随机变量的相关系数和相关性.ppt

1 第四节 随机变量的相关系数和相关性 2 对随机向量来说 除了研究每个分量的数学期望和方差以外 还希望知道分量之间的相关程度 因此引进协方差和相关系数这两个概念 定义 计算公式 一 协方差的概念及其性质 其中 3 协方差的性质 1 对称性 2 线性性 3 若X和Y相互独立 则 因为X和Y相互独立 注意 反之未必成立 4 4 类似地有 推广 因此 若X1 X2 Xn两两独立 则有 5 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系 但它还受X与Y本身度量单位的影响 例如 Cov kX kY k2Cov X Y 为了消除量纲的影响 下面提出随机变量标准化的概念 可以验证 标准化随机变量消除了量纲的影响 二 相关系数的概念及其性质 6 定义 设D X 0 D Y 0 计算公式 7 设 X Y 的联合分布律为 例1 解 先求出边缘分布 8 9 设 X Y 的联合密度函数为 例2 解 先求出边缘密度 10 类似地 11 12 注 实际上 本题不必求边缘密度 可以直接用以下公式计算E X E Y 等 实际上 第一种方法限定了求积分的次序 有时不方便 13 性质1 证 性质2 证 相关系数的性质 14 性质2 证 15 例3 解 16 例3 解 17 18 相关系数是随机变量之间线性关系强弱的一个度量 参见如下的示意图 的值越接近于1 Y与X的线性相关程度越高 的值越接近于0 Y与X的线性相关程度越弱 三 随机变量的线性相关性 19 定义 下列事实彼此等价 若X与Y相互独立 则X与Y不相关 定理 注意 2 在正态分布的场合 独立性与不相关性是一致的 1 逆命题不成立 即X与Y不相关时 不一定独立 20 二维正态分布 前面已证 X Y相互独立 可以计算得 于是 对二维正态随机变量 X Y 来说 X和Y不相关与X和Y相互独立是等价的 21 例4 设 X Y 的分布律为 所以 这表示X Y不存在线性关系 但 知X Y不独立 事实上 X Y具有非线性关系 22 证 即A与B相互独立 例5 23 即A与B相互独立 故X和Y相互独立 24 即 X Y 服从单位圆 上的均匀分布 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 试验证X和Y是不相关的 但X和Y不是相互独立的 解 边缘密度为 例6 25 边缘密度为 同理 即X和Y不独立 奇函数 同理 26 或利用对称性 所以 即X和Y不相关 27 练习 P131习题四 28 补充题 1 2 设 X Y 的联合密度函数为 3 设A B是二随机事件 试证明X和Y不相关的充分必要条件是A与B独立 并定义随机变量X Y如下 29 证 补1 30 设A B是二随机事件 试证明X和Y不相关的充分必要条件是A与B独立 记 则 XY的可能取值为 1 1 并且 并定义随机变量X Y如下 证 补2 31 所以 因此 即X和Y不相关的充分必要条件是A与B独立 32 设 X Y 的联合密度函数为 解 先求出边缘密度 补3 33 类似地 34 35 或解 不求出边缘密度 其余同解法一