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专题十二 解三角形【母题原题1】【2018浙江，13】在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c若a=，b=2，A=60，则sin B=_，c=_【答案】 (1). (2). 3【解析】分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.详解：由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.【母题原题2】【2017浙江，14】已知ABC，AB=AC=4，BC=2.点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则BDC的面积是_,cosBDC=_.【答案】 【解析】取BC中点E，由题意： ，ABE中， ，解得或（舍去）综上可得，BCD面积为， 【名师点睛】利用正、余弦定理解决实际问题的一般思路：（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可以利用正弦定理或余弦定理求解；（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步解其他三角形，有时需要设出未知量，从几个三角形中列出方程（组），解方程（组）得出所要的解【母题原题3】【2016浙江，理16】在中，内角所对的边分别为，已知（1）证明： ；（2）若的面积，求角的大小【答案】（1）证明见解析；（2）或.【解析】试题分析：（1）由正弦定理得，进而得，根据三角形内角和定理即可得结论；（2）由得，再根据正弦定理得及正弦的二倍角公式得，进而得讨论得结果.（2）由得，故有，因，得又，所以当时， ；当时， 综上， 或【母题原题4【2016浙江，文16】在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知b+c=2acos B.（）证明：A=2B；（）若cos B=，求cos C的值【答案】（）证明详见解析；（） .【解析】试题分析：本题主要考查三角函数及其变换、正弦和余弦定理等基础知识，同时考查运算求解能力.试题解析：（）由正弦定理得，故，于是，又，故，所以或，因此（舍去）或，所以， .【思路点睛】（）用正弦定理将边转化为角，进而用两角和的正弦公式转化为含有， 的式子，根据角的范围可证；（）先用同角三角函数的基本关系及二倍角公式可得，进而可得和，再用两角和的余弦公式可得【命题意图】1.考查三角公式、正弦定理、余弦定理及其应用；2.考查式子变形运算求解能力、转化与化归思想、数形结合思想以及分析问题解决问题的能力.【命题规律】高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，选择题、填空题的形式往往独立考查正弦定理或余弦定理，解答题往往综合考查定理在确定三角形边角中的应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等【答题模板】解答解三角形大题，一般考虑如下三步：第一步：分析图形特征，选择适用公式.即根据三角形的形状、已知条件，确定选用何种三角公式、定理；第二步：正确运用公式，实施边角转化.根据已有条件，利用三角公式、正弦定理或余弦定理，将问题向边或角实施转化；第三步：运算求解.根据题目要求，进一步求解.【方法总结】1.化简三角函数式的规律一看“角”，这是最重要的一环，通过角之间的差别与联系，把角进行合理地拆分，从而正确使用公式二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“弦切互化”三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”，“遇根式化被开方式为完全平方式”等2. 化简三角函数式注意事项：(1)常用技巧：弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂，“1”的代换等.(2)根式的化简常常需要升幂去根号，在化简过程中注意角的范围，以确定三角函数值的正负.3.正、余弦定理的适用条件“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应采用正弦定理“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应采用余弦定理4.三角形面积公式的应用原则对于面积公式SabsinCacsinBbcsinA，一般是已知哪一个角就使用含哪个角的公式与面积有关的问题，一般要利用正弦定理或余弦定理进行边和角的互化5. 利用正弦定理与余弦定理解题,经常需要转化思想,一种是边转化为角,另一种是角转化为边.具体情况应根据题目给定的表达式进行确定,不管哪个途径,最终转化为角的统一或边的统一,在解题过程中常用到以下规律:(1)分析已知等式中的边角关系,若要把“边”化为“角”,常利用“”,若要把“角”化为“边”,常利用sin A=a2R,sin B=b2R,sin C=c2R,cos C=a2+b2-c22ab等. (2)如果已知等式两边有齐次的边的形式或齐次的角的正弦的形式,可以利用正弦定理进行边角互换.如果已知中含有形如为常数)的代数式,一般向余弦定理靠拢.(3)余弦定理与完全平方式相联系可有:.可联系已知条件,利用方程思想进行求解三角形的边;与重要不等式相联系,由,得,可探求边或角的范围问题.1【2018届腾远（浙江卷）红卷】在ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若asinA=bsinB+(c-b)sinC，则角A的值为（ ）A. 6 B. 4 C. 3 D. 23【答案】C2【2018届辽宁省凌源市上期末】在中，角的对边分别为，且的面积，且，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】 由题意得，三角形的面积，所以， 所以， 由余弦定理得，所以，故选B.3【2018届青海省西宁市二模】在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c，若bsinB-asinA=12asinC，且ABC的面积为a2sinB，则cosB=_【答案】34【解析】分析：先利用三角形的面积公式得到c=2a，再利用正弦定理将边角公式转化为边边关系，进而利用余弦定理进行求解详解：因为ABC的面积为a2sinB，所以12acsinB=a2sinB，即c=2a，由bsinB-asinA=12asinC，得b2-a2=12ac=a2，即b=2a，则cosB=a2+(2a)2-(2a)24a2=344【2018届河南省最后一次模拟】已知ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asinA+bsinB+ 2bsinA=csinC, a=2,b=22，则sinB=_【答案】55【解析】分析：由题意结合正弦定理角化边可得C=34，结合余弦定理求得c的长度，最后利用正弦定理即可求得最终结果.详解：因为asinA+bsinB+2bsin A=csinC,所以a2+b2+2ab=c2.由余弦定理得cosC=a2+b2-c22ab =-22，又0C，所以C=34.c2=a2+b2-2abcos C=22+(22)2-2 222(-22)=20，所以c=25.由正弦定理得csinC=bsinB，即2522=22sinB，解得sinB=55.5【2018届浙江省教育绿色评价联盟5月适应性】在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c已知b=23，c=3，A+3C=，则cosC=_，SABC=_【答案】 33 2【解析】分析：由b=23，c=3，A+3C=，利用正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式可求出结果.详解：由于A+3C=，则A+B+C=A+3C，解得B=2C，由于b=23,c=3，利用正弦定理bsinB=csinC，则bsin2C=csinC，整理得232sinCcosC=3sinC，解得cosC=33，由cosC=a2+b2-c22ab，解得a=1，sinC=63，则SABC=12absinC=1212363=2，故答案为33 ，2.6【2018届浙江省杭州市第二次检测】设ABC内切圆与外接圆的半径分别为r与R.且sinA:sinB:sinC=2:3:4则cosC=_；当BC=1时，ABC的面积等于_【答案】 -14 31516【解析】sinA:sinB:sinC=2:3:4a:b:c=2:3:4令a=2t，b=3t，c=4tcosC=4t2+9t2-16t212t2=-14则sinC=154，BC=1，AC=32SABC=12132154=315167【浙江省嵊州市高三上期末】在中，内角， ， 所对的边分别为， ， ，若， ， ，则_， _.【答案】 3【解析】 ， ，由余弦定理可得，即，得或（舍去），由正弦定理得，得，故答案为(1) ，(2) 3.8【2018届浙江省杭州市学军中学5月模拟】已知ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且满足2cos2A+3sin2A=2,b=1,SABC=32，则A=_，b+csinB+sinC=_【答案】 3. 2.【解析】分析：由已知利用三角函数恒等变换的应用可得sin（2A+6）=12，可求范围：2A+6（6，76），利用正弦函数的图象和性质可求A的值，利用三角形面积公式可求c的值，进而利用余弦定理可求a的值，根据比例的性质及正弦定理即可计算得解详解：2cos2A+3sin2A=2，可得：cos2A+3sin2A=1，sin（2A+6）=12，0A，可得：2A+6（6，76），2A+6=56，可得：A=3b=1，SABC=32=12bcsinA=121c32，c=2，由余弦定理可得：a=b2+c2-2bccosA=3，b+csinB+sinC=asinA=332=2.故答案为：3，29.【2018届宁夏石嘴山市4月一模】在ABC中，内角A,B,C的对边是a,b,c，若sinCsinA=2,b2-a2=32ac，则cosB等于_【答案】1410【2018届北京市丰台区一模】在中， ， ，且，则_【答案】【解析】在中， ， ，且,故 故答案为： .点睛：本题主要考查正弦定理边角互化及余弦定理的应用与特殊角的三角函数，属于简单题. 对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.11.【2018年河南省濮阳市升级考试】在ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边长，已知ABC的周长为3+1，sinA+sinB=3sinC，且ABC的面积为38sinC.（）求边AB的长；（）求角C的余弦值.【答案】()1；()13.【解析】分析：（）由三角形周长得到三边之和，已知等式利用正弦定理化简得到关系式，两式联立求出AB的长即可；（）利用三角形面积公式列出关系式，把已知面积代入求出ab，利用余弦定理表示出cosC.（）由（）知：a+b=3，又SABC=12absinC=38sinC，得ab=34，cosC=a2+b2-c22ab=(a+b)2-2ab-c22ab =(3)2-234-12234=13.12.【2018届宁夏回族自治区银川一中考前训练】已知ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA=3(1-cosA)（1）求A；（2）若a=7，sinB+sinC=13314，求ABC的面积【答案】（1）A=3；（2）12bcsinA=103.【解析】分析：（1）先根据二倍角公式以及同角三角函数关系得tanA2，解得A;（2）根据正弦定理得b+c=13，再根据余弦定理得bc=40，最后根据三角形面积公式得结果.详解： （1）由于sinA=3(1-cosA)，所以2sinA2cosA2=23sin2A2，tanA2=33因为0A，故A=3
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