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2019-2020年苏教版选修2-3高中数学3.1空间向量及其运算word学案 一、学习目标1理解直线的方向向量和平面的法向量；2会用待定系数法求平面的法向量。教学重点：直线的方向向量和平面的法向量教学难点：求平面的法向量二、课前自学平面坐标系中用直线的倾斜角、斜率来刻画直线平行与垂直的位置关系。如何用向量来描述空间的两条直线、直线和平面、平面和平面的位置关系？1、直线的方向向量我们把直线上的向量（）以及与共线的非零向量叫做直线的方向向量.2、平面的法向量如果表示非零向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称向量垂直于平面，记作，此时，我们把向量叫做平面的法向量。三、问题探究例1在正方体中，求证：是平面的法向量。 变式：求平面的一个法向量。 例2如图所示，在三棱锥中，是边长为4的正三角形，SA=SC=4,平面平面，分别是的中点。（1）求平面的一个法向量；（2）求证：；（3）求平面的一个法向量. 例3在空间直角坐标系内，设平面经过点，平面的法向量为，为平面内任意一点，求满足的关系式。 四、反馈小结课本P101 练习1,2,41、直线的方向向量与平面法向量的概念；2、求平面法向量的方法。3.2.2空间线面关系的判定（1） 一、学习目标1能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；2能用向量方法证明空间线面位置关系的一些定理；3能用向量方法判断空间线面垂直关系。重点、难点：用向量方法判断空间线面垂直关系二、课前自学1、复习回顾：（1）空间直线与平面平行与垂直的定义及判定；（2）直线的方向向量与平面的法向量的定义。2、填空：设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则有如下结论：平行垂直与与与上表给出了用向量研究空间线线、线面、面面位置关系的方法，要理解掌握。三、问题探究例1证明：在平面内的一条直线，如果它和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。（三垂线定理）ABCDO已知：如图,OB是平面的斜线，O为斜足，A为垂足，求证： lmlnlgl例2证明：如果一条直线和平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。（直线与平面垂直的判定定理） 例3在直三棱柱中，, ,是得中点。 求证： 四、反馈小结在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P，使B1D面PAC？ 3.2.2空间线面关系的判定（2） 一、学习目标1能用向量语言描述线线、线面、面面的平行与垂直关系；2能用向量方法判断空间线面平行与垂直关系。重点、难点：用向量方法判断空间线面平行与垂直关系二、课前自学复习回顾：用向量研究空间线面关系，设空间两条直线的方向向量分别为，两个平面的法向量分别为，则由如下结论平行垂直与与与三、问题探究例1 如图，已知矩形和矩形所在平面互相垂直，点分别在对角线上，且,求证：平面 例2在正方体中,E,F分别是,中点，求证：平面ADE 例3已知正三棱柱的各棱长都为1，M是底面BC边的中点，N为侧棱的点。（1）当为何值时，;(2)在棱上是否存在点D，使平面,若存在，求出D的位置，若不存在，说明理由。 例4(选讲) 如图，四边形是边长为1的正方形，平面， 平面，且，E是BC的中点（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）在线段上是否存在点S，使得平面?若存在，求线段AS的长；若不存在，请说明理由。 3.2.3空间的角的计算（1）一、学习目标能用向量方法解决线线、线面的夹角的计算问题重点、难点：异线角与线面角的计算二、课前自学复习回顾：1、异面直线所成的角、线面角的定义及求解方法2、空间向量的夹角公式思考：（1）如何利用向量探求异面直线所成角？能否用两条直线的方向向量的夹角来刻画异面直线所成角？它们的关系如何？ （2）如何利用向量探求线面角？设平面的斜线l与平面所的角为1，斜线l与平面的法向量所成角2，则1与2互余或与2的补角互余。 三、问题探究例1.在正方体中,E1，F1分别在A1B1,C1D1上，且E1B1=A1B1，D1F1=D1C1，求BE1与DF1所成的角的余弦值 例2.在正方体中, F是BC的中点，点E在D1C1上,且D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值. 例3.在三棱锥SABC中，SAB=SAC=ACB=90，AC=2，BC=，SB=（1）求证：SCBC；（2）求SC与AB所成角的余弦值 四、反馈小结如图，在正方体中，E是的中点.（）求证：;（2）求与所成的角的余弦值；（3）求与平面所成的角的余弦值。 3.2.3空间的角的计算（2）一、学习目标能用向量方法解决二面角的计算问题重点、难点：二面角的计算二、课前自学复习回顾：1、二面角的定义及求解方法 2、用向量来探求线面角的方法思考：你能仿照线面角的求解，研究：如何用向量来求解二面角？一个二面角的平面角1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角2相等或互补。 注：利用向量求二面角的大小的方法：方法一：转化为分别是在二面角的两个半平面内且与棱都垂直的两条直线上的两个向量的夹角（注意：要特别关注两个向量的方向）方法二：求出二面角一个面内一点到另一个面的距离及到棱的距离，然后通过解直角三角形求角。方法三：转化为求二面角的两个半平面的法向量夹角或其补角。 三、问题探究例1在正方体中,求二面角的余弦值。例2已知E,F分别是正方体的棱BC和CD的中点，求：（1）A1D与EF所成角的大小；（2）A1F与平面B1EB所成角的余弦值大小；（3）二面角的余弦值大小。 例3在如图所示的坐标系中，正方体的棱长为2，P、Q分别是、上的动点，且.(1)确定点P、Q的位置，使得;(2)当时，求二面角的余弦值大小. 四、反馈小结1在一个二面角的一个面内有一点，它到棱的距离等于到另一个面得距离的2倍，求这个二面角的度数。2如图，在正方体中,O是底面的中心，M是的中点。（1）求证：是平面的法向量；（2）求二面角的余弦值大小。
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