资源描述
课时跟踪检测(十三) 用数学归纳法证明不等式举例1下列四个判断中,正确的是()A式子1kk2kn(nN),当n1时恒为1B式子1kk2kn1(nN),当n1时恒为1kC式子1(nN),当n1时恒为1D设f(n)(nN),则f(k1)f(k)解析:选C选项A中,n1时,式子应为1k;选项B中,n1时,式子应为1;选项D中,f(k1)f(k).2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时,第一步证明中的起始值n0应取()A2B3C5 D6解析:选C令n0分别取2,3,4,5,6,依次验证即得3某个命题与正整数n有关,若nk(kN)时该命题成立,那么可推得当nk1时该命题也成立现已知当n5时该命题不成立,那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立解析:选C如果n4时命题成立,那么由题设,n5时命题也成立上面的判断作为一个命题,那么它的逆否命题是如果n5时命题不成立,那么n4时命题也不成立原命题成立,它的逆否命题一定成立4设n为正整数,f(n)1,计算得f(2),f(4)2,f(8),f(16)3,f(32),观察上述记录,可推测出一般结论()Af(2n) Bf(n2)Cf(2n) D以上都不对解析:选Cf(2),f(4)f(22)2,f(8)f(23),f(16)f(24),f(32)f(25),所以f(2n).5证明11),当n2时,要证明的式子为_解析:当n2时,要证明的式子为213.答案:21时,f(2k1)f(2k)_.解析:f(2k1)1,f(2k)1,所以f(2k1)f(2k).答案:8用数学归纳法证明,对任意nN,有(12n)n2.证明:(1)当n1时,左边右边,不等式成立当n2时,左边(12)22,不等式成立(2)假设当nk(k2)时不等式成立,即(12k)k2.则当nk1时,有左边(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).当k2时,11,(*)左边k21(k1)k22k1(k1)2.这就是说当nk1时,不等成立由(1)(2)可知当n1时,不等式成立9已知数列an的前n项和Sn满足:Sn1,且an0,nN.(1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;(2)证明通项公式的正确性解:(1)当n1时,由已知得a11,即a2a120.a11(a10)当n2时,由已知得a1a21,将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN)(2)证明:由(1)知,当n1时,通项公式成立假设当nk(kN)时,通项公式成立,即ak.由于ak1Sk1Sk,将ak代入上式,整理得a2ak120,ak1,即nk1时通项公式成立由可知对所有nN,an都成立10设数列an满足an1anan1,n1,2,3.(1)当a12时,求a2,a3,a4,并由此猜想出an的一个通项公式;(2)当a3时,证明对所有的n1,有ann2.解:(1)由a12,得a2aa113,由a23,得a3a2a214,由a34,得a4a3a315.由此猜想an的一个通项公式:ann1(n1) (2)证明:用数学归纳法证明当n1,a1312,不等式成立假设当nk时不等式成立,即akk2,那么,当nk1时ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3,也就是说,当nk1时,ak1(k1)2.根据和,对于所有n1,有ann2.
展开阅读全文