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3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题二、课时安排1课时三、教学重点1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题四、教学难点1掌握三维形式和多维形式的柯西不等式2会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题五、教学过程（一）导入新课已知实数x，y，z满足x2yz1，求tx24y2z2的最小值【解】由柯西不等式得(x24y2z2)(111)(x2yz)2.x2yz1，3(x24y2z2)1，即x24y2z2.当且仅当x2yz，即x，y，z时等号成立故x24y2z2的最小值为.（二）讲授新课教材整理1三维形式的柯西不等式设a1，a2，a3，b1，b2，b3R，则(aaa)(bbb).当且仅当 或存在一个数k，使得aikbi(i1,2,3)时，等号成立我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式教材整理2一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，an，b1，b2，b3，bn是实数，则(aaa)(bbb) .当且仅当bi0(i1,2，n)或存在一个数k，使得ai (i1,2，n)时，等号成立（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例1已知a，b，c(0，)，2，求a2b3c的最小值及取得最小值时a，b，c的值【精彩点拨】由于2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解【自主解答】a，b，c(0，)，(a2b3c)()2()2()2(123)236.又2，a2b3c18，当且仅当abc3时等号成立，综上，当abc3时，a2b3c取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果同时，要注意等号成立的条件再练一题1已知x4y9z1，求x2y2z2的最小值【解】由柯西不等式，知(x4y9z)2(124292)(x2y2z2)98(x2y2z2)又x4y9z1，x2y2z2，(*)当且仅当x时，等号成立，x，y，z时，(*)取等号因此，x2y2z2的最小值为.题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x，y，z满足xyzxyz，且不等式恒成立，求的取值范围【精彩点拨】“恒成立”问题需求的最大值，设法应用柯西不等式求最值【自主解答】x0，y0，z0.且xyzxyz.1.又当且仅当xyz，即xyz时等号成立的最大值为.故恒成立时，应有.因此的取值范围是.规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理再练一题2已知实数a，b，c，d满足abcd3，a22b23c26d25，试求a的取值范围.【解】由abcd3，得bcd3a，由a22b23c26d25，得2b23c26d25a2，(2b23c26d2)(bcd)2，即2b23c26d2(bcd)2.由条件可得，5a2(3a)2，解得1a2，所以实数a的取值范围是1,2题型三、利用柯西不等式证明不等式例3已知a，b，cR，求证：9.【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a1，a2，a3，b1，b2，b3，而a1b1a2b2a3b31，因而得证【自主解答】a，b，cR，由柯西不等式，知(111)29，9.规律总结：1当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1a2an)(b1b2bn)()2.2本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组再练一题3已知函数f(x)m|x2|，mR，且f(x2)0的解集为1,1(1)求m的值；(2)若a，b，cR，且m，求证：a2b3c9.【解】(1)因为f(x2)m|x|，f(x2)0等价于|x|m.由|x|m有解，得m0，且其解集为x|mxm又f(x2)0的解集为1,1，故m1.(2)证明：由(1)知1.又a，b，cR，由柯西不等式得a2b3c(a2b3c)9.（四）归纳小结一般形式的柯西不等式（五）随堂检测1设a(2,1,2)，|b|6，则ab的最小值为()A18 B6 C18 D.12【解析】|ab|a|b|，|ab|18.18ab18，当a，b反向时，ab最小，最小值为18.【答案】C2若aaa1，bbb4，则a1b1a2b2anbn的取值范围是()A(，2) B2,2 C(，2 D.1,1【解析】(aaa)(bbb)(a1b1a2b2anbn)2，(a1b1a2b2anbn)24，|a1b1a2b2anbn|2，即2a1b1a2b2anbn2，当且仅当aibi(i1,2，n)时，右边等号成立；当且仅当aibi(i1,2，n)时，左边等号成立，故选B.【答案】B3设a，b，m，nR，且a2b25，manb5，则 的最小值为_【解析】根据柯西不等式(manb)2(a2b2)(m2n2)，得255(m2n2)，m2n25，的最小值为.【答案】六、板书设计3.2 一般形式的柯西不等式教材整理1三维形式的柯西不等式教材整理2一般形式的柯西不等式例1：例2：例3：学生板演练习七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式八、教学反思
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