2018-2019学年高二数学上学期期中试卷 理(含解析) (I).doc

xx-2019学年高二数学上学期期中试卷 理(含解析) (I)一、选择题(每小题5分,共60分)1.设平面的一个法向量为，平面的一个法向量为，若，则 ( )A. 2 B. -4 C. -2 D. 4【答案】D【解析】【分析】根据平面平行得法向量平行，再根据向量平行坐标表示得结果.【详解】因为，所以，解之得，应选答案D【点睛】本题考查向量平行坐标表示，考查基本求解能力，属基础题.2.下列说法错误的是（ ）A. 对于命题，则B. “”是“”的充分不必要条件C. 若命题为假命题，则都是假命题D. 命题“若x23x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x1，则x23x+20”【答案】C【解析】【分析】根据命题的否定、充要关系判定方法、复合命题真值表、逆否命题的概念进行判断选择.【详解】根据全称命题的否定是特称命题知A正确；由于x=1可得x2-3x+2=0，而由x2-3x+2=0得x=1或x=2，所以“x=1”是“x2-3x+2=0”的充分不必要条件正确；命题pq为假命题，则p,q不一定都是假命题，故C错；根据逆否命题的定义可知D正确，故选C.【点睛】本题考查命题的否定、充要关系判定方法、复合命题真值表、逆否命题的概念，考查基本分析辨别能力，属基础题.3.已知双曲线的方程为y24x29=1，则下列关于双曲线说法正确的是（ ）A. 虚轴长为4 B. 焦距为25C. 离心率为233 D. 渐近线方程为2x3y=0【答案】D【解析】【分析】根据题意，由双曲线的标准方程依次分析选项，综合即可得答案.【详解】根据题意，依次分析选项：对于A，双曲线的方程为y24-x29=1，其中b=3，虚轴长为6，则A错误；对于B，双曲线的方程为y24-x29=1，其中a=2，b=3，则c=4+9=13，则焦距为213，则B错误；对于C，双曲线的方程为y24-x29=1，其中a=2，b=3，则c=4+9=13，则离心率为e=ca=132，则C错误；对于D，双曲线的方程为y24-x29=1，其中a=2，b=3，则渐近线方程为2x3y=0，则D正确.故选：D.【点睛】本题考查双曲线虚轴长、焦距、离心率以及渐近线方程等概念，考查基本分析求解能力，属基础题.4.当n=4时，执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）A. 6 B. 8 C. 14 D. 30【答案】D【解析】第一次循环，s=2,k=2，第二次循环，s=6,k=3，第三次循环，s=14,k=4，第四次循环，s=30,k=5，54结束循环，输出s=30，故选D5.抛物线y2=2px(p0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值为1，则p=（ ）A. 12 B. 1C. 2 D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意结合抛物线的定义确定点的位置，然后求解p的值即可.【详解】抛物线y2=2px(p0)上的动点Q到其焦点的距离的最小值即到准线的最小值，很明显满足最小值的点为抛物线的顶点，据此可知：p2=1,p=2.本题选择C选项.【点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.下列命题中是真命题的是()A. 分别表示空间向量的两条有向线段所在的直线是异面直线，则这两个向量不是共面向量B. 若|a|=|b|，则a,b的长度相等而方向相同或相反C. 若向量AB,CD，满足|AB|CD|，且AB与CD同向，则ABCDD. 若两个非零向量AB与CD满足AB+CD=0，则AB/CD【答案】D【解析】【分析】由题意逐一考查所给的说法是否正确即可.【详解】因为空间任两向量平移之后可共面，所以空间任意两向量均共面，选项A错误；因为a=b仅表示与b的模相等，与方向无关，选项B错误；因为空间向量不研究大小关系，只能对向量的长度进行比较，因此也就没有ABCD这种写法，选项C错误；AB+CD=0，AB=-CD，AB与CD共线，故AB /CD，选项D正确.本题选择D选项.【点睛】本题主要考查向量平移的性质，向量模的定义的理解，向量共线的定义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.7.已知抛物线y=12x2的焦点与椭圆y2m+x22=1的一个焦点重合，则m=（ ）A. 74 B. 12764 C. 94 D. 12964【答案】C【解析】【分析】先求抛物线的焦点，再根据椭圆焦点列方程解得结果.【详解】 抛物线y=12x2的焦点为(0,12)m2=(12)2m=94故选C【点睛】本题考查椭圆与抛物线相关性质，考查基本分析求解能力，属基础题.8.已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任一点O,下列条件中能确定点M与点A,B,C一定共面的是( )A. OM=OA+OB+OC B. OM=2OAOBOCC. OM=OA+12OB+13OC D. OM=12OA+13OB+16OC【答案】D【解析】【分析】根据点M与点A,B,C共面，可得x+y+z=1，验证选项，即可得到答案.【详解】设OM=xOA+yOB+zOC，若点M与点A,B,C共面,则x+y+z=1，只有选项D满足，.故选D.【点睛】本题主要考查了向量的共面定理的应用，其中熟记点M与点A,B,C共面时，且OM=xOA+yOB+zOC,则x+y+z=1是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.9.设D为椭圆x2+y25=1上任意一点，A0,2，B0，2，延长AD至点P，使得|PD|=|BD|，则点P的轨迹方程为（ ）A. x2+(y2)2=20 B. x2+(y+2)2=20C. x2+(y2)2=5 D. x2+(y+2)2=5【答案】B【解析】【分析】先根据椭圆定义得|DA|+|DB|=25，再根据条件得PA=25，最后根据圆的定义得轨迹方程.【详解】 D为椭圆x2+y25=1上任意一点,且A,B为椭圆的焦点，|DA|+|DB|=2a=25 ，又|PD|=|BD|，PA=PD+|DA|=|DA|+|DB|=25，所以点P的轨迹方程为x2+(y+2)2=20.选B.【点睛】求点的轨迹方程的基本步骤是：建立适当的平面直角坐标系，设P（x，y）是轨迹上的任意一点；寻找动点P（x，y）所满足的条件；用坐标（x，y）表示条件，列出方程f（x，y）=0；化简方程f（x，y）=0为最简形式；证明所得方程即为所求的轨迹方程，注意验证.有时可以通过几何关系得到点的轨迹，根据定义法求得点的轨迹方程.10.已知椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)，点A,B是长轴的两个端点，若椭圆上存在点P，使得APB=120，则该椭圆的离心率的最小值为（ ）A. 22 B. 32 C. 63 D. 34【答案】C【解析】【分析】根据椭圆几何性质得短轴端点（设为M）对长轴张角最大，即得AMBAPB,再根据tanOMA=ab,解得离心率的最小值.【详解】设M为椭圆短轴一端点，则由题意得AMBAPB=1200,即AMO600,因为tanOMA=ab，所以abtan600=3a3b,a23(a2-c2)，2a23c2,e223,e63,选C.【点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a,b,c的方程或不等式，再根据a,b,c的关系消掉b得到a,c的关系式，而建立关于a,b,c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.11.已知直线y=kx1与双曲线x2y2=4的右支有两个交点，则k的取值范围为（ ）A. 0,52 B. 1,52 C. 52,52 D. 1,52【答案】D【解析】【分析】根据双曲线的渐近线和切线的方程得出k的范围【详解】由x2-y2=4得双曲线的渐近线方程为y=x，根据图象可得当1k1时，直线与双曲线的右支只有1个交点，当k1时，直线与双曲线右支没有交点，把y=kx1代入x2y2=4得：（1k2）x+2kx5=0，令=4k2+20（1k2）=0，解得k=52或k=52（舍）1k52时直线与双曲线的右支有2个交点.故选：D【点睛】本题考查了双曲线的简单几何性质，直线与双曲线位置关系，考查数形结合思想以及综合分析求解能力，属于中档题12.已知四棱锥PABCD中， AB=4,2,3， AD=4,1,0， AP=6,2,8，则点P到底面ABCD的距离为（ ）A. 2613 B. 2626 C. 1 D. 2【答案】D【解析】【分析】先求平面ABCD一个法向量，再根据向量投影得结果.【详解】设n=x,y,z是平面ABCD的一个法向量，则由题设nAB=0nAD=0，即4x2y+3z=04x+y=0x=1y=4z=43，即n=1,4,43，由于nAP=6+8323=263,n=1+16+169=133,AP=100=10，所以cosnAP=15，故点P到平面ABCD的距离d=APcosnAP=1015=2，应选答案D【点睛】本题考查平面法向量以及利用向量投影求点到平面距离，考查基本分析求解能力，属中档题.二、填空题（每小题5分，共20分）13.银川一中开展小组合作学习模式，高二某班某组王小一同学给组内王小二同学出题如下：若命题“xR,x2+2x+m0”是假命题，求m范围.王小二略加思索，反手给了王小一一道题：若命题“xR,x2+2x+m0”是真命题，求m范围.你认为，两位同学题中m范围是否一致？_（填“是”、“否”中的一种）【答案】是【解析】【分析】根据命题的否定关系确定结果.【详解】因为xR,x2+2x+m0得否定为xR,x2+2x+m0，因此命题“xR,x2+2x+m0”是假命题，与命题“xR,x2+2x+m0”是真命题是等价关系，即两位同学题中m范围一致.【点睛】本题考查命题与命题否定真假关系，考查基本分析判断能力，属基础题.14.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，若CA=a，CB=b，CC1=c，则A1B=_.（用a,b,c表示）【答案】a+bc 【解析】【分析】根据向量减法以及加法平行四边形法则可得结果.【详解】A1B=CBCA1=CB(CA+CC1)=a+bc.【点睛】本题考查向量减法以及加法平行四边形法则，考查基本求解能力，属基础题.15.已知椭圆C:x216+y2b2=1(4b0)的左右焦点为F1,F2，离心率为32，若P为椭圆上一点，且F1PF2=90，则F1PF2面积为_【答案】4【解析】【分析】先根据离心率解得b,c，再根据椭圆定义以及勾股定理解得F1P与|PF2|，最后根据面积公式得结果.【详解】因为离心率为32，所以ca=32,a=4c=23,b=2，因为F1PF2=90，所以F1P2+|PF2|2=(2c)2=48,由椭圆定义得F1P+PF2=2a=8,所以2F1PPF2=(F1P+PF2)2-(F1P2+PF22)=64-48=16,即F1PPF2=8，F1PF2面积为12F1PPF2=4.【点睛】本题考查椭圆定义以及解焦点三角形，考查基本分析求解能力，属中档题.16.若关于x,y的方程x24t+y2t1=1表示的是曲线C,给出下列四个命题:若C为椭圆,则1t4或t1;曲线C不可能是圆;若C表示椭圆,且长轴在x轴上,则1t0t104tt1，解得1t4且t52所以不正确对于，若C为双曲线，则有4tt14或tt10，解得1t52，所以不正确综上只有正确答案：三、解答题（共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.设p：实数x满足x24ax+3a20，q：实数x满足x30且p是q的充分不必要条件，求实数a的取值范围.【答案】（1）2,3；（2）43,2【解析】【分析】（1）pq为真，则两者都为真，分别求解两个命题，结果取交集.（2）p是q的充分不必要条件，即p可以推导出q，而q不能推导出p.则p命题中的集合是q命题中的集合的子集.【详解】(1)由x24ax+3a20得(xa)(x3a)0，当a=1时,1x3，即p为真时，x1,3.由x31,得1x31,得2x4，即q为真时，x2,4.若pq为真,则p真且q真,所以实数x的取值范围是2,3.(2)由x24ax+3a20得(xa)(x3a)0，ax3a.由x31,得1x31,得2x4.设A=x|xa或x3a,B=x|x2或x4,若p是q的充分不必要条件，则A是B的真子集，故0a23a4，所以实数的取值范围为43,2.【点睛】将命题之间的充分必要性转化为集合之间的关系是解此类题的基本思路.18.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，点E,F,G分别是AB,AD,CD的中点，设AB=a，AC=b,AD=c,a，b,c为空间向量的一组基底，计算：（1）EFBA;（2）|EG|.【答案】(1) 14；（2）22 .【解析】【分析】（1）先根据条件确定a，b,c的模以及相互之间的夹角，再根据向量共线以及加减法表示EF，BA，最后根据向量数量积求结果，（2）根据向量减法表示EG，再根据向量模的定义以及向量数量积求结果.【详解】(1） 因为空间四边形ABCD的每条边和对角线都等于1，所以|a|=|b|=|c|=1,=3 ，因为点E,F分别是AB,AD的中点，所以EF=12BD=12(ADAB)=12(ca)，EFBA =12(ca)(a)=12(1112+1)=14（2）因为EG=EF+FG=12(ca)+12b，所以|EG|=12(ca+12b)2=121+1+12111221112+21112=22.【点睛】本题考查向量表示以及向量数量积，考查基本分析求解能力，属基础题.19.已知椭圆E: x2a2+y2b2=1(ab0)的左、右焦点分别为F1c,0，F2c,0，直线x=c交椭圆E于A，B两点，ABF1的周长为16，AF1F2的周长为12.（1）求椭圆E的标准方程与离心率；（2）若直线与椭圆E交于C,D两点，且P2,2是线段CD的中点，求直线的一般方程.【答案】(1) 椭圆E的标准方程为x216+y212=1，离心率e=12 (2) 3x+4y14=0【解析】【分析】(1)根据椭圆定义得4a=16 ，2a+2c=12 ，解方程组得a,b,c 即得椭圆方程以及离心率，(2)根据点差法得直线的斜率，再根据点斜式得直线方程.【详解】（1）由题知4a=162a+2c=12a2=b2+c2，解得a=4b=23c=2椭圆E的标准方程为x216+y212=1，离心率e=ca=12.（2）由（1）知A2,3,B2,-3，易知直线的斜率存在，设为k，设Cx1，y1,Dx2，y2,则x1216+y1212=1x2216+y2212=1， x12-x2216+y12-y2212=0x1-x2x1+x216+y1-y2y1+y212=0，又P2,2是线段CD的中点x1+x2=4,y1+y2=4k=y1-y2x1-x2=-34，故直线的方程为y-2=-34x-2，化为一般形式即： 3x+4y-14=0.【点睛】本题考查直线与椭圆位置关系以及点差法解决中点弦方程问题，考查基本分析求解能力，属中档题.20.已知P23,263是椭圆C1:x2a2+y2b2=1(ab0)与抛物线E:y2=2px(p0)的一个公共点，且椭圆与抛物线具有一个相同的焦点F（1）求椭圆C1及抛物线E的方程；（2）设过F且互相垂直的两动直线l1,l2，l1与椭圆C1交于A,B两点，l2与抛物线E交于C,D两点，求四边形ACBD面积的最小值【答案】（）椭圆C的方程为x24+y23=1，抛物线E的方程为y2=4x；（）见解析.【解析】【分析】(1)先求p ，即得c，再将点P坐标代入椭圆方程，解方程组得a,b，即得结果，(2)根据垂直条件得SACBD=12ABCD，设直线l1的方程y=kx-1，与椭圆方程联立方程，结合韦达定理以及弦长公式解得AB，类似可得CD,最后根据二次函数性质求最值.【详解】（）P23,263抛物线E：y2=2pxp0一点p=2，即抛物线E的方程为y2=4x，F1,0a2-b2=1 又P23,263在椭圆C：x2a2+y2b2=1上49a2+83b2=1，结合a2-b2=1知b2=3（负舍）， a2=4，椭圆C的方程为x24+y23=1，抛物线E的方程为y2=4x.（）由题可知直线l1斜率存在，设直线l1的方程y=kx-1，Ax1,y1,Bx2,y2,Cx3,y3,Dx4,y4当k=0时，AB=4，直线l2的方程x=1，CD=4，故SACBD=12ABCD=8当k0时，直线l2的方程为y=-1kx-1，由y=kx-1x24+y23=1得3+4k2x2-8k2x+4k2-12=0.x1+x2=8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2由弦长公式知AB=1+k2x1-x2=1+k2x1+x22-4x1x2 =12k2+14k2+3.同理可得CD=4k2+1. SACBD=12ABCD=1212k2+14k2+34k2+1=24k2+124k2+3.令t=k2+1,t1,+，则SACBD=24t24t-1=244t-1t2=24-1t-22+4，当t1,+时，1t0,1,-1t-22+4243=8综上所述：四边形ACBD面积的最小值为8.【点睛】解析几何中的最值是高考的热点，在圆锥曲线的综合问题中经常出现，求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中，抓住函数关系，将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数，然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.21.如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底ABCD，AB=BC=12AD,BAD=ABC=90o, E是PD的中点。（1）证明：直线CE/平面PAB；（2）点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45o，求二面角MABD的余弦值。【答案】（1）见解析；（2）105【解析】试题分析：（1） 取PA的中点F，连结EF，BF，由题意证得CEBF，利用线面平行的判断定理即可证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求得半平面的法向量：m=(0,6,2)，n=0,0,1，然后利用空间向量的相关结论可求得二面角MABD的余弦值为105试题解析：（1）取PA中点F，连结EF，BF因为E为PD的中点，所以EFAD,EF=12AD,由BAD=ABC=90得BCAD，又BC=12AD所以EFBC四边形BCEF为平行四边形， CEBF又BF平面PAB，CE平面PAB，故CE平面PAB（2）由已知得BAAD,以A为坐标原点，AB的方向为x轴正方向，AB为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,则则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，1，3)，PC=(1，0，-3),AB=(1，0，0)则BM=(x-1，y，z),PM=(x，y-1，z-3)因为BM与底面ABCD所成的角为45，而n=(0，0，1)是底面ABCD的法向量，所以cosBM,n=sin450，z(x-1)2+y2+z2=22即（x-1）+y-z=0又M在棱PC上，学|科网设PM=PC,则x=,y=1,z=3-3由，得x=1+22y=1z=-62(舍去)，x=1-22y=1z=62所以M1-22,1，62，从而AM=1-22,1，62设m=x0,y0,z0是平面ABM的法向量，则mAM=0mAB=0即2-2x0+2y0+6z0=0x0=0所以可取m=（0，-6，2）.于是cosm,n=mnmn=105因此二面角M-AB-D的余弦值为105点睛:（1）求解本题要注意两点：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，利用方程思想进行向量运算，要认真细心、准确计算（2）设m，n分别为平面，的法向量，则二面角与互补或相等，故有|cos |cos|=mnmn求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角22.如图，已知离心率为22的椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)过点P(2,1)作两条互相垂直的直线，分别交椭圆于A,B两点.（1）求椭圆C方程；（2）求证：直线AB过定点，并求出此定点的坐标.【答案】（I）x26+y23=1（II）(23,-13)【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，解得a,b，即得结果，（2）设直线AB方程为y=kx+m，A(x1,y1),B(x2,y2)，则根据PAPB=0得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0，再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简得3m+2k+1=0，最后根据直线方程点斜式得定点.【详解】（1）依题意：有4a2+1b2=1ca=22解得a2=6b2=3，所以椭圆C的方程为x26+y23=1（2）易知直线AB的斜率是存在的，故设直线AB方程为y=kx+m由y=kx+mx26+y23=1得：(2k2+1)x2+4mkx+2m2-6=0设A(x1,y1),B(x2,y2)，则x1+x2=-4mk2k2+1,x1x2=2m2-62k2+1设PAPB=0得(x1-2)(x2-2)+(y1-1)(y2-1)=0即(x1-2)(x2-2)+(kx1+m-1)(kx2+m-1)=0得(k2+1)x1x2+(km-k-2)(x1+x2)+m2-2m+5=0代入可得：即即即因直线AB不过点，知，故所以直线过定点【点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.