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,第,6,章 线性控制系统的状态空间模型与状态空间分析,6.1 引言,6.2 状态空间模型,6.3 线性定常系统的时间响应和状态转移矩阵,6.4 系统的能控性和能观测性,6.5 状态反响与极点配置,6.6 状态估计与状态观测器,6.1 引言,回忆经典控制理论,6.1.2 引入状态空间分析法,6.1,引言,经典控制理论的数学根底：拉普拉斯变换,根本数学模型：线性定常高阶微分方程和传递函数,主要分析方法：时域法、根轨迹法和频域法,分析的主要内容：系统的稳定性、瞬态特性和稳态特性,显著的特点：利用开环传递函数分析单输入-单输出线性定常系统(SISO)的闭环系统性能，利用作图法分析与设计控制系统,显著缺点：只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，难以有效处理多输入-多输出系统和线性时变系统；进行综合时采用的是试凑法，比方PID控制，超前滞后控制，无一不是试探完成的。以满足性能指标为准那么，不一定构成最正确设计。,6.1.1 回忆经典控制理论,例：如下图系统传递函数为:,从传递函数的结果看，它是稳定的。但当初始条件不为零时，系统内部变量x的运动过程为,这里x0是x(t)在t=0时的初值。由解可见，系统的内部变量x的运动过程含有 et 指数增长项，经过一段时间后，这个系统将到达饱和或失效。因此系统不能正常工作。,如果系统的内部结构未知，仅从系统的外部描述(即传递函数)中是看不出上述现象的。因此系统的输入-输出模型不能完全刻画一个系统的动态行为，即传递函数是对系统的不完全描述。,6.1.1 回忆经典制理论,上述例子说明系统的内部特性比起由传递函数描述的外部特性要复杂的多，系统的输入-输出模型没有包含系统的全部信息，它不能完整地描述一个系统。,再看另一个模型如图:,从系统的外部特性看，该系统的传递函数与上一个系统的传递函数是一样的。但事实上这是两个不同的系统。在以后的分析中可以看到，这两个系统是不等价的。,前一个系统是,能控不能观,的，后一个是,能观不能控,的。,6.1.1 回忆经典制理论,现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入状态输出诸变量间的因果关系，不仅反映了系统的输入输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入单输出系统又适用于多输入多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。,在现代控制理论的开展中，线性系统理论首先得到研究和开展，已形成较为完整成熟的理论。现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等均以线性系统理论为根底；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。,6.1.2 引入状态空间分析法,在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以只介绍,线性系统的状态空间法,。,状态空间法把输入、输出之间的信息传递分为两段来描述,由输入引起系统内部变量,(,称为状态变量,),的变化。,由系统内部变量引起输出变量的变化。,现代控制理论本质上是时域分析方法。,这种方法深入到系统内部，既描述内部变量又描述外部变量。所以能完整地描述一个系统。,6.1.2 引入状态空间分析法,6.2,状态空间模型,根本概念,6.2.2 状态空间表达式的建立,6.2.3 传递函数与状态空间表达式之间的关系,6.2.4 线性定常系统的线性变换,6.2.5 组合系统的状态空间表达式,状态：,是,完全描述系统时域行为,的,一个最小变量组,。,完全描述系统时域行为,说明只要知道这组变量在,t,=,t,0,的初始值和,t,t,0,时的输入,u,(,t,),，就能完全确定系统在,t,t,0,任何时刻的行为。,最小变量组,是指变量组中的变量相互独立。所以状态是一个不多一个不少正好完全描述系统运动状态的最小变量组。这里的系统可以是物理的或非物理的。,状态变量：组成最小变量组的变量。,状态的选取不具有唯一性，同一个系统可以有多种不同的状态选取方法。状态变量也不一定在物理上可量测，有时只具有数学意义，而无任何物理意义。但在具体工程问题中，应尽可能选取容易测量的量作为状态变量，以便实现状态的前馈和反响等设计要求。常取储能元件的特征变量作为状态变量。,6.2.1 根本概念,或：,状态空间：,以状态变量 为坐标轴所构成的,n,维空间。在某一特定时刻 ，状态向量 是状态空间的一个点。,状态轨迹：,以 为起点，随着时间的推移， 在状态空间绘出的一条轨迹。,状态方程：,描述状态变量和输入之间关系的一阶微分方程组，称为状态方程。它表征了系统由输入引起的内部状态的变化。,输出方程：,描述系统输出变量与系统状态变量和输入变量之间关系的代数方程。,状态向量：,把描述系统状态的,n,个状态变量 看作向量 的分量，则 称为状态向量。记作：,6.2.1 根本概念,例：RLC网络的状态变量描述。 可选择iL和vc作为状态变量,列回路方程,简写为：,在节点处列节点电流方程,代入状态变量，写成矩阵形式，整理得,输出方程为,6.2.1 根本概念,i,L,v,c,动态方程或状态空间表达式：,将状态方程和输出方程联立，就构成动态方程或状态空间表达式。,值得注意的几个问题：,1状态变量的性质,状态变量的选择不是唯一的，但个数是唯一的。原因：状态向量的满秩线性变换后依然可以作为新的状态向量。若满秩阵为 ，则有 ， 的分量依然是线性无关的。,状态变量的个数等于系统独立的储能元件的个数。,状态变量可以完整地描述系统的时域行为。,6.2.1 根本概念,说明：对于性质1，在上例中，另取一组状态变量得：,，则有：,对于性质2，在上例中，有两个独立的储能元件L，C，故状态变量的个数为2。其微分方程是二阶的。,对于性质3，前面已说明。,6.2.1 根本概念,i,L,v,c,动态方程的一般形式,式中：,表示,n,维状态列向量。,为 维方阵，描述系统内部状态间的关系，称为系统矩阵；,为 维矩阵，描述输入与状态间的关系，称为输入矩阵；,表示,m,维输出列向量。,表示,r,维输入列向量。,6.2.1 根本概念,为 维矩阵，描述系统内部状态与输出间的关系，称为输出矩阵；,为 维矩阵，描述输入与输出间的关系，称为前馈矩阵；,上述形式的动态方程称为n阶维动态方程。,由于 直接影响输出 ，不影响系统的动态过程，所以，用状态变量模型来分析系统的动态行为时，常令 ，这样也不失一般性。,6.2.1 根本概念,假设上述A、B、C、D矩阵的元素是常数时是线性定常连续系统。假设A、B、C、D矩阵的元素是时间的函数，那么是线性时变连续系统。对线性定常连续系统,可简记为A、B、C、D或,S,=(A、B、C、D)。,6.2.1 根本概念,MIMO,系统：,线性系统动态方程的方块图,SISO,系统：,6.2.1 根本概念,6.2.2 状态空间表达式的建立,6.2.2 状态空间表达式的建立,6.2.2.1 从系统的机理出发建立动态方程,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,6.2.2.3 由结构图求动态方程,6.2.2.4 由微分方程写动态方程,例：试列出在外力f作用下，以质量 的位移 为输出,的动态方程。,解：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：,质量块受力图如下：,6.2.2.1 从系统的机理出发建立动态方程,质量块受力图如下：,则有：,将所选的状态变量,代入上式并整理出状态方程得：,6.2.2.1 从系统的机理出发建立动态方程,输出方程：,状态方程：,6.2.2.1 从系统的机理出发建立动态方程,写成矩阵形式,：,6.2.2.1 从系统的机理出发建立动态方程,系统传递函数求其相应的状态空间表达式，称为“实现问题。实现问题是现代控制理论中一个重要问题。这是因为：,第一，许多设备的传递函数往往可由实验获得，为了用状态空间方法研究系统，就必须把传递函数化为状态空间表达式,第二，对复杂系统的分析和设计往往要利用仿真技术，将传递函数化为状态空间描述后再进行仿真是仿真的方法之一；,第三，从传递函数中一旦获得了状态空间表达式，便可以采用运算放大器等电路构造一个具有该传递函数的实际系统，这也是“实现这个取名的原因所在。,并不是任意一个传递函数G(s)都可以找到其实现，它必须满足是物理可实现条件。可实现的充分必要条件是G(s)必须是s的(严格)真有理分式(nm为严格真有理分式， nm为真有理分式),6.2.2.2 由传递函数写动态方程,需要指出同一个传递函数的实现不是唯一的。一个可以实现的传递函数能得到无限多的状态空间表达式，这有两个原因,第一，对同一个系统状态变量的选择是不唯一的，中选择不同的状态变量时其状态空间表达式也随之不同；,第二，对同一传递函数，其实现的维数不同，也使实现不同。,对单变量系统，如果传递函数为不可约的(严格)真有理分式，即没有零极点相消现象，那么n阶系统必有n个一阶微分方程与之等效。这时在实现中所得到的状态方程的维数是最小的，其维数等于传递函数的阶次，通常把这种没有零极点相消的传递函数的实现称为“最小实现。,前面讲过系统的传递函数不能完全反映系统的内部特性，那么根据传递函数建立的动态方程所反映的系统内部是否和原系统一样呢？答案是不肯定的。,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,传递函数的形式为有理分式时，用直接分解法,。,式中： ，都是实数。,将分子、分母同除 得：,上式分母可写成：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,回忆信号流图中的梅逊公式：,假设：,1 所有的反响回路互相接触,2 所有的前向通路与反响回路都互相接触，,那么：,梅逊公式可简化为：,式中， 为个前向通路的增益， 为各反馈回路增益。,我们知道，同一系统可以有不同的信号流图。现在考虑能否画出符合上述,两个接触,的信号流图。,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,例：系统传递函数为：,把分子的四项看作四个前向通路的增益，把分母中除1以外的四项看成是四个反响通路的增益，那么可画出两个接触的信号流图。,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,四阶系统，四个积分器：,一般取积分器后的信号为状态变量,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,输出：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,写成矩阵形式：,这种形式的模型称为,相变量形式,的状态变量模型。,特点：,A阵，对角线上方元素为1，最后一行元素为分母负系数的反向罗列，其他元素为0；B阵，最后一行元素为1，其他元素为0。,相变量,：如果选择输出及其各阶导数作为状态变量称为相变量,严格讲上式中状态变量并不满足相变量要求，但仍称其为相变量形式。特点是除 外，其余方程中状态的导数仅与下一状态有关,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,例：假设传递函数分子和分母同阶，如系统传递函数为：,把分子的五项看作五个前向通路的增益，把分母中除1以外的四项看成是四个反响通路的增益，那么可画出两个接触的信号流图如以下图。四阶系统，四个积分器：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,由图可见每个回路是接触的，与每条前向通路也是接触的。满足传递函数 。取状态变量如图（一般取积分器后的信号为状态变量）：,输出：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,写成矩阵形式：,这种形式的模型也称为,相变量形式,的状态变量模型。,以后会讲到,相变量形式,也称为,能控标准型,。,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,例：假设传递函数分子和分母同阶，也可做如下处理：,此时写出的方程与前相同,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,还有一种称为输入前馈形式的状态变量模型。上例的信号流图还可以画成下图形式(令 ，分子比分母至少低一阶)：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,取状态变量 如图。有：,写成矩阵形式：,以后会讲到,输入前馈形式,也称为,能观测标准型,。,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,假设分子分母同阶，那么要化分子比分母低一阶。,例：,即：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,例： ，分别写出相变量、输入,前馈形式的动态方程。,解：,相变量形式信号流图及状态变量如以下图，状态方程如下：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,写成矩阵形式：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,输入前馈形式的信号流图及状态变量如以下图：,即：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,传递函数的形式为零极点形式时：,串联形式,：,可以得到串联形式和解耦形式的状态变量模型。,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,全系统信号流图为：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,定义状态变量如上图，得：,写成矩阵形式：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,解耦形式：（,对角阵形式）,例：上例中，,式中：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,信号流图为：,或：,有：,及：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,写成矩阵形式：,或：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,由传递函数写特殊形式的动态方程：,引入中间变量 ，有：,可控标准型：,设,令：,其对应的微分方程为：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,选择状态变量如下：,于是有：,输出方程：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,动态方程写成矩阵形式得：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,令：,定义：凡具有,A,=,A,c,，,b,=,b,c,形式的动态方程称为,可控标准型,。,可见：,相变量型的就是可控标准型,。,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,例：试化 为可控标准型。,解：分子、分母同除以2得：,可得：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,可观测标准型：,分子比分母低一阶以上，若分子分母同阶，应处理成分子比分母低一阶，这时，输出方程中的 ，表示输出含有与输入直接关系的项。,对应的微分方程为：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,选择状态变量如下：,状态方程为：,输出方程为：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,定义：凡满足,A,=,A,0,，,C,=,C,0,的动态方程称为可观测标准型。,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,例：试化 为可观测标准型。,解：直接套用公式得：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,对角标准型约当标准型：,若 ，且分子比分母低一阶， 互异。,对角标准型也称为解耦标准型，可用信号流图求解(见前述)。,另外的方法：,式中：,选择状态方程为：,则有：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,拉氏反变换为：,写成矩阵形式为：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,例：试化 为对角标准型。,解：,那么：,若 有重根，也可由同样的方法求，只是选择状态变量时不同，以后我们会看到，它不能化为对角型，只能化为约当标准型。,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,极点有重根,如：,其中：,对于有重根情况，也可用求局部分式的方法求状态空间模型，但它一般不能化为对角型，只能化为约当标准型。,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,例：,解：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,画信号流图如下：,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,状态方程为：,输出方程为：,矩阵形式为：,当有重极点时，一般可化为约当标准形。,6.2.2.2 由传递函数写动态方程,例：结构图如下：,6.2.2.3 由结构图求动态方程,图中有三个积分环节，三阶系统，取三个状态变量如上图：,那么有：,写成矩阵形式：,输出：,6.2.2.3 由结构图求动态方程,例：含有零点的系统，如下：,-,有一个零点：s=-z。将具有零点的环节化简得 ：,6.2.2.3 由结构图求动态方程,取状态变量如上图。则状态方程为：,输出方程为：,6.2.2.3 由结构图求动态方程,写成矩阵形式：,6.2.2.3 由结构图求动态方程,例：一阶方程,画出摸拟结构图：,选择状态变量,输出变量,6.2.2.4 由微分方程写动态方程,例：,画出摸拟结构图：,选择状态变量如下：,输出为：,动态方程为：,6.2.2.4 由微分方程写动态方程,写成矩阵形式：,6.2.2.4 由微分方程写动态方程,假设微分方程为一般形式,可求出与之对应的传递函数，利用前面介绍的直接分解法得到其状态空间表达式。,6.2.2.4 由微分方程写动态方程,小结,由系统的机理列写动态方程：,物理方程的罗列，状态变量的选择任意,由传递函数求动态方程：,相变量形式可控标准型，输入前馈形式，可观测标准型，对角阵标准型,由结构图求动态方程：,将结构图等效为比例环节和积分环节的形式，选择积分环节后的变量为状态变量,由微分方程写动态方程：,画出模拟结构图，选择积分器后的变量为状态变量,6.2.3 传递函数与状态空间表达式之间的关系,6.2.3,传递函数与状态空间表达式之间的关系,设系统的动态方程为：,式中，,在初始条件 时，上式两边求拉氏变换得：,令：,式中，,G,(,s,)是传递函数矩阵，,m,r,维矩阵。,6.2.3,传递函数与状态空间表达式之间的关系,式中,，,表示为第,i,个输出对第,j,个输入的传递函数。,6.2.3,传递函数与状态空间表达式之间的关系,可见 中的分母都是一样的，不同的仅为分子。 称为系统的特征方程。,由于 ，而 是 的,代数余子式的转置,，称为,伴随矩阵,。,假设 ，表示每一个输出与各个输入都有相互关系，这种关系称为耦合。假设 ，表示第i个输出只与第I,个输入有关，这种形式称为解耦形式。,6.2.3,传递函数与状态空间表达式之间的关系,例：已知系统的动态方程如下，试求传递函数矩阵。,解：,可见，对于单输入、单输出系统，,G,(,s,) 是标量函数。,6.2.3,传递函数与状态空间表达式之间的关系,矩阵求逆回忆：非奇异方阵 的逆为：,令：,则：,6.2.3,传递函数与状态空间表达式之间的关系,的代数余子式,求,6.2.3,传递函数与状态空间表达式之间的关系,6.2.3,传递函数与状态空间表达式之间的关系,小结,多维传递函数,传递函数阵的概念,传递函数阵的性质,6.2.3,传递函数与状态空间表达式之间的关系,动态方程的线性变换,6.2.4.1,状态变量模型的非唯一性,系统的特征值和特征向量,动态方程的约当标准型,对于同一系统，由于状态变量选择的不同，可以有不同的状态空间模型。即状态变量和动态方程都不是唯一的。,但是，对于同一系统的不同的状态变量组，包含了同样的有关系统的信息。,因此各组状态变量之间存在着确定的关系，这种关系可以通过状态空间中基底的非奇异线性变换来得到。,基底：,若线性空间,X,中有,n(n1),个线性无关的元素,e,1,e,2,e,n,，,使得对任意向量,x,X，均可用,e,i,(,i,=1,2n)线性表示,则称,e,1,e,2,e,n,为,X,的一组基底，且,x,i,为,x,关于基底,e,i,(,i,=1,2n),的坐标。,基底实质上是这个向量空间的最大线性无关向量组。它给定了向量空间的坐标系(即方向和单位)。,6.2.4.1 状态变量模型的非唯一性,假设选择,这组基称为标准基，由这组基张成的空间称为欧氏空间。,那么向量,例：三维空间，取标准基为,6.2.4.1 状态变量模型的非唯一性,这里x称为向量,x,关于基底,e,1,e,2,e,n,的坐标。,假设把坐标系旋转一个角度，在新的坐标系中，上述向量x可写成：,写成一般形式,这里 称为向量,x,关于基底,的坐标。,为了导出,x,与 的关系，要先确定两组基之间的关系。,新基底中的 向量可看作是老基底,e,1,e,2,e,n,中的特殊向量。,6.2.4.1 状态变量模型的非唯一性, ,6.2.4.1 状态变量模型的非唯一性,这里P阵是非奇异的，所谓非奇异是指,所以一个向量关于老基底的表示(坐标)与关于新基底的表示(坐标)之间的关系是一个非奇异线性变换。,6.2.4.1 状态变量模型的非唯一性,对于同一系统，由于状态变量选择的不同，可以有不同的状态空间模型。这不同的状态变量之间的关系是满足非奇异线性变换的。,对于线性定常系统,对状态变量,x,进行非奇异线性 可得 代入得,整理得,6.2.4.1 状态变量模型的非唯一性,在非奇异线性变换过程中，矩阵D不受变换的影响，这是因为D所描述的是系统输入对输出的直接传输关系，它与系统的内部状态无关。,因为非奇异线性变换矩阵P的选择是不唯一的，所以可以有无数个状态变量及其相应的动态方程，也就是说描述一个系统的动态方程是不唯一的。但它们都是描述同一个系统的动态行为，它们是代数等价的。,中选择不同的状态变量去描述系统的行为时，得到的动态方程是不同的。但这只不过是数学描述形式上的不同，系统的的本质及其根本性质不会因为描述形式的不同而有所不同。,可以证明系统的特征值、系统的传递函数不因非奇异线性变换而改变。,6.2.4.1 状态变量模型的非唯一性,定义：,若A是一个nn维的矩阵，若在向量空间存在一个非零向量,v,使得,成立，则称,l,为A的特征值，任何满足上式的非零向量,v,称为A的对应于特征值,l,的特征向量。,即系统的特征值,l,就是方程det(,l,IA)=0的根。该方程称为A阵的特征方程，,根据上述定义，可以求出A的特征值，将上式改写为,上式是一个齐次线性方程，要使这个齐次线性方程有非零解，其必要和充分条件是,系统的特征值和特征向量,行列式det(,l,IA)的展开式,称为A阵的特征多项式。,注意：, nn的方阵A有n个特征值。对于实际系统而言A阵为实阵，其n个特征值或为实数或为共轭复数。,若已知,v,是A的特征向量，则,kv,也是A的特征向量，即,当,l,是互异时，对应一个,l,值，可以有无穷多个特征向量，但只有一个是独立的。对A而言有无穷多个特征向量，但只有n个线性无关的特征向量。,特征向量乘以非零常数还是特征向量，因此可选取最简单形式。,系统的特征值和特征向量,对于以下矩阵,的特征多项式为,可见上述矩阵A的特征多项式的系数与矩阵A的最后一行元素有对应关系，数学上称上述矩阵A为相伴矩阵或友矩阵。,系统的特征值和特征向量,系统的不变量，特征值的不变性，传递函数的不变性,特征值在非奇异线性变换前后不变。,证：,系统的特征值和特征向量,变换前,变换后,特征多项式的系数,a,n,-1,，,a,n,-2,， ，,a,1,，,a,0,称为系统的不变量。,传递函数在非奇异线性变换前后不变。,变换前,变换后,证：,根据矩阵求逆规则,系统的特征值和特征向量,说明： ，那么：,动态方程的约当标准型对角型,假设 有 个互异的特征根 ，那么 必可化为对角阵 ，即 ，对角线元素为特征根的值。其转化阵为,，其中 为 对应的特征向量。,我们知道，若 ，则 是 对应的特征向量。所以，转换矩阵 是由 的特征向量组成的。,例： ，求特征值和特征向量。,解： 求特征值,l, 求,v,i,，对应,l,1,=1，代入 ,l,I-A,v,1,=0 得,动态方程的约当标准型对角型,得,由得,动态方程的约当标准型对角型,例：将 转换为对角阵，并求转换矩阵。,解：在前例中，已经求出了 A 的特征值为： 其对应的特征向量分别为： 所以转换阵为：,即有：,动态方程的约当标准型对角型,特例：假设方阵A是可控标准型，且特征根互异，那么转换阵是范得蒙矩阵。,动态方程的约当标准型对角型,复习线性代数的几个概念,矩阵的秩：,矩阵中不等于零的子式的最大阶数。对矩阵A而言，其秩用rankA表示。,齐次方程Ax=0的线性无关的解与A矩阵的秩有关：假设A为nn矩阵，而rankA=r，那么x有n-r组线性无关的解。,动态方程的约当标准型对角型,假设rankA=2，那么意味着只有两个方程独立，可把x3,x4,x5看作是数，即可解得,即 Ax=0,假设令x3,x4,x5取三组线性无关的值，如最简的三组线性无关值为,动态方程的约当标准型对角型,于是有n-r=3组线性无关的解。,动态方程的约当标准型对角型,假设A有相同的特征根时，分两种情况：,m个相同的特征值对应的特征向量完备，即m个相同的特征值对应m个独立的特征向量。此时相当于rank(lI-A)=n-m，这种情况较少见。转换阵P的求法同上。,即：,前面m项是对应m重特征根的m个互相独立的特征向量；后面n-m个是互异特征根的特征向量。这时,A,阵可转换为如下形式的约当标准型。,动态方程的约当标准型对角型,例： ， 转换为对角阵，并求转换矩阵。,解:先求特征根 |,l,I-A|=0,解得,对应,l,=1，求特征向量，令,l,1,I-Av,1,=0,可得v31=0，v11、v21任意。这是因为ranklI-A=1，那么有n-r = n-(n-m) = m =2个独立的特征向量。,这两个特征向量可取为,动态方程的约当标准型对角型,于是,对应,l,=2，求特征向量，令,l,3,I-Av,3,=0,可得v23=0，v13=-v33。此时ranklI-A=2,那么有n-(n-1)=1个独立的特征向量。,可取为,变换后,动态方程的约当标准型对角型,m个相同的特征值对应的特征向量不完备，即m个相同的特征值不存在m个独立的特征向量。这时不能将之化为对角阵而只能转换为约当阵。设有m个重根l1,约当块：,形如 的矩阵称为约当块。,由假设干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵。,动态方程的约当标准型对角型,动态方程的约当标准型对角型,式中 是约当块的块数，它等于A的独立特征向量数。即对于每一个约当块，有且只有一个线性独立的特征向量。设每个约当块的阶数为m,i,，则有,应当指出的是每个约当块的阶数m,i,，并非一定等于该特征值的重数，只有对应该特征值的独立特征向量个数为1时，即rank(l,i,I-A) =n-1时，其约当块的阶数才等于该特征值的重数。,所以，对于A，一般情况为 (n-m)rank(lI-A)(n-1)，那么确定其约当矩阵的形式也不是一件容易的事。后面只讨论一种最简单的情况，即每个m重特征值只有一个独立特征向量。也就是每个约当块的阶数等于特征值的重数，此时 rank(lI-A) = n-1。,例如，某特征值li的重数为4，而对应于该特征值的独立特征向量个数为2，那么对于该特征值将有两个约当块，可有如下情况,假设特征值li的重数都为1，约当矩阵变为对角线矩阵。所以对角线矩阵是约当矩阵的一种特殊情况。而约当矩阵是相应于系统具有重特征值情况下状态变量间可能的最简耦合形式。此时各状态变量至多和下一序号的状态变量发生联系。,动态方程的约当标准型对角型,m个相同的特征值对应的特征向量不完备，即m个相同的特征值不存在m个独立的特征向量。这时不能将之化为对角阵而只能转换为约当阵。设有m个重根l1,动态方程的约当标准型对角型,mm,约当块,(n-m)(n-m),子矩阵,P阵的求法分为两块，一块是互异部分，算法同上；另一块是重根部分。设,的求法 ：,由此可求得：,上式中， 为重根对应的特征向量； 为互异特征根对应的特征向量。,动态方程的约当标准型对角型,例：试将以下状态方程化为约当标准型：,求l,1,=1时 (,l,I ,A)的秩,解：求特征值：,动态方程的约当标准型对角型,求对应l,1,=1时(二重根)的特征向量为：,动态方程的约当标准型对角型,求对应l,1,=2时的特征向量为：,求对应l,1,=1时的广义特征向量为：,动态方程的约当标准型对角型,小 结,状态变量模型的非唯一性,特征根和特征向量,动态方程的约当标准型对角标准型,组合系统的状态空间表达式 1. 子系统并联 2. 子系统串联 3. 子系统反响连接,6.2.5,组合系统的状态空间表达式,设子系统为：,子系统为：,系统的组合有并联、串联和反响等三种形式。,6.2.5,组合系统的状态空间表达式, 子系统并联时：,关系：,则有：,6.2.5,组合系统的状态空间表达式,传递函数阵为：,为分块对角阵，由性质知：,写成矩阵形式：,6.2.5,组合系统的状态空间表达式,结论：,当两系统并联时，组合系统的传递函数阵等于系统传递,函数之和， 。,也可以这样理解：,两边同除以u(s),6.2.5,组合系统的状态空间表达式,2 子系统串联：,关系：,有：,6.2.5,组合系统的状态空间表达式,写成矩阵形式：,传递函数阵为：,6.2.5,组合系统的状态空间表达式,结论,：,当两系统串联时，组合系统的传递函数阵等于后一子系统的传递函数乘以前一子系统的传递函数阵。,6.2.5,组合系统的状态空间表达式,子系统反响连接：,，关系：,有：,(为简化起见，令 )，请注意：矩阵的维数关系， 与 ， 与 应同维，才能构成反馈。,有：,6.2.5,组合系统的状态空间表达式,写成矩阵形式：,对应的传递函数阵为：,化简后得：,或：,6.2.5,组合系统的状态空间表达式,小结,子系统的串联,子系统的并联,子系统的反响联接,6.2.5,组合系统的状态空间表达式,6.3,线性定常系统的时间响应和 状态转移矩阵,状态方程的求解,状态转移矩阵的性质,矩阵指数函数的计算,给定初值,x,(0)和输入,u,(,t,)，要求确定状态变量的未来的变化。即求出,x,(,t,)。,下面将利用状态空间法对线性系统进行定量和定性的分析。,定量分析,给出系统对给定输入响应的解析表达式，讨论状态转移矩阵的性质和计算方法。,定性分析,讨论线性系统的能控性和能观测性及稳定性。,线性定常连续系统的状态方程为：,6.3.1 状态方程的求解,为什么只求出状态,x,?,6.3.1 状态方程的求解,这是因为只要求出状态x，并输入u，可由y=Cx+Du求出y。,状态方程是一阶微分方程组，它的解法与标量一阶微分方程的解法类似。因此先考虑标量一阶微分方程的解。,做拉氏变换得：,整理得：,做拉氏反变换得：,这里用到了拉氏反变换的卷积性质: 若,式中，,6.3.1 状态方程的求解,同样，对于状态方程，两边求拉氏变换得：,两边左乘 得：,参考标量函数：,上式右边是等比级数之和(初值= ， )。其和为,我们也可以将 写成上述形式：,6.3.1 状态方程的求解,验证,可见(,s,I,A,),1,一定存在。即不管A奇异与否， (,s,I,A,)是非奇异的。以后将(,s,I,A,),1,称为预解矩阵。,对(,s,I,A,),1,求拉氏反变换，得,e,A,t,称为矩阵指数函数。它是nn维方阵。,6.3.1 状态方程的求解,状态方程的解,利用拉氏变换的卷积性质，得,6.3.1 状态方程的求解,它由两部分组成：一部分是由初始状态,x,(0)引起的自由解，也叫零输入解，即是齐次方程 的解， 。,另一局部是由输入u(t)引起的强迫解。也叫零状态解，即x(0)=0时的解。,6.3.1 状态方程的求解,假设初始时刻为t0，x(t)表达式如下：,上式称为状态转移方程，式中,F,(,t,)称为状态转移矩阵，在线性定常系统中,状态转移矩阵=矩阵指数函数,。它是nn维方阵。,或,此时状态转移矩阵为：,在线性定常系统中，令 ，则状态方程的解可写为,上式之所以称为状态转移方程，是因为该式可把,t,0,时刻的状态转移到,t,时刻的状态。此中起主要作用的是状态转移矩阵。,F(tt0)说明了系统从初始状态 x(t0) 到任意状态 x(t) 的转移特征。它只取决于系统矩阵A而与输入u(t)无关。,对齐次方程 ，当 的解为：,证明：,1. 或,6.3.2 状态转移矩阵的性质,6.3.2 状态转移矩阵的性质,证明：,对于齐次方程 ，有：,对上式求导得,代入微分方程, 或,6.3.2 状态转移矩阵的性质,代入解,由此性质可以看出：状态转移矩阵F可求A，方法为：,该式说明,F,(t)满足自身的齐次微分方程。,以上两个性质很重要，可用以判断是否为状态转移矩阵，并可求系统矩阵。,这说明状态从 t0 转移到 t 可分为两段进行，即先从t0 转移到 t1 ，再从 t1 转移到 t 。,证明：,6.3.2 状态转移矩阵的性质,同样，,矩阵指数e,A,t,总是非奇异的，即其逆存在，且,证明：,也可以这样证,其物理意义是：从,t,0,t,是经过,F,(,t,t,0,)的转移，而从,t,t,0,是经过,F,(,t,0,t,)的转移。这说明状态的转移是可逆的。,6.3.2 状态转移矩阵的性质,对方阵,A,nn,，,B,nn,当,AB,=,BA,时，有,e,(,A+B),t,=e,A,t,e,B,t,证明：根据定义式,显然，只有当,AB,=,BA,时，有,e,(,A+B),t,=e,A,t,e,B,t,6.3.2 状态转移矩阵的性质,假设有n阶方阵A，及n阶非奇异阵P，且P-1AP=B，那么：,此性质说明：假设求eAt较复杂，而求eBt简单时，可用此法。,比方可以令B为对角线矩阵或约当矩阵。,对于任意的nn方阵,A,，恒有,e,A,t,e,A,t,=,e,A,(,t,+,t,),，式中，,t,和,t,为标量。,注意，矩阵指数函数eAt和状态转移矩阵F(t)是从不同角度提出的概念。矩阵指数函数eAt是数学函数的名称，而状态转移矩阵F(t)那么是一个满足矩阵微分方程的解。它表征了初始状态x(0)对某个时刻t的转移关系。对于线性定常连续系统，其状态转移矩阵F(t)的数学表达式就是矩阵指数函数eAt。,6.3.2 状态转移矩阵的性质,1直接级数求和法： ，适用于数值运算。,拉氏变换法：,例：若 ，求：,解：,6.3.3 矩阵指数函数的计算,6.3.3 矩阵指数函数的计算,标准型法特征值，特征向量法：,这个方法是根据 的性质而得到的：若 ，则：,，可以分为两步求解：,b如何求解 或 。,a取适当的变换阵 ，使 （对角阵）或 （约当阵）。当 有互异特征根时， 可化为 ；当 有相同特征根时， 只能化为 ；关于 的求法已在上面介绍过了。,下面根据二种情况分别说明：,A有互异特征根，则 ，若对角阵为：,6.3.3 矩阵指数函数的计算,证明：,6.3.3 矩阵指数函数的计算,6.3.3 矩阵指数函数的计算, 有全重特征根，则 ，若约当阵为：,6.3.3 矩阵指数函数的计算,当 中有m个重特征根 ，n-m个互异根 时， 可化为：,6.3.3 矩阵指数函数的计算,式中：,则：,中有 个重根 ， 个重根 ，其余互异根 时。,6.3.3 矩阵指数函数的计算,依次类推。,例：设 ，求,解： 的特征方程：,解得：,同理，当 时，求得：,转换阵：,求特征向量：当 时，有 ， 为对应的特征向量,6.3.3 矩阵指数函数的计算,那么,6.3.3 矩阵指数函数的计算,例：设 ，求,所以,P,不能选范德蒙阵。,解：A是可控标准型，假设其特征根互异，那么转换成对角阵的非奇异线性变换阵P是范德蒙矩阵。我们先求特征根。,6.3.3 矩阵指数函数的计算,求 时的特征向量：设为,同理，由 ，得： 。,求 时的特征向量： ，得,6.3.3 矩阵指数函数的计算,6.3.3 矩阵指数函数的计算,凯莱哈密尔顿法待定系数法：,凯莱哈密尔顿定理：设,n,阶方阵,A,的特征多项式为：,6.3.3 矩阵指数函数的计算,当,A,有互异的特征根,l,1,，,l,2,，,l,n,时，有：,上述定理可由凯莱-哈密尔顿定理证明参教材p361。,6.3.3 矩阵指数函数的计算,当A有n重特征根时,6.3.3 矩阵指数函数的计算,例： 设 ，求 。,解：,6.3.3 矩阵指数函数的计算,6.3.3 矩阵指数函数的计算,信号流图法：,为了防止矩阵求逆的运算，可以根据状态方程，画出信号流图，再用梅逊公式求出矩阵指数F(t)。,上式是以,x,(0)为输入，,X,(,s,)为输出的表达式。因此，以齐次状态方程画出信号流图，并在图上给出状态的初始值。然后根据梅森增益公式分别求出第j个状态的初始值与第i个状态之间的传递函数,f,ij,(,s,)，再利用拉氏反变换求出矩阵指数函数,e,A,t,。,对于输入为零的齐次状态方程,用拉氏变换法可得,那么对于以初始条件为输入的信号流图如何画？,例如设传函为,1,1,1,1,上图是把输入和输出略去后的图，由此可求出,构成,再求,6.3.3 矩阵指数函数的计算,6.3.3 矩阵指数函数的计算,例： 已知 求矩阵指数函数,解： 由A可得齐次微分方程,1,1,利用梅森增益公式，可求出,1,1,6.3.3 矩阵指数函数的计算,1,1,6.3.3 矩阵指数函数的计算,6.3.3 矩阵指数函数的计算,小 结,时间响应状态转移方程,状态转移矩阵及其性质,状态转移矩阵矩阵指数的运算,6.4,系统的能控性和能观测性,6.4.1 系统的能控性和能观测性,6.4.2 系统的能控性,6.4.3,系统的能观测性,6.4.4 对偶原理,6.4.5 能控性、能观测性与传递函数的关系,现代控制理论中用状态方程和输出方程描述系统，输入和输出构成系统的外部变量，而状态为系统的内部变量。即用状态方程描述输入对内部状态的影响，输出方程表示状态对输出量的影响。状态是被控制量，输出量只是状态的线性组合。,经典控制理论中用传递函数描述,系统的输入输出特性，输出量即被控量，只要系统是因果系统并且是稳定的，输出量便可以受控，且输出量总是可以被测量的，因而不需提出能控性及能观性概念。,这就存在着系统内的所有状态是否可受输入影响和是否可由输出反映的问题，这就是能控性和能观测性问题。,系统的能控性和能观测性概念,例：桥式电路如下图， 可列方程如下：,6.4.1 系统的能控性和能观测性概念,i,L,i,1,i,2,i,3,i,4,写成矩阵形式：,6.4.1 系统的能控性和能观测性概念,i,L,电桥平衡时,同理，当电桥平衡时,6.4.1 系统的能控性和能观测性概念,i,L,当电桥平衡时，且,u,C,(0)=0，于是不管,u,如何变化，电容两端的电压始终为零，即状态变量,u,C,不受,u,的控制，因而,u,C,是不能控的。,当电桥平衡时，且以,u,C,作为输出，这时不管,i,L,如何变化，电容两端的电压始终为零，即输出,u,C,不能反映,i,L,的变化，因而,i,L,是不能观测的。,6.4.1 系统的能控性和能观测性概念,i,L,假设把方程改写为,此时A为对角线标准形，非对角线元素为零，即状态变量之间相互独立(消除了耦合关系) ，这时由于B阵第二行元素为零,可见,u,不直接对,u,C,产生影响，又由于没有耦合关系，所以不能通过其它状态变量对其产生影响,所以,u,C,是不能控的。,另外从输出方程来看，由于C阵第1列元素为零,可见,i,L,不直接对输出产生影响，又由于没有耦合关系，所以不能通过其它状态变量间接反映,i,L,的信息，所以,i,L,是不能观测的。,6.4.1 系统的能控性和能观测性概念,1,b,1,如果存在一个分段连续的输入u(t)，能在有限的时间区间t0,tf内，使系统由某一初始状态x(t0)，转移到指定的任一终端状态 x(tf)，那么称此状态是能控的。如果系统的所有状态都是能控的，那么称此系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。,能控性定义,：,线性定常连续系统的状态方程为：,如果有一个或几个状态变量不能控，那么称系统是状态不完全能控的，简称系统是不能控的。,6.4.2 系统的能控性,上述定义可以在二阶系统的状态平面上来加以说明,假定状态平面中的P点能在输入的作用下，转移到任一指定状态 P1,P2,Pn，那么状态P是能控的。如果这样的能控状态充满整个状态空间，即对于任意初始状态都能找到相应的控制输入u(t)，使得在有限的时间区间t0,tf内，将状态转移到状态空间的任一指定状态，那么该系统称为状态完全能控。,6.4.2 系统的能控性,如果存在一个分段连续的控制输入u(t)，能在0,tf有限的时间内，将系统从任意非零初始状态x(0)转移到原点，即x(tf)=0，那么称系统是状态能控的。,线性定常连续系统的状态方程为：,在系统能控性定义中，系统的初始状态和终止状态都定义为任意位置，这种定义方式不便于写成解析形式，为便于数学处理，又不失一般性我们把上述定义分为两种情况来表达。,把系统的初始状态规定为状态空间中的任意非零有限点，而终端(目标)状态定为状态空间的原点。于是能控定义表达为：,把系统的初始状态规定为状态空间的原点(如果非原点可通过坐标平移到达)，而终端(目标)状态定为状态空间中的任意非零有限点。于是能控定义表达为：,6.4.2 系统的能控性,为了区分上述两种情况，称第一种情况为系统的能控性。这相当于讨论工程实践中的调节问题的可实现性。称第二种情况为系统的能达性。这相当于讨论工程实践中的跟踪问题的可实现性。可以证明对于连续线性定常系统能控性和能达性是等价的。,应当指出的是在能控性定义中，我们所关心的只是是否存在某个分段连续的控制输入,u,(,t,)，能否把任意初始状态转移到任意终止状态 。并不要求算出具体的输入和状态的轨线。也就是说，我们考察的重点并不是如何选择控制规律,u,(,t,
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