)曲线yx2在点(1,2)处的切线方程为_答案xy10解析y2x，y|x11，即曲线在点(1,2)处的切线的斜率k1，切线方程为y2x1，即xy10.押题预测1设函数yf(x)的导函数为f(x)，若yf(x)的图象在点P(1，f(1)处的切线方程为xy20，则f(1)f(1)等于()A4 B3 C2 D1押题依据曲线的切线问题是导数几何意义的应用，是高考考查的热点，对于“在某一点处的切线”问题，也是易错易混点答案A解析依题意有f(1)1,1f(1)20，即f(1)3，所以f(1)f(1)4.2已知函数f(x)x3ax2bxa27a在x1处取得极大值10，则的值为()A B2C2或 D2或押题依据函数的极值是单调性与最值的“桥梁”，理解极值概念是学好导数的关键极值点、极值的求法是高考的热点答案A解析由题意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或经检验满足题意，故.3已知函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，函数g(x)x2aln x在(1,2)上为增函数，则a的值等于_押题依据函数单调性问题是导数最重要的应用，体现了“以直代曲”思想，要在审题中搞清“在(0,1)上为减函数”与“函数的减区间为(0,1)”的区别答案2解析函数f(x)x2ax3在(0,1)上为减函数，1，得a2.又g(x)2x，依题意g(x)0在(1,2)上恒成立，得2x2a在(1,2)上恒成立，a2，a2.4已知函数f(x)x，g(x)x22ax4，若对任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，则实数a的取值范围是_押题依据不等式恒成立或有解问题可以转化为函数的值域解决考查了转化与化归思想，是高考的一个热点答案解析由于f(x)10，因此函数f(x)在0,1上单调递增，所以当x0,1时，f(x)minf(0)1.根据题意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a成立，令h(x)，则要使ah(x)在1,2上能成立，只需使ah(x)min，又函数h(x)在1,2上单调递减，所以h(x)minh(2)，故只需a.A组专题通关1(2018株洲质检)设函数yxsin xcos x的图象在点处切线的斜率为g(t)，则函数yg(t)的图象一部分可以是()答案A解析因为yxcos x，所以g(t)tcos t，由g(t)tcos tg(t)知函数g(t)为奇函数，所以排除B，D选项，当从y轴右侧t0时，cos t0，t0，所以g(t)0，故选A.2(2018昆明统考)已知函数f(x)k，若x1是函数f(x)的唯一极值点，则实数k的取值范围是()A. B.C. D.答案A解析由函数f(x)k，可得f(x)k(x0)，f(x)有唯一极值点x1，f(x)0有唯一根x1，k0无根或有且仅有一个根为x1，设g(x)，则g(x)，由g(x)0得，g(x)在1，)上单调递增，由g(x)0得，g(x)在(0,1)上单调递减，g(x)ming(1)e，ke，即实数k的取值范围是.3(2018衡水金卷调研)已知定义在R上的可导函数f(x)的导函数为f(x)，满足f(x)f(x)，且f(0)，则不等式f(x)ex0的解集为()A. B(0，)C. D(，0)答案B解析构造函数g(x)，则g(x)，因为f(x)f(x)，所以g(x)0，故函数g(x)在R上为减函数，又f(0)，所以g(0)，则不等式f(x)ex0可化为，即g(x)0，即所求不等式的解集为(0，)4若函数f(x)exx2ax(其中e是自然对数的底数)的图象在x0处的切线方程为y2xb，则函数g(x)在(0，)上的最小值为()A1 Be Ce2 De2答案C解析因为f(x)ex2xa，所以f(0)1a.由题意知1a2，解得a1，因此f(x)exx2x，而f(0)1，于是120b，解得b1，因此g(x)，所以g(x)，令g(x)0得x1，故g(x)在x1处取得极小值，即g(x)在(0，)上的最小值为g(1)e2.5若曲线yxln x与曲线yax3x1在公共点处有相同的切线，则实数a等于()A. B C D.答案B解析设两曲线的公共点为P(m，n)，m0，由yxln x，得y1，则曲线yxln x在点P(m，n)处的切线的方程为ymln m(xm)，即yx1ln m.由yax3x1，得y3ax21，则曲线yax3x1在点P(m，n)处的切线的方程为yam3m1(3am21)(xm)，即y(3am21)x2am31，所以解得6(2018天津)已知函数f(x)exln x，f(x)为f(x)的导函数，则f(1)的值为_答案e解析f(x)exln x，f(x)exln x，f(1)e.7(2018全国)曲线y(ax1)ex在点(0,1)处的切线的斜率为2，则a_.答案3解析y(axa1)ex，当x0时，ya1，a12，得a3.8(2018益阳调研)分别在曲线yln x与直线y2x6上各取一点M与N，则|MN|的最小值为_答案解析由yln x(x0)，得y，令2，即x，ylnln 2，则曲线yln x上与直线y2x6平行的切线的切点坐标为，由点到直线的距离公式得d，即|MN|.9(2018衡水金卷调研)已知函数f(x)，m，x1,2，g(m)f(x)maxf(x)min，则关于m的不等式g(m)的解集为_答案解析由f(x)，得f(x)，m，x1,2，f(x)0，因此函数f(x)在区间1,2上单调递增，f(x)maxf(2)，f(x)minf(1)，从而g(m)f(x)maxf(x)min，令，得m，又m1，e，m.故不等式g(m)的解集为.10(2018晋城模拟)已知函数f(x)ax2(a1)x(12a)ln x(a0)(1)若x2是函数的极值点，求a的值及函数f(x)的极值；(2)讨论函数的单调性解(1)因为f(x)ax2(a1)x(12a)ln x，所以f(x)ax(a1)(x0)，由已知f(2)2a(a1)2a0，解得a，此时f(x)x2xln x，f(x)x，当0x2时，f(x)0，f(x)是增函数，当1x2时，f(x)0)，当0，即a时，则当0x1时，f(x)1时，f(x)0，f(x)单调递增当01，即a时，则当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)1，即0a时，则当0x时，f(x)0，f(x)单调递增；当1x时，f(x)0，f(x)单调递减当1，即a时，f(x)0，所以f(x)在定义域(0，)上单调递增综上，当0a时，f(x)在区间上单调递减，在区间(0,1)和上单调递增；当a时，f(x)在定义域(0，)上单调递增；当a0时，g(x)0，当x0时，g(x)2)，h(x)1，令h(x)0，得x1，令h(x)0，得2xln(x2)，exln(x2)0，函数f(x)exln(x2)2的值域为(2，)，故选C.12(2018齐鲁名校教科研协作体模拟)已知函数f(x)sin xxcos x，现有下列结论：当x0，时，f(x)0；当0sin ；若nm对x恒成立，则mn的最小值等于1；已知k，当xi时，满足k的xi的个数记为n，则n的所有可能取值构成的集合为0,1,2,3其中正确的个数为()A1 B2 C3 D4答案C解析当x0，时，f(x)xsin x0，函数f(x)在0，上为增函数，所以f(x)f(0)0，正确；令g(x)，由知，当x(0，)时，g(x)g，所以sin g，则n，令(x)sin xx，当x时，(x)cos x10，所以(x)在上为减函数，所以(x)sin xx(0)0，所以1，所以m1，则minmminnmax1，正确；令h(x)|sin x|，k表示点(xi，h(xi)与原点(0,0)连线的斜率，结合图象(图略)可知，当k，x(0,2)时，n的所有可能取值有0,1,2,3，正确13(2018江西省名校联考)已知函数f(x)3xbln x.(1)当b4时，求函数f(x)的极小值；(2)若x，使得4xf(x)0)，令f(x)0，得x或x1，且f(x)在上单调递增，在上单调递减，在(1，)上单调递增，所以f(x)在x1处取得极小值f(1)2.(2)由已知x1，e，使得4xf(x)，即4xf(x)0，即4x3xbln x0，即xbln x0)，令h(x)0，得x1(舍去)或x1b(满足be1)当1be，即be1时，h(x)在1，e上单调递减，故h(x)在1，e上的最小值为h(e)，由h(e)eb.因为e1，所以b(满足be1)当1b1，即b0时，h(x)在1，e上单调递增，故h(x)在1，e上的最小值为h(1)，由h(1)11b0，可得b2(满足b0)当11be，即0be1时，h(x)在(1,1b)上单调递减，在(1b，e)上单调递增，故h(x)在1，e上的最小值为h(1b)2bbln(1b)因为0ln(1b)1，所以0bln(1b)2，即h(1b)2，不满足题意，舍去所以实数b的取值范围为(，2).
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