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课时跟踪检测（十三） 用数学归纳法证明不等式举例1下列四个判断中，正确的是()A式子1kk2kn(nN)，当n1时恒为1B式子1kk2kn1(nN)，当n1时恒为1kC式子1(nN)，当n1时恒为1D设f(n)(nN)，则f(k1)f(k)解析：选C选项A中，n1时，式子应为1k；选项B中，n1时，式子应为1；选项D中，f(k1)f(k).2用数学归纳法证明“2nn21对于nn0的正整数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取()A2B3C5 D6解析：选C令n0分别取2,3,4,5,6，依次验证即得3某个命题与正整数n有关，若nk(kN)时该命题成立，那么可推得当nk1时该命题也成立现已知当n5时该命题不成立，那么可推得()A当n6时该命题不成立B当n6时该命题成立C当n4时该命题不成立D当n4时该命题成立解析：选C如果n4时命题成立，那么由题设，n5时命题也成立上面的判断作为一个命题，那么它的逆否命题是如果n5时命题不成立，那么n4时命题也不成立原命题成立，它的逆否命题一定成立4设n为正整数，f(n)1，计算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，观察上述记录，可推测出一般结论()Af(2n) Bf(n2)Cf(2n) D以上都不对解析：选Cf(2)，f(4)f(22)2，f(8)f(23)，f(16)f(24)，f(32)f(25)，所以f(2n).5证明11)，当n2时，要证明的式子为_解析：当n2时，要证明的式子为213.答案：21时，f(2k1)f(2k)_.解析：f(2k1)1，f(2k)1，所以f(2k1)f(2k).答案：8用数学归纳法证明，对任意nN，有(12n)n2.证明：(1)当n1时，左边右边，不等式成立当n2时，左边(12)22，不等式成立(2)假设当nk(k2)时不等式成立，即(12k)k2.则当nk1时，有左边(12k)(k1)(12k)(12k)(k1)1k21(k1).当k2时，11，(*)左边k21(k1)k22k1(k1)2.这就是说当nk1时，不等成立由(1)(2)可知当n1时，不等式成立9已知数列an的前n项和Sn满足：Sn1，且an0，nN.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性解：(1)当n1时，由已知得a11，即a2a120.a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN)(2)证明：由(1)知，当n1时，通项公式成立假设当nk(kN)时，通项公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立由可知对所有nN，an都成立10设数列an满足an1anan1，n1,2,3.(1)当a12时，求a2，a3，a4，并由此猜想出an的一个通项公式；(2)当a3时，证明对所有的n1，有ann2.解：(1)由a12，得a2aa113，由a23，得a3a2a214，由a34，得a4a3a315.由此猜想an的一个通项公式：ann1(n1) (2)证明：用数学归纳法证明当n1，a1312，不等式成立假设当nk时不等式成立，即akk2，那么，当nk1时ak1ak(akk)1(k2)(k2k)1k3，也就是说，当nk1时，ak1(k1)2.根据和，对于所有n1，有ann2.
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