2018-2019学年高中数学 第三章 三角函数 3.3 三角函数的图像与性质 3.3.1 正弦函数、余弦函数的图象与性质（二）学案 湘教版必修2.doc

3.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)学习目标1.掌握ysinx与ycosx的定义域，值域，最值、单调性、奇偶性等性质，并能解决相关问题.2.掌握ysinx，ycosx的单调性，并能利用单调性比较大小.3.会求函数yAsin(x)及yAcos(x)的单调区间知识链接1观察正弦曲线和余弦曲线的对称性，你有什么发现？答正弦函数ysinx的图象关于原点对称，余弦函数ycosx的图象关于y轴对称2上述对称性反映出正弦、余弦函数分别具有什么性质？如何从理论上加以验证？答正弦函数是R上的奇函数，余弦函数是R上的偶函数根据诱导公式得，sin(x)sinx，cos(x)cosx均对一切xR恒成立3观察正弦曲线和余弦曲线，正弦、余弦函数是否存在最大值和最小值？若存在，其最大值和最小值分别为多少？答正弦、余弦函数存在最大值和最小值，分别是1和1.预习导引正弦函数、余弦函数的性质(下表中kZ)：函数ysinxycosx图象定义域RR值域1,11,1对称轴xkxk对称中心(k，0)奇偶性奇函数偶函数单调递增单调递减最值在x2k时，ymax1；在x2k时，ymin1在x2k时，ymax1；在x2k时，ymin1要点一求正弦、余弦函数的单调区间例1求函数y2sin的单调递增区间解y2sin2sin，令zx，则y2sinz.因为z是x的一次函数，所以要求y2sinz的递增区间，即求sinz的递减区间，即2kz2k(kZ)2kx2k(kZ)，2kx2k(kZ)，函数y2sin的递增区间为(kZ)规律方法用整体替换法求函数yAsin(x)或yAcos(x)的单调区间时，如果式子中x的系数为负数，先利用诱导公式将x的系数变为正数再求其单调区间再将最终结果写成区间形式跟踪演练1求下列函数的单调递增区间：(1)y12sin；(2)ylogcosx.解(1)y12sin12sin.令ux，则根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是ysinu的单调递减区间，即2ku2k(kZ)，亦即2kx2k(kZ)亦即2kx2k(kZ)，故函数y12sin的单调递增区间是(kZ)(2)由cosx0，得2kx2k，kZ.01，函数ylogcosx的单调递增区间即为ucosx，x(kZ)的递减区间，2kx2k，kZ.故函数ylogcosx的单调递增区间为(kZ)要点二正弦、余弦函数的单调性的应用例2利用三角函数的单调性，比较下列各组数的大小(1)sin与sin；(2)sin196与cos156；(3)cos与cos.解(1)sin.(2)sin196sin(18016)sin16，cos156cos(18024)cos24sin66，0166690，sin16sin66，即sin196cos156.(3)coscoscos(4)cos，coscoscoscos.0，且ycosx在0，上是减函数，coscos，即coscos.规律方法用正弦函数或余弦函数的单调性比较大小时，应先将异名化同名，把不在同一单调区间内的角用诱导公式转化到同一单调区间，再利用单调性来比较大小跟踪演练2比较下列各组数的大小(1)sin与sin；(2)cos870与sin980.解(1)sinsinsin，sinsinsin，ysinx在上是增函数，sinsin，即sinsin.(2)cos870cos(720150)cos150，sin980sin(720260)sin260sin(90170)cos170，0150170cos170，即cos870sin980.要点三求正弦、余弦函数的最值(值域)例3(1)求函数y32sinx取得最大值、最小值时的自变量x的集合，并分别写出最大值、最小值；(2)求函数f(x)2sin2x2sinx，x的值域解(1)1sinx1，当sinx1，即x2k，kZ时，y取得最大值5，相应的自变量x的集合为.当sinx1，即x2k，kZ时，y取得最小值1，相应的自变量x的集合为.(2)令tsinx，yf(t)，x，sinx1，即t1.y2t22t221，1y，函数f(x)的值域为.规律方法(1)形如yasin xb(或yacos xb)的函数的最值或值域问题，利用正弦、余弦函数的有界性(1sin x，cos x1)求解求三角函数取最值时相应自变量x的集合时，要注意考虑三角函数的周期性(2)求解形如yasin2xbsin xc(或yacos2xbcos xc)，xD的函数的值域或最值时，通过换元，令tsin x(或cos x)，将原函数转化为关于t的二次函数，利用配方法求值域或最值即可求解过程中要注意tsin x(或cos x)的有界性跟踪演练3已知0x，求函数ycos2x2acosx的最大值M(a)与最小值m(a)解设cosxt，0x，0t1.yt22at(ta)2a2，当a0时，M(a)12a，m(a)0；当0a时，M(a)12a，m(a)a2；当asinBsin3sin2CsinsinDsin2cos1答案D解析sin2coscos，且021cos1，即sin2cos1.故选D.3函数ycos，x的值域是()A.B.C.D.答案B解析0x，x.coscoscos，y.故选B.4设asin33，bcos55，ctan35，则()AabcBbcaCcbaDcab答案C解析asin33，bcos55sin35，ctan35，又0cos35ba.1.求函数yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法是：把x看成一个整体，由2kx2k (kZ)解出x的范围，所得区间即为增区间，由2kx2k (kZ)解出x的范围，所得区间即为减区间若0，先利用诱导公式把转化为正数后，再利用上述整体思想求出相应的单调区间2比较三角函数值的大小，先利用诱导公式把问题转化为同一单调区间上的同名三角函数值的大小比较，再利用单调性作出判断3求三角函数值域或最值的常用求法：将y表示成以sinx(或cosx)为元的复合函数再利用换元或配方或利用函数的单调性等来确定y的范围一、基础达标1若ysinx是减函数，ycosx是增函数，那么角x在()A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限答案C2若，都是第一象限的角，且sinBsinsinCsinsinDsin与sin的大小不定答案D3函数y2sin2x2cosx3的最大值是()A1B1CD5答案C解析由题意，得y2sin2x2cosx32(1cos2x)2cosx322.1cosx1，当cosx时，函数有最大值.4对于下列四个命题：sinsin；coscos；sin1380.2k2k(kZ)整理得4kx4k(kZ)所以函数ylogcos的单调递增区间是(kZ)二、能力提升8函数y2sinx的单调增区间是()A2k，2k(kZ)B2k，2k(kZ)C2k，2k(kZ)D2k，2k(kZ)答案A解析函数y2x为增函数，因此求函数y2sinx的单调增区间即求函数ysinx的单调增区间9M，N是曲线ysinx与曲线ycosx的两个不同的交点，则|MN|的最小值为()AB.C.D2答案C解析在同一坐标系中画出函数ysinx与ycosx的图象，如图所示，则|MN|的最小值为|PQ|.又P(，)，Q(，)，故|PQ|.10sin1，sin2，sin3按从小到大排列的顺序为_答案sin3sin1sin2解析123，sin(2)sin2，sin(3)sin3.ysinx在上递增，且0312，sin(3)sin1sin(2)，即sin3sin1sin2.11已知是正数，函数f(x)2sinx在区间，上是增函数，求的取值范围解由2kx2k(kZ)，得x.f(x)的单调递增区间是，kZ.根据题意，得，从而有解得0.故的取值范围是(0，12判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)sin；(2)f(x)；(3)f(x)lg(sinx)解(1)函数定义域为R，且f(x)sinsincos2x，显然有f(x)f(x)恒成立函数f(x)sin为偶函数(2)由2sinx10，即sinx，得函数定义域为(kZ)，此定义域在x轴上表示的区间不关于原点对称该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数(3)函数定义域为R.f(x)lg(sinx)lglgf(x)，函数f(x)lg(sinx)为奇函数三、探究与创新13设函数y2cos，x，若该函数是单调函数，求实数a的最大值解由2kx2k(kZ)得4kx4k(kZ)函数的单调递增区间是(kZ)，同理函数的单调递减区间是(kZ)令，即k，又kZ，k不存在令，得k1.，这表明y2cos在上是减函数，a的最大值是.