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第二节导数与函数的单调性A组基础题组1.下列函数在(0,+)上为增函数的是()A.f(x)=sin 2xB.f(x)=xexC.f(x)=x3-xD.f(x)=-x+ln x答案B对于A,易得f(x)=sin 2x的单调递增区间为k-4,k+4(kZ);对于B, f (x)=ex(x+1),当x(0,+)时, f (x)0,函数f(x)=xex在(0,+)上为增函数;对于C, f (x)=3x2-1,令f (x)0,得x33或x0,得0x0, f(x)为增函数;当x(0,2)时, f (x)0, f(x)为增函数.故选C.3.若函数f(x)=x3-tx2+3x在区间1,4上单调递减,则实数t的取值范围是()A.-,518B.(-,3C.518,+D.3,+)答案Cf (x)=3x2-2tx+3,由于f(x)在区间1,4上单调递减,则有f (x)0在1,4恒成立,即3x2-2tx+30在1,4上恒成立,则t32x+1x在1,4上恒成立,易知y=32x+1x在1,4上单调递增,所以t324+14=518.故选C.4.已知函数f(x)=xsin x,xR,则f5, f(1), f-3的大小关系为()A. f-3f(1)f5B. f(1)f-3f5C. f5f(1)f-3D. f-3f5f(1)答案A因为f(x)=xsin x,所以f(-x)=(-x)sin(-x)=xsin x=f(x),所以函数f(x)是偶函数,所以f-3=f3.又x0,3时, f (x)=sin x+xcos x0,所以此时函数是增函数.所以f5f(1)f(1)f5.故选A.5.设函数f(x)=12x2-9ln x在区间a-1,a+1上单调递减,则实数a的取值范围是()A.(1,2B.(4,+)C.(-,2)D.(0,3答案Af(x)=12x2-9ln x,f (x)=x-9x(x0).当x-9x0时,有00且a+13,解得1a2.6.已知函数y=f(x)(xR)的图象如图所示,则不等式xf (x)0的解集为.答案0,122,+)解析由f(x)图象特征可得, f (x)在-,12和2,+)上大于0,在12,2上小于0,所以xf (x)0x0,f (x)0或x0,f (x)00x12或x2,所以xf (x)0的解集为0,122,+).7.已知函数f(x)=ln x+2x,若f(x2+2)0, f(x)单调递增,所以由f(x2+2)f(3x)得x2+23x,所以1x2.8.(2019湖南岳阳模拟)若函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间,则实数a的取值范围是.答案(-,2ln 2-2解析f(x)=x2-ex-ax,f (x)=2x-ex-a,函数f(x)=x2-ex-ax在R上存在单调递增区间,f (x)=2x-ex-a0,即a2x-ex有解,令g(x)=2x-ex,则g(x)=2-ex,令g(x)=0,解得x=ln 2,则当x0,g(x)单调递增,当xln 2时,g(x)0),f (x)=x-5+6x=(x-2)(x-3)x.令f (x)=0,解得x=2或x=3.当0x3时, f (x)0;当2x3时, f (x)0,故f(x)在(0,+)上单调递增;当a1时,由f (x)=ex-a=0,得x=ln a,当0xln a时, f (x)ln a时,f (x)0,f(x)在(0,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.综上,当a1时, f(x)在(0,+)上单调递增;当a1时, f(x)在(0,ln a)上单调递减,在(ln a,+)上单调递增.B组提升题组1. 已知函数f(x)是定义在R上的可导函数, f (x)为其导函数,若对于任意实数x,有f(x)-f (x)0,则()A.ef(2 015)f(2 016)B.ef(2 015)0,所以g(x)g(2 016),即f(2015)e2015f(2016)e2016,所以ef(2 015)f(2 016),故选A.2.函数f(x)的定义域为R. f(-1)=2,对任意xR, f (x)2,则f(x)2x+4的解集为.答案(-1,+)解析设g(x)=f(x)-2x-4,则g(-1)=f(-1)-2(-1)-4=0,g(x)=f (x)-20,则g(x)为增函数.解g(x)0,即g(x)g(-1),得x-1.3.(2019湖南郴州模拟)已知函数f(x)=-12x2+4x-3ln x在区间t,t+1上不单调,求t的取值范围.解析由题意知f (x)=-x+4-3x=-(x-1)(x-3)x,易知函数f(x)的两个极值点为1和3,则只要这两个极值点有一个在区间(t,t+1)内,函数f(x)在区间t,t+1上就不单调.由t1t+1或t3t+1,得0t1或2t0.讨论f(x)的单调性.解析由题意知, f(x)的定义域是(0,+),f (x)=1+2x2-ax=x2-ax+2x2.设g(x)=x2-ax+2,x2-ax+2=0的判别式=a2-8.当0,即0a0都有f (x)0.此时f(x)是(0,+)上的单调递增函数.当=0,即a=22时, f (x)0.此时f(x)是(0,+)上的单调递增函数.当0,即a22时,方程g(x)=0有两个不同的实根,分别为x1=a-a2-82,x2=a+a2-82,且0x1x2.f(x), f (x)随x的变化情况如下表:x(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+)f (x)+0-0+f(x)极大值极小值此时f(x)在0,a-a2-82上单调递增,在a-a2-82,a+a2-82上单调递减,在a+a2-82,+上单调递增.
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