资源描述
专题34数列的综合应用【学习目标】1会利用数列的函数性质解与方程、不等式、解析几何相结合的数列综合题2掌握相关的数列模型以及建立模型解决实际问题的方法【知识要点】1数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集1，2，n上的函数(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等1数列综合问题中应用的数学思想(1)用函数的观点与思想认识数列，将数列的通项公式和求和公式视为定义在正整数集或其有限子集1，2，n上的函数(2)用方程的思想处理数列问题，将问题转化为数列基本量的方程(3)用转化化归的思想探究数列问题，将问题转化为等差、等比数列来研究(4)数列综合问题常常应用分类讨论思想、特殊与一般思想、类比联想思想、归纳猜想思想等【方法总结】1.数列模型应用问题的求解策略(1)认真审题，准确理解题意.(2)依据问题情境，构造等差、等比数列，然后应用通项公式、数列性质和前n项和公式求解，或通过探索、归纳、构造递推数列求解.(3)验证、反思结果与实际是否相符.2.数列综合问题的求解程序(1)数列与函数综合问题或应用函数思想解决数列问题，或以函数为载体构造数列，应用数列理论求解.(2)数列的几何型综合问题，探究几何性质和规律特征，建立数列的递推关系式，然后求解问题.【高考模拟】一、单选题1已知为数列的前项和，若关于正整数的不等式的解集中的整数解有两个，则正实数的取值范围为（ ）A B C D 【答案】A【解析】分析：由2Sn=（n+1）an，n2时，2Sn1=nan1，则2an=2（SnSn1），整理得： ，则，可得：an=n不等式an2tan2t2，化为：（n2t）（n+t）0，t0，0n2t，关于正整数n的不等式an2tan2t2的解集中的整数解有两个，即可得出正实数t的取值范围详解：a1=1，2Sn=（n+1）an，n2时，2Sn1=nan1，2an=2（SnSn1）=（n+1）annan1，整理得：，an=n不等式an2tan2t2，化为：（n2t）（n+t）0，t0，0n2t，关于正整数n的不等式an2tan2t2的解集中的整数解有两个，可知n=1，21t，故答案为：A.点睛：本题考查数列的递推关系、不等式的性质的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.2在超市中购买一个卷筒纸，其内圆直径为4cm，外圆直径为12cm，一共卷60层，若把各层都视为一个同心圆，令=3.14，则这个卷筒纸的长度（精确到个位）为（ ）A 17m B 16m C 15m D 14m【答案】C点睛：本题主要考查等差数列前n项和公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.3我国古代数学著作九章算术由如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤斩末一尺，重二斤问次一尺各重几何？”意思是：“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤；问依次每一尺各重多少斤？”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其重量为，现将该金杖截成长度相等的10段，记第段的重量为，且，若，则（ ）A 6 B 5 C 4 D 7【答案】A【解析】分析：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为an且设公差为d，由条件和等差数列的通项公式列出方程组，求出a1和d值，由等差数列的前n项和公式求出该金杖的总重量M，代入已知的式子化简求出i的值详解：由题意知由细到粗每段的重量成等差数列，记为an，设公差为d，则，解得a1=，d=，该金杖的总重量M=10=15，48ai=5M，48（i1）=25，即39+6i=75，解得i=6，故选：A点睛：本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式的实际应用，以及方程思想，考查化简、计算能力，是基础题4删去正整数数列 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2018项是（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析：由于数列共有项，去掉个平方数后，还剩余项，所以去掉平方数后第应在后的第个数，即是原来数列的第项，从而求得结果.详解：由题意可得，这些数可以写为：，第个平方数与第个平方数之间有个正整数，而数列共有项，去掉个平方数后，还剩余个数，所以去掉平方数后第项应在后的第个数，即是原来数列的第项，即为，故选B.点睛：解决该题的关键是找出第项的大概位置，所以数列共有项这个条件非常关键，只要弄明白去掉哪些项，去掉多少项，问题便迎刃而解.55某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是()A 33个 B 65个C 66个 D 129个【答案】B【解析】设开始的细胞数和每小时后的细胞数构成的数量为，则，即数列是首项为，公比为的等比数列， ，故小时后细胞的存活数是，故选B.6中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则，例如周髀算经和易经里对二十四节气的晷(gu)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的，下表为周髀算经对二十四节气晷影长的记录，其中115.1寸表示115寸1分（1寸=10分）.已知易经中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么易经中所记录的惊蛰的晷影长应为( )A 72.4寸 B 81.4寸 C 82.0寸 D 91.6寸【答案】C【解析】设晷影长为等差数列，公差为， ， ，则，解得，易经中所记录的惊蛰的晷影长是寸，故选C.7的值为()A B C D 【答案】B【解析】设，分组求和可得：，则： .本题选择B选项.8已知数列满足， ，则数列的前40项的和为（ ）A B C D 【答案】D【解析】由已知条件得到， ， ，左右两侧累加得到 正好是数列的前40项的和，消去一些项，计算得到。故答案为D。点睛：这个题目考查的是数列的求和问题。首先数列求和选用的方法有，裂项求和，主要用于分式能够通过写成两项相减的形式从而消掉中间的项；分组求和，用于相邻两项之和是定值，或者有规律的；错位相减求和，用于一个等差一个等比乘在一起求和的数列。9将向量组成的系列称为向量列，并定义向量列的前项和若，则下列说法中一定正确的是（ ）A B 不存在，使得C 对，且，都有 D 以上说法都不对【答案】C10记 项正项数列为，其前n项积为 ，定义 为“相对叠乘积”，如果有2013项的正项数列的“相对叠乘积”为2013，则有2014项的数列 的“相对叠乘积”为( )A 2014 B 2016 C 3042 D 4027【答案】D【解析】由题意得2014项的数列10，a1，a2，a2013的“相对叠乘积”为lg10（10T1）（10T2）（10T3）（10Tn）=lg102014+lg（T1T2Tn）=2014+2013=4027故选：D点睛：本题属阅读型试题，考查利用对数的运算法则解决问题的能力及学生的阅读理解能力，解题时要认真审题，注意准确理解“叠乘积”的概念，利用对数的运算法则可得lg10（10T1）（10T2）（10T3）（10Tn）=lg102014+lg（T1T2Tn）即得解.11某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：）（ ）A 2021年 B 2020年 C 2019年 D 2018年【答案】C12定义：在数列中，若为常数）则称为“等方差数列”，下列是对“等方差数列”的有关判断（ ）若是“等方差数列”，在数列 是等差数列；是“等方差数列”；若是“等方差数列”，则数列为常）也是“等方差数列”；若既是“等方差数列”又是等差数列，则该数列是常数数列.其中正确命题的个数为( )A B C D 【答案】B【解析】：可以举反例。如an=0时数列不存在，所以错误；：对数列(2)n有不是常数，所以错误：对数列akn有，而k，p均为常数，所以数列akn也是“等方差数列”，所以正确；：设数列an首项a1，公差为d则有a2=a1+d，a3=a1+2d，所以有(a1+d)2a21=p，且(a1+2d)2(a1+d)2=p，所以得d2+2a1d=p，3d2+2a1d=p，两式相减得d=0，所以此数列为常数数列，所以正确。本题选择B选项.13一同学在电脑中打出如下若干个圈:若将此若干个圈依此规律继续下去,得到一系列的圈,那么在前120个圈中的的个数是（ ）A 12 B 13 C 14 D 15【答案】D【解析】试题分析： 由图像可得图像所示的圈可以用首项为2，公差为1的等差数列表示，前120个圈中的的个数即为，解得，前120个圈中的有个，故选D考点： 等差数列的定义及性质；等差数列前n项和公式 .14设数列的前项和，若，且，则等于（ ）A 5048 B 5050 C 10098 D 10100【答案】D【解析】试题分析：由，则，两式相减，可得，又因为，所以，所以，故选C考点：数列求和【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到数列的递推关系的应用、等差数列的通项公式、得出数列的前项和公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的思维量，属于中档试题，本题的解答中根据数列的递推关系式，求解是解得的关键15在下列表格中，每格填上一个数字后，使每一横行成等差数列，每一纵列成等比数列，则的值为 （ ）121A 1 B 2 C 3 D 4【答案】A【解析】,第三行第一列为,第四行第一列为,第四行第三列为,所以b=,第五行第一列,第五行第三列为,所以,应选A.16“泥居壳屋细莫详，红螺行沙夜生光”是宋代诗人欧阳修对鹦鹉螺的描述，美丽的鹦鹉螺呈现出螺旋线的迷人魅力假设一条螺旋线是用以下方法画成（如图）：ABC是边长为1的正三角形，曲线分别以A、B、C为圆心， 为半径画的弧，曲线称为螺旋线，然后又以A为圆心， 为半径画弧.如此下去，则所得螺旋线的总长度为A B C D 【答案】A【解析】根据弧长公式知CA1,A1A2,A2A3A3n2A3n1,A3n1A3n的长度分别为： , , ，化简得： ,2,3,3n,此数列是为首项为公差,项数为3n的等差数列,则根据等差数列的求和公式得Sn=3n+=n(3n+1)，此时n=1，易得所得螺旋线的总长度为.故选A17已知甲、乙两个容器，甲容器容量为，装满纯酒精，乙容器容量为，其中装有体积为的水（：单位： ）.现将甲容器中的液体倒人乙容器中，直至甲容器中液体倒完或乙容器盛满，搅拌使乙容器中两种液体充分混合，再将乙容器中的液体倒人甲容器中直至倒满，搅拌使甲容器中液体充分混合，如此称为一次操作，假设操作过程中溶液体积变化忽略不计.设经过次操作之后，乙容器中含有纯酒精（单位： ），下列关于数列的说法正确的是（ ）A 当时，数列有最大值B 设，则数列为递减数列C 对任意的，始终有D 对任意的，都有【答案】D【解析】当趋于正无穷时，甲、乙两容器浓度应趋于相等，当时，显然，当 时，甲容器有剩余，显然，故D正确，A，B错误，对于C，可设，则，此时，C错误.18已知定义在实数集上的函数满足，则的最大值为（ ）A B C D 【答案】B【解析】由题设可得，即，由此可得，则或，又，故，所以，则，令，则，因为，所以令可得极值点为，故当时，；当时，且，所以，即的最大值为，应选答案B。点睛：本题的求解思路是依据题设中所提供的条件信息“定义在实数集上的函数满足”，并对这个递推的等式运用演绎推理的思维模式，将其巧妙地转化为，然后再借助题设推得，从而求出，明确目标是以为变量的函数，最后借助导数求出其所有极值，则极值中最大在即为所求函数的最大值，使得问题巧妙获解。本题求解过程中体现了等价转化与化归的数学思想及构建函数的建模思想，同时换元法、从一般到特殊的演绎推理的推理论证能力也得到具体运用和展示。19已知，我们把使乘积为整数的数叫做“优数”，则在区间（1,2004）内的所有优数的和为 （ ）A 1024 B 2003 C 2026 D 2048【答案】C考点：1.对数的运算；2.等比数列的前n项和公式.二、填空题20设数列是正项数列，若，则_.【答案】【解析】数列是正项数列，且 ， 可得： ，可得则点睛：本题主要考查的知识点是数列的概念及简单表示法。通过已知的条件求出数列的通项公式，然后化简所求的数列的各项，最后再利用等差数列求出数列的和。21小明为了观看年的冬奥会，他打算从起，每年的月日到银行存入元的一年期定期储蓄，若年利率为，且保持不变，并约定每年到期存款本息均自动转为新一年的定期 年月日小明去银行继续存款元后，他的账户中一共有_元；到年的月日不再存钱而是将所有的存款和利息全部取出，则可取回_元（化简后结果）【答案】 【解析】依题意， 年月日存款元后，账户中一共有元；银行利息为单利计息，故年月日可取出钱的总数为：，22已知数列其中第一项是，接下来的两项是，再接下来的三项是，依此类推，则_【答案】【解析】由题意得数列如下： 又 是该数列的第14组的第6，7，8，9个数，分别为， .23将正整数分解成两个正整数的乘积有三种，其中是这三种分解中两数差的绝对值最小的，我们称为的最佳分解.当（且）是正整数的最佳分解时，我们定义函数，例如.则_，数列（）的前项和为_【答案】 0 【解析】由题可知数列的前项之和故答案为（1）0；（2）点睛：本题是一道新定义类题目，考查了等比数列的求和公式，解答本题的关键是理解题意，并写出函数的最佳分解.24数列的递推公式为（），可以求得这个数列中的每一项都是奇数，则_；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个3是该数列的第_项.【答案】 【解析】由题得：这个数列各项的值分别为1，1，3，1，5，3，7，1，9，5，11，3又因为即项的值为3时，下角码是首项为3，公比为2的等比数列所以第8个3是该数列的第3281=384项故答案为：18，384点睛：本题是对数列递推公式应用的考查解题时要认真审题，仔细观察，注意寻找规律，避免不必要的错误25在数1和2之间插入n个正数，使得这n+2个数构成递增等比数列，将这n+2个数的乘积记为，令 (1)数列的通项公式为=_； (2) =_【答案】 ; 由可得，又, 故答案为26函数，则数列的通项公式为_【答案】【解析】由，函数为奇函数，由为奇函数， ， ，则，+得则数列的通项公式为.点睛：数列求和的方法技巧(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数相关联的数列的求和(2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和(3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和27已知数列，满足，若，则的前项的积为_【答案】2【解析】,，,同理可得：,可得，.则的前2017项的积为.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项 28已知等差数列an中， 将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：则此数阵中第20行从左到右的第10个数是_.【答案】598【解析】等差数列an中， ， 而第1行有1个数，第2行有2个数，依此类推第19行有19个数则第19行的最后一个数是数列的第1+2+19=190项，则此数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第200项，=1+1993=598故答案为：598点睛：本题主要考查了等差数列的通项公式，解题的关键是先根据等差数列中的两项求出数列的通项，然后弄清数阵中第20行从左到右的第10个数是该数列的第几项，根据通项公式即求解.29已知数列满足： ，令，则的最小值为_【答案】1530某数学大会会徽的主体图案是由一连串直角三角形演化而成的(如图)，其中，记， ， ， 的长度构成的数列为，则的通项公式_.【答案】【解析】根据题意：OA1=A1A2=A2A3=A7A8=1，是以1为首项，以1为公差的等差数列.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项31数列、满足，且、是函数的两个零点，则_，当时， 的最大值为_【答案】 5；【解析】由已知可得 又的最大值为.32如图所示的数阵中，用表示第行的第个数，则以此规律为_【答案】【解析】由题可令每一行的第一个数的分母为，则有，利用累加法，可得从第三行起，每一行的第二个数的分母都等于前一行的第一个数的分母和第二个数的分母之和令从第三行开始第二个数字为，则，将所有等式的左边和右边分别相加得，所以所以故本题应填33等差数列， 的前n项和分别为和，若则_【答案】.【解析】试题分析：根据等差数列的性质，由.考点：等差数列的性质.三、解答题34已知数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和；（3）令，问是否存在正整数使得成等差数列？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）存在.【解析】分析：（1），代入表达式化简即可得到；（2），错位想减求和即可；（3）假设存在使得为等差数列，得到，变形为，分析式子的奇偶性得到结果.详解：（1） , 当时满足上式, 故.（2）, , 由得： , . （3）假设存在使得为等差数列，则 ， * 由且则为奇整数， ， 又由 则代入*式得, 故存在使得为等差数列 .点睛：这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。35设正数列的前项和为，且.（1）求数列的通项公式.（2）若数列，设为数列的前项的和，求.（3）若对一切恒成立，求实数的最小值.【答案】（1）（2）（3）【解析】分析：（1）利用的关系，求解（2）裂项相消求解（3）分离变量转化为求的最值。详解：（1）正数列的前项和为，且，解得，当时，.（2）， （3）对一切恒成立， 当且仅当时取等号，故实数的最小值为点睛：，一定要注意，当时要验证是否满足数列。求分式结构，数列为等差数列的前项和，用裂项相消。36已知函数，.（1）当时，恒成立，试求实数的取值范围；（2）若数列满足：，证明：.【答案】（1）；（2）见解析【解析】分析：（1）求出，构造函数，求导分类讨论即可；（2），所以，由（1）知，在上单调递增，且，即可证明.则，令，则，在上单调递增，在上也单调递增，当时，在上单调递增，恒成立，当时，在上单调递减，在上单调递增，而，所以在不恒成立，故实数的取值范围是；（2），所以，若，则，由（1）知，在上单调递增，且，即当时，.点睛：利用导数证明不等式的方法(1)证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是减函数，同时若F(a)0，由减函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)(2)证明f(x)g(x)，x(a，b)，可以构造函数F(x)f(x)g(x)，如果F(x)0，则F(x)在(a，b)上是增函数，同时若F(a)0，由增函数的定义可知，x(a，b)时，有F(x)0，即证明了f(x)g(x)37（题文）（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题）已知等差数列an和等比数列bn均不是常数列，若a1b11，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列（1）求an和bn的通项公式；（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（ijk），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求mn的最小值；（3）令cn，记cn的前n项和为Tn， 的前n项和为An若数列pn满足p1c1，且对n2, nN*，都有pnAncn，设pn的前n项和为Sn，求证：Sn44lnn【答案】（1）（2） 或 （3）见解析【解析】分析：（1）设等差数列的公差为d（d0），等比数列在公比为q（q1）根据等差等比的通项公式化为首项和公差公比的关系求出公差公比记得到通项；（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有， 即 ，化简得， 可得 ， 即，然后结合m，n进行讨论求值即可；（3）结合错位相减法求和，在结合函数的思维构造不等式可得结论. 解：（1）设等差数列的公差为d（d0），等比数列在公比为q（q1），由题意得：解得d1，q2， 所以.当1m2时，不等式不成立；当 或 时 成立； 当时，即，则有；所以的最小值为6，当且仅当，且 或 时取得 （3）由题意得： （1） （2）（1）（2）得 ， 求得 ，所以 ，设，则，所以 在上单调递增，有，可得 . 当，且N*时，有 ， 所以，可得，所以.点睛：考查等差等比得通项和综合运用，错位相减法求和，构造函数与数列结合证明不等式，对学生的分析思维和解决问题的能力有较高要求，属于难题.38根据预测，某地第 个月共享单车的投放量和损失量分别为和（单位：辆），其中，第个月底的共享单车的保有量是前个月的累计投放量与累计损失量的差. （1）求该地区第4个月底的共享单车的保有量；（2）已知该地共享单车停放点第个月底的单车容纳量（单位：辆）. 设在某月底，共享单车保有量达到最大，问该保有量是否超出了此时停放点的单车容纳量？【答案】（1）935；（2）见解析.【解析】试题分析：（1）计算和的前项和的差即可得出答案；（2）令得出，再计算第个月底的保有量和容纳量即可得出结论.
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