备战2019高考数学大二轮复习 专题五 立体几何 5.3 立体几何中的向量方法课件 理.ppt

5 3立体几何中的向量方法 命题热点一 命题热点二 命题热点三 用空间向量证明空间的平行与垂直 思考 如何用空间向量证明空间的平行与垂直 例1已知直三棱柱ABC A1B1C1中 AC BC D为AB的中点 AC BC BB1 1 求证 BC1 AB1 2 求证 BC1 平面CA1D 命题热点一 命题热点二 命题热点三 证明 如图 以C1为原点 C1A1 C1B1 C1C所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 由AC BC BB1 设AC 2 则A 2 0 2 B 0 2 2 C 0 0 2 A1 2 0 0 B1 0 2 0 C1 0 0 0 D 1 1 2 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思用向量方法证明空间线面位置关系的方法 设直线l1 l2的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为e1 e2 A B C分别为平面 内的相异且不共线的三点 其中l1与l2不重合 与 不重合 则 1 l1 l2 a b 存在实数 使b a a 0 l1 l2 a b a b 0 2 l1 a e1 存在实数 使e1 a a 0 l1 a e1 0 存在非零实数 1 2 使a 1 3 e1 e2 存在实数 使e2 e1 e1 0 e1 e2 e1 e2 0 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练1在直三棱柱ABC A1B1C1中 ABC 90 BC 2 CC1 4 点E在线段BB1上 且EB1 1 D F G分别为CC1 C1B1 C1A1的中点 求证 1 B1D 平面ABD 2 平面EGF 平面ABD 证明 1 以B为坐标原点 BA BC BB1所在直线分别为x轴 y轴 z轴建立空间直角坐标系 如图 则B 0 0 0 D 0 2 2 B1 0 0 4 设BA a 则A a 0 0 命题热点一 命题热点二 命题热点三 即B1D EG B1D EF 又EG EF E 因此B1D 平面EGF 结合 1 可知平面EGF 平面ABD 命题热点一 命题热点二 命题热点三 利用向量求空间角 思考 如何用空间向量求空间角 例2如图 四棱锥P ABCD中 侧面PAD为等边三角形且垂直于底面ABCD AB BC AD BAD ABC 90 E是PD的中点 1 证明 直线CE 平面PAB 2 点M在棱PC上 且直线BM与底面ABCD所成角为45 求二面角M AB D的余弦值 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思用向量求空间角的方法 设直线l1 l2的方向向量分别为a b 平面 的法向量分别为n m 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练2如图 四面体ABCD中 ABC是正三角形 ACD是直角三角形 ABD CBD AB BD 1 证明 平面ACD 平面ABC 2 过AC的平面交BD于点E 若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分 求二面角D AE C的余弦值 命题热点一 命题热点二 命题热点三 1 证明 由题设可得 ABD CBD 从而AD DC 又 ACD是直角三角形 所以 ADC 90 取AC的中点O 连接DO BO 则DO AC DO AO 又由于 ABC是正三角形 故BO AC 所以 DOB为二面角D AC B的平面角 在Rt AOB中 BO2 AO2 AB2 又AB BD 所以BO2 DO2 BO2 AO2 AB2 BD2 故 DOB 90 所以平面ACD 平面ABC 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练3 2018浙江 19 如图 已知多面体ABCA1B1C1 A1A B1B C1C均垂直于平面ABC ABC 120 A1A 4 C1C 1 AB BC B1B 2 1 证明 AB1 平面A1B1C1 2 求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 解法二 1 证明 如图 以AC的中点O为原点 分别以射线OB OC为x y轴的正半轴 建立空间直角坐标系O xyz 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 用空间向量求空间中的距离 思考 如何用空间向量求空间中的距离 例3如图 在四棱锥P ABCD中 底面四边形ABCD是正方形 侧面PDC是边长为a的正三角形 且侧面PDC 底面ABCD E为PC的中点 1 求异面直线PA与DE所成角的余弦值 2 求点D到平面PAB的距离 命题热点一 命题热点二 命题热点三 解 如图 取DC的中点O 连接PO PDC为正三角形 PO DC 又侧面PDC 底面ABCD PO 底面ABCD 如图建立空间直角坐标系O xyz 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 题后反思求空间中距离的方法 1 直线到平面的距离 两平行平面间的距离均可转化为点到平面的距离 2 点P到平面 的距离d 其中n为 的法向量 M为 内任一点 3 设直线n的方向向量为n 直线n与异面直线a b都垂直 A是直线a上任一点 B是直线b上任一点 则异面直线a b的距离d 命题热点一 命题热点二 命题热点三 对点训练4如图 在四棱锥P ABCD中 PA 底面ABCD AB AD AB AD 4 CD CDA 45 1 求证 平面PAB 平面PAD 2 设AB AP 若直线PB与平面PCD所成的角为30 求线段AB的长 在线段AD上是否存在一个点G 使得点G到点P B C D的距离都相等 说明理由 命题热点一 命题热点二 命题热点三 1 证明 因为PA 平面ABCD AB 平面ABCD 所以PA AB 因为AB AD PA AD A 所以AB 平面PAD 又AB 平面PAB 所以平面PAB 平面PAD 2 解 以A为坐标原点 建立空间直角坐标系A xyz 如图 在平面ABCD内作CE AB交AD于点E 则CE AD 在Rt CDE中 DE CD cos45 1 CE CD sin45 1 设AB AP t 则B t 0 0 P 0 0 t 由AB AD 4 得AD 4 t 所以E 0 3 t 0 C 1 3 t 0 D 0 4 t 0 命题热点一 命题热点二 命题热点三 命题热点一 命题热点二 命题热点三 假设在线段AD上存在一个点G 使得点G到点P B C D的距离都相等 由 消去t 化简得m2 3m 4 0 因为方程 没有实数根 所以在线段AD上不存在一个点G 使得点G到点P C D的距离都相等 从而 在线段AD上不存在一个点G 使得点G到点P B C D的距离都相等 规律总结 拓展演练 1 用空间向量解决立体几何问题时 要根据情况选择 常建立空间直角坐标系 利用空间向量知识解决立体几何问题 用空间向量解决的主要立体几何问题有平行 垂直 求角 求距离等 2 用向量证明空间中的平行关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 或l1与l2重合 v1 v2 2 设直线l的方向向量为v 与平面 共面的两个不共线向量v1和v2 则l 或l 存在两个实数x y 使v xv1 yv2 3 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l 或l v u 4 设平面 和 的法向量分别为u1 u2 则 u1 u2 规律总结 拓展演练 3 用向量证明空间中的垂直关系 1 设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2 则l1 l2 v1 v2 v1 v2 0 2 设直线l的方向向量为v 平面 的法向量为u 则l v u 3 设平面 和 的法向量分别为u1和u2 则 u1 u2 u1 u2 0 4 两异面直线所成的角不一定是它们的方向向量的夹角 两平面的法向量的夹角与两平面的二面角相等或互补 直线的方向向量与平面的法向量的夹角与线面角的余角相等或互补 1 两条异面直线所成的角 设异面直线a b所成的角为 a b的方向向量为a b 其夹角为 则有cos cos 规律总结 拓展演练 2 直线和平面所成的角 如图 sin cos 3 平面 与平面 所成的二面角为 两平面的法向量分别为m n 则 cos 规律总结 拓展演练 5 点到平面的距离的向量求法 如图 设AB为平面 的一条斜线段 n为平面 的法向量 则点B到平面 的距离d 规律总结 拓展演练 1 在直三棱柱ABC A1B1C1中 BCA 90 M N分别是A1B1 A1C1的中点 BC CA CC1 则BM与AN所成角的余弦值为 答案 解析 规律总结 拓展演练 2 已知两平面的法向量分别为m 0 1 0 n 0 1 1 则两平面所成二面角的大小为 答案 解析 规律总结 拓展演练 3 2018天津 理17 如图 AD BC且AD 2BC AD CD EG AD且EG AD CD FG且CD 2FG DG 平面ABCD DA DC DG 2 1 若M为CF的中点 N为EG的中点 求证 MN 平面CDE 2 求二面角E BC F的正弦值 3 若点P在线段DG上 且直线BP与平面ADGE所成的角为60 求线段DP的长 规律总结 拓展演练 规律总结 拓展演练 规律总结 拓展演练