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3.3.1单调性学习目标：1.了解函数的单调性与导数的关系2.掌握利用导数研究函数的单调性的方法，会求函数的单调区间(重点、难点)自 主 预 习探 新 知1函数的单调性与其导数正负的关系定义在区间(a，b)内的函数yf(x)f(x)的正负f(x)的单调性f(x)0增函数f(x)0，则函数f(x)在定义域上单调递增()(2)f(x)在区间(a，b)上是增函数，则f(x)一定大于零()(3)若f(x)(x0)，则f(x)0，所以f(x)是单调减函数()【解析】(1).反例：f(x)，f(x)0，但f(x)在其定义域上不是增函数(2).反例：f(x)x3在(1,1)上是增函数，但f(0)0.(3).f(x)在(，0)，(0，)上是减函数，但在其定义域上不是减函数【答案】(1)(2)(3)2函数f(x)x3x的单调减区间是_【解析】f(x)x21，令f(x)0，即x210，得1x1，函数减区间(1,1)【答案】(1,1)合 作 探 究攻 重 难函数与其导函数图象之间的关系(1)如图331，设f(x)是函数f(x)的导函数，将yf(x)和yf(x)的图象画在同一个直角坐标系中，不正确的是_(填序号)图331(2)已知函数yxf(x)的图象如图332(其中f(x)是函数f(x)的导函数)，下面四个图象中，yf(x)的图象大致是_(填序号). 【导学号：95902215】图332思路探究(1)通过对各个选项中图象的变化判断是否符合题目的条件(2)根据yxf(x)函数图象中所反映的f(x)的符号，确定yf(x)的单调区间，确定yf(x)的图象【自主解答】(1)，均有可能；对于，若C1为导函数，则yf(x)应为增函数，不符合；若C2为导函数，则yf(x)应为减函数，也不符合(2)由题图知，当x1时，xf(x)0，f(x)0，当x1时，函数yf(x)单调递增；当1x0时，xf(x)0，f(x)0，当1x0时，函数yf(x)单调递减；当0x1时，xf(x)0，f(x)0，当0x1时，函数yf(x)单调递减；当x1时，xf(x)0，f(x)0，当x1时，yf(x)单调递增综上可知，是yf(x)的大致图象【答案】(1)(2)规律方法1利用原函数图象可以判断导函数的正负，原函数的单调增区间即为应为f(x)0的区间，原函数的减区间就是导函数应为f(x)0的区间2利用导函数的图象可以判断原函数的单调区间，导函数在x轴上方的区间就是原函数的增区间，导函数在x轴下方的区间就是原函数的减区间跟踪训练1.已知函数f(x)ax3bx2cx，其导函数f(x)图象如图333所示图333(1)写出函数f(x)的单调区间；(2)求函数f(x)的解析式. 【导学号：95902216】【解】(1)由函数f(x)的导函数图象知函数f(x)递增区间(，0)和(2，)；递减区间为(0,2)(2)f(x)3ax22bxc将(0,0)，(1，2)，(2,0)三点代入得f(x)x32x2.求函数的单调区间求下列各函数的单调区间：(1)f(x)2x33x2；(2)f(x).思路探究【自主解答】(1)函数f(x)定义域为R，且f(x)6x26x.令f(x)0，即6x26x0，解得x1或x0；令f(x)0，即6x26x0，解得0x1.所以f(x)的单调递增区间是(，0)和(1，)；单调递减区间是(0,1)(2)函数f(x)的定义域为(0，)，且f(x).令f(x)0，即0，得0xe；令f(x)0，即0，得xe，所以f(x)的单调递增区间是(0，e)，单调递减区间是(e，)规律方法1利用导数求函数f(x)的单调区间，实质上是转化为解不等式f(x)0或f(x)0，不等式的解集就是函数的单调区间2利用导数求单调区间时，要特别注意不能忽视函数的定义域，在解不等式f(x)0(或f(x)0)时，要在定义域前提下求解如果函数的单调区间不止一个时，要用“和”“及”等连结，而不能写成两个区间并集形式跟踪训练2求下列各函数的单调区间：(1)f(x)x33x；(2)f(x)3x22ln x. 【导学号：95902217】【解】(1)函数f(x)的定义域为R，且f (x)3x233(x21)当f (x)0时，x1或x1，此时函数f(x)递增；当f (x)0时，1 x1，此时函数f(x)递减函数f(x)的递增区间是(，1)和(1，)，递减区间是(1,1)(2)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)6x.令f(x)0，即0，x0，x.函数f(x)的递增区间是.令f(x)0，即0，x0，0x.函数f(x)的递减区间是.函数f(x)的递增区间是，递减区间是.根据函数的单调性求字母参数的取值范围若函数f(x)x3x2mx1是R上的单调函数，求实数m的取值范围思路探究【自主解答】f(x)3x22xm，由于f(x)是R上的单调函数，所以f(x)0或f(x)0恒成立由于导函数的二次项系数30，所以只能有f(x)0恒成立方法一：由上述讨论可知要是f(x)0恒成立只需使方程3x22xm0的判别式412m0，故m.经检验，当m时，只有个别点使f(x)0，符合题意所以实数m的取值范围是m.方法二：3x22xm0恒成立，即m3x22x恒成立设g(x)3x22x3，易知函数g(x)在R上的最大值为，所以m.经检验，当m时，只有个别点使f(x)0，符合题意所以实数m的取值范围是m.规律方法1可导函数f(x)在(a，b)上单调递增(或单调递减)的充要条件是f(x)0(或f(x)0)在(a，b)上恒成立，且f(x)在(a，b)的任何子集内都不恒等于0.2已知f(x)在区间D上单调，求f(x)中参数的取值范围的方法为分离参数法通常将f(x)0(或f(x)0)的参数分离，转化为求函数的最值问题，从而求出参数的取值范围特别地，若f(x)为二次函数，可以由相应方程的根的判别式求出参数的取值范围跟踪训练3若函数h(x)2x在(1，)上是增函数，则实数k的取值范围是_. 【导学号：95902218】【解析】根据条件，得h(x)20在(1，)上恒成立，即k2x2在(1，)上恒成立，所以k2，)【答案】2，)求含参数函数的单调区间探究问题1函数f(x)x3x2ax的导数f(x)是什么？f(x)0是否一定有实数根？【提示】f(x)x22xa，f(x)0即x22xa0不一定有实数根，当44a0，即a1时，f(x)0有不等实数根；当44a0，即a1时，f(x)0有两个相等的实数根；当44a0，即a1时，f(x)0没有实数根2根据探究1的讨论，求函数f(x)x3x2ax的单调区间【提示】由探究1知，当44a0，即a1时，f(x)0恒成立，函数f(x)x3x2ax在定义域(，)上单调递增，没有单调递减区间；当44a0，即a1时，令f(x)0，解得x1或x1，令f(x)0，解得1x1，所以函数f(x)x3x2ax的单调递增区间是(，1)，(1，)，单调递减区间是.3设f(x)x3(a1)x2ax，f(x)0一定有实数根吗？若有，它们的大小确定吗？试求函数f(x)的单调递减区间【提示】 f(x)x2(a1)xa(x1)(xa)，所以f(x)0有实数根a和1，但它们的大小不确定，所以求f(x)的单调区间要据此分类讨论：当a1时，由f(x)0解得1xa，所以函数f(x)的单调递减区间是(1，a)；当a1时，因为f(x)(x1)20，所以函数f(x)不存在单调递减区间；当a1时，由f(x)0解得ax1，所以函数f(x)的单调递减区间是(a,1)4设函数f(x)ax3ax22ax1(a0)，则f(x)ax23ax2aa(x1)(x2)，不等式f(x)0的解一定是1x2吗？试求函数f(x)的单调递减区间【提示】不一定是，只有a0时，不等式f(x)0的解才是1x2，当a0时，不等式f(x)0的解是x1或x2，所以当a0时，函数f(x)的单调递减区间为(1,2)，当a0时，函数f(x)的单调递减区间为(，1)，(2，)5通过以上讨论，在求含参数函数的单调区间时，一般要对参数进行讨论，那么要从哪几个方面考虑这类问题呢？【提示】首先要确定f(x)0是否有根，若不确定，要分类讨论；在f(x)0有根的情况下，如果根的大小不确定，则要按照其大小为分类标准进行讨论；如果f(x)0的最高次幂的系数的正负不确定，那么还要按照其正负进行讨论已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)，试讨论f(x)的单调性思路探究根据函数f(x)的导函数f(x)的零点的大小，来研究函数f(x)在各个区间中的正负号，从而得到函数f(x)的单调区间及单调性【自主解答】f(x)3x22ax，令f(x)0，解得x10，x2.当a0时，因为f(x)3x20恒成立，所以函数f(x)在(，)上单调递增；当a0时，x(0，)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在，(0，)上单调递增，在上单调递减；当a0时，x(，0)时，f(x)0，x时，f(x)0，所以函数f(x)在(，0)，上单调递增，在上单调递减规律方法1本题主要考查求函数单调性的一般方法以及函数求导公式和法则的综合应用2当解题过程中含有参数时，一般要对参数进行分类讨论，此时需注意应准确确定分类标准和分类讨论的准确性跟踪训练4求函数f(x)exax(aR)的单调区间. 【导学号：95902219】【解】函数定义城为R，且f(x)exa.当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)在(，)上单调递增，无减区间；当a0时，由f(x)exa0，得xln a，由f(x)0，得xln a，所以f(x)在(ln a，)上单调递增，在(，ln a)上单调递减综上，当a0时，f(x)的单调递增区间是(，)，无减区间；当a0时，f(x)的单调递增区间是(ln a，)，单调递减区间是(，ln a)构建体系 当 堂 达 标固 双 基1函数f(x)2x39x212x1的单调递减区间是_【解析】f(x)6x218x12，令f(x)0，得1x2，函数f(x)的单调递减区间是(1,2)【答案】(1,2)2函数yx2ln x的单调递减区间为_. 【导学号：95902220】【解析】函数定义域为(0，)，yx当x(0，)时，令y0，得0x1，仅f(1)0.【答案】(0,13如图334所示，若函数yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则函数yf(x)在区间a，b上的图象可能是_(填序号)图334【解析】yf(x)的导函数在区间a，b上是增函数，则从左到右函数f(x)图象上的点的切线斜率是递增的【答案】4函数yax3x在R上是减函数，则实数a的取值范围是 _. 【导学号：95902221】【解析】因为y3ax21，函数yax3x在R上是减函数，所以y3ax210恒成立，即3ax21恒成立当x0时，3ax21恒成立，此时aR；当x0时，若a恒成立，则a0.综上可得a0.【答案】a05设函数f(x)(m1)x22ln xmx，mR，且f(1)2，求函数的单调区间【解析】由f(1)m1m2m12得m，f(x)x22ln xx(x0)，f(x)x，由f(x)0得x；由f(x)0得：0x，f(x)的单调增区间为，单调减区间为.
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