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第四节函数的图象1描点法作函数图象通过列表、描点、连线三个步骤，画出函数图象用描点法在选点时往往选取特殊点，有时也可利用函数的性质(如单调性、奇偶性、周期性)画出图象 “左加右减，上加下减”左加右减只针对x本身，与x的系 数无关；上加下减指的是在f(x) 整体上加减.2函数图象的变换(1)平移变换(2)对称变换yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yf(x)的图象yf(x)的图象；yax(a0，且a1)的图象ylogax(a0，且a1)的图象(3)翻折变换yf(x)的图象y|f(x)|的图象；yf(x)的图象yf(|x|)的图象图象变换的注意点在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错熟记常用结论1对于函数yf(x)定义域内任意一个x的值，若f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于直线x对称2对于函数yf(x)定义域内任意一个x的值，若f(ax)f(bx)，则函数f(x)的图象关于点中心对称小题查验基础一、判断题(对的打“”，错的打“”)(1)函数yf(1x)的图象，可由yf(x)的图象向左平移1个单位得到()(2)函数yf(x)的图象关于y轴对称即函数yf(x)与yf(x)的图象关于y轴对称()(3)当x(0，)时，函数yf(|x|)的图象与y|f(x)|的图象相同()(4)若函数yf(x)满足f(1x)f(1x)，则函数f(x)的图象关于直线x1对称()答案：(1)(2)(3)(4)二、选填题1下列图象是函数y的图象的是()答案：C2如图，四个容器高度都相同，将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，注满为止用下面对应的图象表示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系，其中不正确的个数为()A1B2C3 D4解析：选A将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中，容器中水面的高度h和时间t之间的关系可以从高度随时间的变化率上反映出来图应该是匀速的，故下面的图象不正确；中的变化率应该是越来越慢的，正确；中的变化率是先快后慢再快，正确；中的变化率是先慢后快再慢，也正确，故只有是错误的3函数f(x)的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线yex关于y轴对称，则f(x)()Aex1 Bex1Cex1 Dex1解析：选D与曲线yex关于y轴对称的图象对应的解析式为yex，将函数yex的图象向左平移1个单位长度即得yf(x)的图象，f(x)e(x1)ex1，故选D.4已知函数f(x)的图象如图所示，则函数g(x)log f(x)的定义域是_解析：当f(x)0时，函数g(x)log f(x)有意义，由函数f(x)的图象知满足f(x)0时，x(2,8答案：(2,85若关于x的方程|x|ax只有一个解，则实数a的取值范围是_解析：由题意得a|x|x，令y|x|x其图象如图所示，故要使a|x|x只有一个解，则a0.答案：(0，)考法全析考法(一)知式选图例1(2018全国卷)函数f(x)的图象大致为()解析yexex是奇函数，yx2是偶函数，f(x)是奇函数，图象关于原点对称，排除A选项当x1时，f(1)e0，排除D选项又e2，e1，排除C选项故选B.答案B例2(2018全国卷)函数yx4x22的图象大致为()解析令f(x)x4x22，则f(x)4x32x，令f(x)0，得x0或x，则f(x)0的解集为，f(x)在，上单调递增；f(x)0的解集为，f(x)在，上单调递减，结合图象知选D.答案D考法(二)借助动点探究函数图象例3广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互纠在一起，因而被习称为“阴阳鱼太极图”如图，是由一个半径为2的大圆和两个半径为1的半圆组成的“阴阳鱼太极图”，圆心分别为O，O1，O2，若一动点P从点A出发，按路线AOBCADB运动(其中A，O，O1，O2，B五点共线)，设P的运动路程为x，y|O1P|2，y与x的函数关系式为yf(x)，则yf(x)的大致图象为()解析根据题图中信息，可将x分为4个区间，即0，)，2)，2，4)，4，6，当x0，)时，函数值不变，yf(x)1；当x，2)时，设与的夹角为，|1，| |2，x，y()254cos 54cos x，yf(x)的图象是曲线，且单调递增；当x2，4)时，设与的夹角为，|2，|1，2x，y|O1P|2()254cos 54cos ，函数yf(x)的图象是曲线，且单调递减结合选项知选A.答案A考法(三)图象变换问题例4已知函数yf(1x)的图象如图，则y|f(x2)|的图象是()解析(1)把函数yf(1x)的图象向左平移1个单位得yf(x)的图象；(2)作出f(x)关于y轴对称的函数图象得yf(x)的图象；(3)将f(x)向左平移2个单位得yf(x2)的图象；(4)将yf(x2)的图象在x轴下方的部分关于x轴对称翻折到x轴上方得到|f(x2)|的图象答案A规律探求看个性考法(一)是知式选图，解决此类问题常有以下策略：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；(2)从函数的单调性(有时可借助导数)，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；(5)从函数的特殊点(与坐标轴的交点、经过的定点、极值点等)，排除不合要求的图象考法(二)是求解因动点变化而形成的函数图象问题，既可以根据题意求出函数解析式后判断图象，也可以将动点处于某特殊位置时考查图象的变化特征后作出选择考法(三)图象变换问题，只需遵守图象变换规则即可找共性解决函数图象的识别问题， 注意“三关”： (1)取“特殊点关”，即根据已知函数的解析式选取特殊的点，判断选项中的图象是否经过这些点，若不满足则排除；(2)用“性质关”，即根据选项中的图象特点，结合函数的奇偶性、单调性等来排除选项；(3)用“极限思想关”，即应用极限思想来处理，达到巧解妙算的效果，使解题过程费时少，准确率高过关训练1函数y(x3x)2|x|的图象大致是()解析：选B易判断函数为奇函数，由y0得x1或x0.当0x1时，y0；当x1时，y0.故选B.2.如图，长方形ABCD的边AB2，BC1，O是AB的中点，点P沿着边BC，CD与DA运动，记BOPx.将动点P到A，B两点距离之和表示为x的函数f(x)，则yf(x)的图象大致为()解析：选B当x时，f(x)tan x，图象不会是直线段，从而排除A、C.当x时，ff1，f2.21，fff，从而排除D，故选B.3已知函数f(x)logax(0a1)，则函数yf(|x|1)的图象大致为()解析：选A先作出函数f(x)logax(0a1)的图象，当x0时，yf(|x|1)f(x1)，其图象由函数f(x)的图象向左平移1个单位得到，又函数yf(|x|1)为偶函数，所以再将函数yf(x1)(x0)的图象关于y轴对称翻折到y轴左边，得到x0时的图象，故选A.考法全析考法(一)研究函数的性质例1已知函数f(x)x|x|2x，则下列结论正确的是()Af(x)是偶函数，递增区间是(0，)Bf(x)是偶函数，递减区间是(，1)Cf(x)是奇函数，递减区间是(1,1)Df(x)是奇函数，递增区间是(，0)解析将函数f(x)x|x|2x去掉绝对值得f(x)画出函数f(x)的图象，如图，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在(1,1)上单调递减答案C考法(二)研究不等式的求解问题例2(1)设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为()A(1,0)(1，)B(，1)(0,1)C(，1)(1，) D(1,0)(0,1)(2)若不等式(x1)2logax(a0，且a1)在x(1,2)内恒成立，则实数a的取值范围为()A(1,2 B.C(1，) D(，2)解析(1)因为f(x)为奇函数，所以不等式0可化为0，即xf(x)0，f(x)的大致图象如图所示所以xf(x)0的解集为(1,0)(0,1)(2)要使当x(1,2)时，不等式(x1)2logax恒成立，只需函数y(x1)2在(1,2)上的图象在ylogax的图象的下方即可当0a1时，显然不成立；当a1时，如图，要使x(1,2)时，y(x1)2的图象在ylogax的图象的下方，只需(21)2loga2，即loga21，解得1a2，故实数a的取值范围是(1,2故选A.答案(1)D(2)A考法(三)研究方程根的问题例3(2019沈阳质量监测)设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的xR，都有f(x2)f(2x)，当x2,0时，f(x)x1，则关于x的方程f(x)log8(x2)0在区间(2,6)上根的个数为()A1B2C3D4解析因为对任意的xR，都有f(x2)f(2x)，所以f(x)的图象关于直线x2对称，又f(x)是定义在R上的偶函数，所以f(x2)f(2x)f(x2)，f(x4)f(x)，函数f(x)是周期为4的函数，则函数yf(x)的图象与ylog8(x2)的图象交点的个数即方程f(x)log8(x2)0根的个数作出yf(x)与ylog8(x2)在区间(2,6)上的图象如图所示，易知两个函数在区间(2,6)上的图象有3个交点，所以方程f(x)log8(x2)0在区间(2,6)上有3个根，故选C.答案C规律探求看个性考法(一)是利用函数图象研究函数性质常从以下几个角度分析研究：(1)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；(2)从图象的对称性，分析函数的奇偶性；(3)从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性考法(二)利用函数图象研究不等式通过函数图象把不等式问题转化为两函数图象的上下关系或函数图象与坐标轴的位置关系来解决问题考法(三)是利用图象研究方程根的问题其依据是：方程f(x)0的根就是函数f(x)图象与x轴交点的横坐标，方程f(x)g(x)的根就是函数f(x)与g(x)图象交点的横坐标找共性求解函数图象的应用问题，其实质是利用数形结合思想解题，其思维流程一般是： 过关训练1(2019昆明检测)已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()A有最小值1，最大值1 B有最大值1，无最小值C有最小值1，无最大值 D有最大值1，无最小值解析：选C如图，画出y|f(x)|2x1|与yg(x)1x2的图象，它们交于A，B两点由“规定”，在A，B两侧，|f(x)|g(x)，故h(x)|f(x)|；在A，B之间，|f(x)|g(x)，故h(x)g(x)综上可知，yh(x)的图象是图中的实线部分，因此h(x)有最小值1，无最大值2已知函数f(x)则对任意x1，x2R，若0|x1|x2|，下列不等式成立的是()Af(x1)f(x2)0 Bf(x1)f(x2)0Cf(x1)f(x2)0 Df(x1)f(x2)0解析：选D函数f(x)的图象如图所示f(x)f(x)，则函数f(x)是偶函数，且在0，)上是增函数又0|x1|x2|，则f(x2)f(x1)，即f(x1)f(x2)0.3已知直线y1与曲线yx2|x|a有四个交点，则a的取值范围是_解析：y作出其图象，如图所示此曲线与y轴交于点(0，a)，最小值为a，要使直线y1与其有四个交点，只需a1a，所以1a.答案： 一、题点全面练1函数f(x)xe|x|的图象可能是()解析：选C因为函数f(x)的定义域为R，f(x)f(x)，所以函数f(x)为奇函数，排除A、B；当x(0，)时，f(x)xex，因为ex0，所以f(x)0，即f(x)在x(0，)时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.2.若函数f(x)的图象如图所示，则f(3)等于()ABC1 D2解析：选C由图象可得ab3，ln(1a)0，得a2，b5，f(x)故f(3)2(3)51，故选C.3(2018全国卷)下列函数中，其图象与函数yln x的图象关于直线x1对称的是()Ayln(1x)Byln(2x)Cyln(1x) Dyln(2x)解析：选B函数yf(x)的图象与函数yf(ax)的图象关于直线x对称，令a2可得与函数yln x的图象关于直线x1对称的是函数yln(2x)的图象故选B.4已知f(x)则下列函数的图象错误的是()解析：选D在坐标平面内画出函数yf(x)的图象，将函数yf(x)的图象向右平移1个单位长度，得到函数yf(x1)的图象，因此A正确；作函数yf(x)的图象关于y轴的对称图形，得到yf(x)的图象，因此B正确；yf(x)在1,1上的值域是0,2，因此y|f(x)|的图象与yf(x)的图象重合，C正确；yf(|x|)的定义域是1,1，且是偶函数，当0x1时，yf(|x|)，这部分的图象不是一条线段，因此选项D不正确故选D.5若函数yf(x)的图象如图所示，则函数yf(x1)的图象大致为()解析：选C要想由yf(x)的图象得到yf(x1)的图象，需要先将yf(x)的图象关于x轴对称得到yf(x)的图象，然后向左平移一个单位长度得到yf(x1)的图象，根据上述步骤可知C正确6(2019汉中模拟)函数f(x)sin x的图象大致为()解析：选Af(x)sin x，f(x)sin(x)sin xsin xf(x)，函数f(x)为偶函数，故排除C、D；当x2时，f(2)sin 20，故排除B，选A.7.若函数f(x)(ax2bx)ex的图象如图所示，则实数a，b的值可能为()Aa1，b2Ba1，b2Ca1，b2Da1，b2解析：选B令f(x)0，则(ax2bx)ex0，解得x0或x，由图象可知，1，又当x时，f(x)0，故a0，结合选项知a1，b2满足题意，故选B.8定义maxa，b，c为a，b，c中的最大值，设Mmax2x,2x3,6x，则M的最小值是()A2 B3C4 D6解析：选C画出函数Mmax2x,2x3,6x的图象如图中实线部分所示，由图可得，函数M在点A(2,4)处取得最小值，最小值为4，故选C.9.已知在函数y|x|(x1,1)的图象上有一点P(t，|t|)，该函数的图象与x轴、直线x1及xt围成图形(如图阴影部分)的面积为S，则S与t的函数关系图可表示为()解析：选B由题意知，当1t0时，S越来越大，但增长的速度越来越慢当t0时，S的增长速度会越来越快，故在S轴右侧图象的切线斜率逐渐增大，选B.10.如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)log2(x1)的解集为_解析：令ylog2(x1)，作出函数ylog2(x1)图象如图由得结合图象知不等式f(x)log2(x1)的解集为x|1x1答案：x|1x111设函数f(x)|xa|，g(x)x1，对于任意的xR，不等式f(x)g(x)恒成立，则实数a的取值范围是_解析：如图，作出函数f(x)|xa|与g(x)x1的图象，观察图象可知：当且仅当a1，即a1时，不等式f(x)g(x)恒成立，因此a的取值范围是1，)答案：1，)12已知函数f(x)|x|(xa)，a0.(1)作出函数f(x)的图象；(2)写出函数f(x)的单调区间；(3)当x0,1时，由图象写出f(x)的最小值解：(1)f(x)其图象如图所示(2)由图知，f(x)的单调递增区间是(，0)，；单调递减区间是.(3)由图象知，当1，即a2时，f(x)minf(1)1a；当01，即0a2时，f(x)minf.综上，f(x)min二、专项培优练(一)易错专练不丢怨枉分1(2019大同质检)已知函数f(2x1)是奇函数，则函数yf(2x)的图象关于下列哪个点成中心对称()A(1,0) B(1,0)C. D.解析：选C因为f(2x1)是奇函数，所以图象关于原点成中心对称，而f(2x)的图象是由f(2x1)的图象向右平移个单位得到的，故f(2x)关于成中心对称2函数f(x)是周期为4的偶函数，当x0,2时，f(x)x1，则不等式xf(x)0在(1,3)上的解集为()A(1,3) B(1,1)C(1,0)(1,3) D(1,0)(0,1)解析：选C作出函数f(x)的图象如图所示当x(1,0)时，由xf(x)0得x(1,0)；当x(0,1)时，由xf(x)0得x；当x(1,3)时，由xf(x)0得x(1,3)故x(1,0)(1,3)3(2019合肥质检)对于函数f(x)，如果存在x00，使得f(x0)f(x0)，则称(x0，f(x0)与(x0，f(x0)为函数图象的一组奇对称点若f(x)exa(e为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a的取值范围是_解析：依题意，知f(x)f(x)有非零解，由f(x)f(x)得，exa(exa)，即a1(x0)，所以当f(x)exa存在奇对称点时，实数a的取值范围是(1，)答案：(1，)(二)素养专练学会更学通4数学建模如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆垂直于x轴的直线l：xt(0ta)经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分)，若函数yf(x)的大致图象如右图所示，那么平面图形的形状不可能是()解析：选C由yf(x)的图象可知面积递增的速度先快后慢，对于选项C，后半程是匀速递增，所以平面图形的形状不可能是C.5直观想象已知函数f(x)若方程f(x)xa有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围为()A(，0 B0,1)C(，1) D0，)解析：选C当x0时，f(x)f(x1)，所以f(x)是以1为周期的函数又当0x1时，x10，所以f(x)f(x1)21x12x1.方程f(x)xa的根的个数可看成是两个函数yf(x)与yxa的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a的取值范围是(，1)(三)难点专练适情自主选6已知函数f(x)的图象与函数h(x)x2的图象关于点A(0,1)对称(1)求f(x)的解析式；(2)若g(x)f(x)，且g(x)在区间(0,2上为减函数，求实数a的取值范围解：(1)设f(x)图象上任一点P(x，y)，则点P关于(0,1)点的对称点P(x,2y)在h(x)的图象上，即2yx2，yf(x)x(x0)(2)g(x)f(x)x，g(x)1.g(x)在(0,2上为减函数，10在(0,2上恒成立，即a1x2在(0,2上恒成立，a14，即a3，故实数a的取值范围是3，)7若关于x的不等式4ax13x4(a0，且a1)对于任意的x2恒成立，求a的取值范围解：不等式4ax13x4等价于ax1x1.令f(x)ax1，g(x)x1，当a1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(1)所示，由图知不满足条件；当0a1时，在同一坐标系中作出两个函数的图象如图(2)所示，当x2时，f(2)g(2)，即a2121，解得a，所以a的取值范围是.
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