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3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题二、课时安排1课时三、教学重点1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题四、教学难点1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题五、教学过程(一)导入新课已知实数x,y,z满足x2yz1,求tx24y2z2的最小值【解】由柯西不等式得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1,3(x24y2z2)1,即x24y2z2.当且仅当x2yz,即x,y,z时等号成立故x24y2z2的最小值为.(二)讲授新课教材整理1三维形式的柯西不等式设a1,a2,a3,b1,b2,b3R,则(aaa)(bbb).当且仅当 或存在一个数k,使得aikbi(i1,2,3)时,等号成立我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式教材整理2一般形式的柯西不等式设a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是实数,则(aaa)(bbb) .当且仅当bi0(i1,2,n)或存在一个数k,使得ai (i1,2,n)时,等号成立(三)重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例1已知a,b,c(0,),2,求a2b3c的最小值及取得最小值时a,b,c的值【精彩点拨】由于2,可考虑把已知条件与待求式子结合起来,利用柯西不等式求解【自主解答】a,b,c(0,),(a2b3c)()2()2()2(123)236.又2,a2b3c18,当且仅当abc3时等号成立,综上,当abc3时,a2b3c取得最小值18.规律总结:利用柯西不等式求最值时,关键是对原目标函数进行配凑,以保证出现常数结果同时,要注意等号成立的条件再练一题1已知x4y9z1,求x2y2z2的最小值【解】由柯西不等式,知(x4y9z)2(124292)(x2y2z2)98(x2y2z2)又x4y9z1,x2y2z2,(*)当且仅当x时,等号成立,x,y,z时,(*)取等号因此,x2y2z2的最小值为.题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x,y,z满足xyzxyz,且不等式恒成立,求的取值范围【精彩点拨】“恒成立”问题需求的最大值,设法应用柯西不等式求最值【自主解答】x0,y0,z0.且xyzxyz.1.又当且仅当xyz,即xyz时等号成立的最大值为.故恒成立时,应有.因此的取值范围是.规律总结:应用柯西不等式,首先要对不等式形式、条件熟练掌握,然后根据题目的特点“创造性”应用定理再练一题2已知实数a,b,c,d满足abcd3,a22b23c26d25,试求a的取值范围.【解】由abcd3,得bcd3a,由a22b23c26d25,得2b23c26d25a2,(2b23c26d2)(bcd)2,即2b23c26d2(bcd)2.由条件可得,5a2(3a)2,解得1a2,所以实数a的取值范围是1,2题型三、利用柯西不等式证明不等式例3已知a,b,cR,求证:9.【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式,a1,a2,a3,b1,b2,b3,而a1b1a2b2a3b31,因而得证【自主解答】a,b,cR,由柯西不等式,知(111)29,9.规律总结:1当ai,bi是正数时,柯西不等式变形为(a1a2an)(b1b2bn)()2.2本题证明的关键在于构造两组数,创造使用柯西不等式的条件在运用柯西不等式时,要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征,正确配凑出公式两侧的数组再练一题3已知函数f(x)m|x2|,mR,且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值;(2)若a,b,cR,且m,求证:a2b3c9.【解】(1)因为f(x2)m|x|,f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解,得m0,且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1,故m1.(2)证明:由(1)知1.又a,b,cR,由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.(四)归纳小结一般形式的柯西不等式(五)随堂检测1设a(2,1,2),|b|6,则ab的最小值为()A18 B6 C18 D.12【解析】|ab|a|b|,|ab|18.18ab18,当a,b反向时,ab最小,最小值为18.【答案】C2若aaa1,bbb4,则a1b1a2b2anbn的取值范围是()A(,2) B2,2 C(,2 D.1,1【解析】(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2,(a1b1a2b2anbn)24,|a1b1a2b2anbn|2,即2a1b1a2b2anbn2,当且仅当aibi(i1,2,n)时,右边等号成立;当且仅当aibi(i1,2,n)时,左边等号成立,故选B.【答案】B3设a,b,m,nR,且a2b25,manb5,则 的最小值为_【解析】根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2),得255(m2n2),m2n25,的最小值为.【答案】六、板书设计3.2 一般形式的柯西不等式教材整理1三维形式的柯西不等式教材整理2一般形式的柯西不等式例1:例2:例3:学生板演练习七、作业布置同步练习:3.2 一般形式的柯西不等式八、教学反思
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