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2.8函数模型及其应用考纲解读考点内容解读要求高考示例常考题型预测热度1.函数的实际应用问题了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征,体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义2016四川,7;2015四川,8;2014湖北,16解答题2.函数的综合应用问题了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用,了解函数与方程、不等式之间的联系,并能解决一些具体的实际问题2015四川,15;2014山东,9;2013安徽,8分析解读为了考查学生的综合能力与素养,高考加强了函数综合应用问题的考查力度,这一问题一般涉及的知识点较多,综合性也较强,属于中档以上的试题,题型以填空题和解答题为主,在高考中分值为5分左右,通常在如下方面考查:1.对函数实际应用问题的考查,这类问题多以社会实际生活为背景,设问新颖,要求学生掌握课本中的概念、公式、法则、定理等基础知识与方法.2.以课本知识为载体,把函数与方程、不等式、数列、解析几何等知识联系起来,构造不等式求参数范围,利用分离参数法求函数值域,进而求字母的取值等.五年高考考点一函数的实际应用问题1.(2015四川,8,5分)某食品的保鲜时间y(单位:小时)与储藏温度x(单位:)满足函数关系y=ekx+b(e=2.718为自然对数的底数,k,b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是192小时,在22 的保鲜时间是48小时,则该食品在33 的保鲜时间是()A.16小时B.20小时C.24小时D.28小时答案C2.(2013湖北,5,5分)小明骑车上学,开始时匀速行驶,途中因交通堵塞停留了一段时间,后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是()答案C3.(2014湖北,16,5分)某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F=76 000vv2+18v+20l.(1)如果不限定车型,l=6.05,则最大车流量为辆/小时;(2)如果限定车型,l=5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加辆/小时.答案(1)1900(2)100教师用书专用(4)4.(2013陕西,14,5分)在如图所示的锐角三角形空地中,欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分),则其边长x为(m).答案20考点二函数的综合应用问题1.(2014山东,9,5分)对于函数f(x),若存在常数a0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a-x),则称f(x)为准偶函数.下列函数中是准偶函数的是() A.f(x)=xB.f(x)=x2C.f(x)=tan xD.f(x)=cos(x+1)答案D2.(2014安徽,9,5分)若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为() A.5或8B.-1或5 C.-1或-4D.-4或8答案D3.(2013课标全国,12,5分)已知函数f(x)=-x2+2x,x0,ln(x+1),x0.若|f(x)|ax,则a的取值范围是()A.(-,0B.(-,1C.-2,1D.-2,0答案D4.(2015四川,15,5分)已知函数f(x)=2x,g(x)=x2+ax(其中aR).对于不相等的实数x1,x2,设m=f(x1)-f(x2)x1-x2,n=g(x1)-g(x2)x1-x2.现有如下命题:对于任意不相等的实数x1,x2,都有m0;对于任意的a及任意不相等的实数x1,x2,都有n0;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=n;对于任意的a,存在不相等的实数x1,x2,使得m=-n.其中的真命题有(写出所有真命题的序号).答案教师用书专用(57)5.(2014浙江,10,5分)如图,某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为AB,某目标点P沿墙面上的射线CM移动,此人为了准确瞄准目标点P,需计算由点A观察点P的仰角的大小(仰角为直线AP与平面ABC所成角).若AB=15 m,AC=25 m,BCM=30,则tan的最大值是()A.305B.3010C.439D.539答案D6.(2013安徽,8,5分)函数y=f(x)的图象如图所示,在区间a,b上可找到n(n2)个不同的数x1,x2,xn,使得f(x1)x1=f(x2)x2=f(xn)xn,则n的取值范围为()A.2,3B.2,3,4C.3,4D.3,4,5答案B7.(2014四川,15,5分)以A表示值域为R的函数组成的集合,B表示具有如下性质的函数(x)组成的集合:对于函数(x),存在一个正数M,使得函数(x)的值域包含于区间-M,M.例如,当1(x)=x3,2(x)=sin x时,1(x)A,2(x)B.现有如下命题:设函数f(x)的定义域为D,则“f(x)A”的充要条件是“bR,aD, f(a)=b”;若函数f(x)B,则f(x)有最大值和最小值;若函数f(x),g(x)的定义域相同,且f(x)A,g(x)B,则f(x)+g(x)B;若函数f(x)=aln(x+2)+xx2+1(x-2,aR)有最大值,则f(x)B.其中的真命题有.(写出所有真命题的序号)答案三年模拟A组20162018年模拟基础题组考点一函数的实际应用问题1.(2017福建质检,5)当生物死亡后,其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半,这个时间称为“半衰期”.当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时,用一般的放射性探测器就测不到了.若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到,则它经过的“半衰期”个数至少是()A.8B.9C.10D.11答案C2.(2016北京东城期中,12)已知每生产100克饼干的原材料加工费为1.8元,某食品加工厂对饼干采用两种包装,其包装费用、销售价格如表所示:型号小包装大包装质量100克300克包装费0.5元0.7元销售价格3.0元8.4元则下列说法正确的是()买小包装实惠;买大包装实惠;卖3小包比卖1大包盈利多;卖1大包比卖3小包盈利多.A.B.C.D.答案D3.(2018河北承德期中,13)某商品价格y(单位:元)因上架时间x(单位:天)的不同而不同,假定商品的价格与上架时间的函数关系是一种指数型函数,即y=kax(a0且a1,xN*).若商品上架第1天的价格为96元,而上架第3天的价格为54元,则该商品上架第4天的价格为元.答案812考点二函数的综合应用问题4.(2018江西模拟,11)函数y=|log3x|的图象与直线l1:y=m从左至右分别交于点A,B,与直线l2:y=82m+1(m0)从左至右分别交于点C,D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,则ba的最小值为()A.813B.273C.93D.33答案B5.(2017天津红桥期中联考,10)已知函数f(x)的定义域为-1,5,部分对应值如下表:x-1045f(x)1221f(x)的导函数y=f (x)的图象如图所示:下列关于函数f(x)的命题:(1)函数y=f(x)是周期函数;(2)函数f(x)在(0,2)上是减函数;(3)如果当x-1,t时,f(x)的最大值是2,那么t的最大值为4;(4)当1a2时,函数y=f(x)-a有4个零点.其中真命题的个数为()A.1B.2C.3D.4答案A6.(2018四川成都外国语学校月考,16)对于定义域为0,+)的函数f(x),如果同时满足下列三条:(1)对任意的x0,+),总有f(x)0;(2)若x10,x20,则f(x1+x2)f(x1)+f(x2)成立;(3)若0x1x21,则称函数f(x)为“超级囧函数”.则下列函数是“超级囧函数”的是.f(x)=sin x;g(x)=14x2(x0,1);h(x)=2x-1;p(x)=ln(x+1).答案7.(2016江西三校第一次联考,16)已知函数y=f(x),对定义域内的每一个值x1,在其定义域内都存在唯一的x2,使f(x1)f(x2)=1成立,则称该函数为“依赖函数”.给出以下命题:y=1x2是“依赖函数”;y=2+sin x,x-2,2是“依赖函数”;y=2x是“依赖函数”;y=ln x是“依赖函数”;y=f(x),y=g(x)都是“依赖函数”,且定义域相同,则y=f(x)g(x)是“依赖函数”.其中所有真命题的序号是.答案8.(2016皖北第一次联考,19)某工厂某种商品的年固定成本为250万元,每生产x千件,需另投入成本C(x)万元,当年产量不足80千件时,C(x)=13x2+10x;当年产量不少于80千件时,C(x)=51x+10 000x-1 450.每件商品售价为0.05万元.通过市场分析,该厂生产的商品能全部售完.(1)写出年利润L(x)(万元)关于年产量x(千件)的函数解析式;(2)年产量为多少千件时,该厂在这一商品的生产中所获利润最大?解析(1)每件商品售价为0.05万元,x千件商品销售额为0.051 000x万元.当0x80时,L(x)=(0.051 000x)-13x2-10x-250=-13x2+40x-250;当x80时,L(x)=(0.051 000x)-51x-10 000x+1 450-250=1 200-x+10 000x.综合可得,L(x)=-13x2+40x-250,0x80,1 200-x+10 000x,x80.(2)由(1)可知,L(x)=-13x2+40x-250,0x80,1 200-x+10 000x,x80.当0x80时,L(x)=-13x2+40x-250=-13(x-60)2+950,当x=60时,L(x)取得最大值,最大值为L(60)=950;当x80时,L(x)=1 200-x+10 000x1 200-2x10 000x=1 200-200=1 000,当且仅当x=10 000x,即x=100时,L(x)取得最大值,最大值为L(100)=1 000.9500.给出下列命题:f(3)=0;直线x=-6是函数y=f(x)的图象的一条对称轴;函数y=f(x)在-9,-6上为增函数;函数y=f(x)在-9,9上有四个零点.其中所有正确命题的序号为.(把所有正确命题的序号都填上)答案三、解答题(共10分)5.(2017江西九江七校联考,20)某店销售进价为2元/件的产品A,假设该店产品A每日的销售量y(单位:千件)与销售价格x(单位:元/件)满足关系式y=10x-2+4(x-6)2,其中2x6.(1)若产品A的销售价格为4元/件,求该店每日销售产品A所获得的利润;(2)试确定产品A的销售价格x的值,使该店每日销售产品A所获得的利润最大.(保留1位小数)解析(1)当x=4时,销售量y=102+4(4-6)2=21千件,所以该店每日销售产品A所获得的利润是221=42千元.(2)该店每日销售产品A所获得的利润f(x)=(x-2)10x-2+4(x-6)2=10+4(x-6)2(x-2)=4x3-56x2+240x-278(2x6),从而f (x)=12x2-112x+240=4(3x-10)(x-6)(2x0,函数f(x)单调递增;在103,6上, f (x)0,函数f(x)单调递减,所以x=103是函数f(x)在(2,6)内的极大值点,也是最大值点,所以当x=1033.3时,函数f(x)取得最大值.故当销售价格为3.3元/件时,每日销售产品A所获得的利润最大.C组20162018年模拟方法题组方法常见函数模型的理解1.(2018福建三明期末,14)物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述:设物体的初始温度是T0,经过一定时间t后的温度是T,则T-Ta=(T0-Ta)12th,其中Ta称为环境温度,h称为半衰期.现有一杯用88 热水冲的速溶咖啡,放在24 的房间中,如果咖啡降到40 需要20分钟,那么此杯咖啡从40 降温到32 时,还需要分钟.答案102.(2017湖北重点高中联合协作体期中,21)某市居民用水收费标准如下:每户每月用水不超过15吨时,每吨2元,当用水超过15吨时,超过部分每吨3元.某月甲、乙两户共交水费y元,已知甲、乙两用户该月用水量分别为5x吨,3x吨.(1)求y关于x的函数表达式;(2)若甲、乙两户该月共交水费114元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和所交水费.解析(1)y=16x,0x3,21x-15,35.(2)若0x3,由16x=114,解得x=578(舍去);若35,由24x-30=114,解得x=6.所以甲户该月的用水量为5x=30吨,所交水费为152+(30-15)3=75元;乙户该月的用水量为3x=18吨,所交水费为152+(18-15)3=39元.3.(2017江西金溪一中等期中联考,19)食品安全问题越来越引起人们的重视,农药、化肥的滥用对人民群众的健康有一定的危害,为了给消费者带来放心的蔬菜,某农村合作社每年投入200万元,搭建了甲、乙两个无公害蔬菜大棚,每个大棚至少要投入20万元,其中甲大棚种西红柿,乙大棚种黄瓜,根据以往的种菜经验,发现种西红柿的年收入P、种黄瓜的年收入Q与投入a(单位:万元)满足P=80+42a,Q=14a+120,设甲大棚的投入为x(单位:万元),每年两个大棚的总收益为f(x)(单位:万元).(1)求f(50)的值;(2)试问如何安排甲、乙两个大棚的投入,才能使总收益f(x)最大?解析(1)甲大棚投入50万元,则乙大棚投入150万元,f(50)=80+4250+14150+120=277.5.(2)f(x)=80+42x+14(200-x)+120=-14x+42x+250,依题意,得x20,200-x2020x180,故f(x)=-14x+42x+250(20x180).令t=x,则t25,65,则y=-14t2+42t+250=-14(t-82)2+282,当t=82,即x=128时, f(x)max=282.所以甲大棚投入128万元,乙大棚投入72万元时,总收益最大,且最大总收益为282万元.4.(2016福建晨曦等四校第一次联考,20)某工厂生产一种仪器的元件,由于受生产能力和技术水平的限制,会产生一些次品,根据经验知道,其次品率P与日产量x(万件)之间满足关系:P=16-x,1xc,23,xc(其中c为小于6的正常数).(注:次品率=次品数/生产量,如P=0.1表示每生产10件产品,有1件为次品,其余为合格品)已知每生产1万件合格的元件可以盈利2万元,但每生产1万件次品将亏损1万元,故厂方希望定出合适的日产量.(1)试将生产这种仪器的元件每天的盈利额T(万元)表示为日产量x(万件)的函数;(2)当日产量为多少时,可获得最大利润?解析(1)当xc时,P=23,T=13x2-23x1=0.当1xc时,P=16-x,T=1-16-xx2-16-xx1=9x-2x26-x.综上,日盈利额T(万元)与日产量x(万件)的函数关系为T=9x-2x26-x,1xc,0,xc.(2)由(1)知,当xc时,每天的盈利额为0万元,1xc.(i)当3c6时,T=9x-2x26-x=15-2(6-x)+96-x15-12=3,当且仅当x=3时取等号.故Tmax=3,此时x=3.(ii)当1c0知,函数T=9x-2x26-x在1,c上递增,当x=c时,Tmax=9c-2c26-c,综上,若3c6,则当日产量为3万件时,可获得最大利润;若1c3,则当日产量为c万件时,可获得最大利润.
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