2019届高考数学二轮复习 第一篇 专题五 立体几何 第3讲 立体几何中的向量方法课件 理.ppt

第3讲立体几何中的向量方法 高考导航 热点突破 备选例题 高考导航演真题 明备考 真题体验 C 2 2018 全国 卷 理18 如图 四边形ABCD为正方形 E F分别为AD BC的中点 以DF为折痕把 DFC折起 使点C到达点P的位置 且PF BF 1 证明 平面PEF 平面ABFD 1 证明 由已知可得 BF PF BF EF 又PF EF E 所以BF 平面PEF 又BF 平面ABFD 所以平面PEF 平面ABFD 2 求DP与平面ABFD所成角的正弦值 考情分析 1 考查角度考查空间向量在求解空间角中的应用 2 题型及难易度解答题 难度中等偏上 热点突破剖典例 促迁移 热点一 向量法求线面角 例1 2018 石家庄市质量检测二 如图 三棱柱ABC A1B1C1中 侧面BB1C1C为 CBB1 60 的菱形 AB AC1 1 证明 平面AB1C 平面BB1C1C 1 证明 如图1 连接BC1 交B1C于O 连接AO 因为侧面BB1C1C为菱形 所以B1C BC1 因为AB AC1 O为BC1的中点 所以AO BC1 又B1C AO O 所以BC1 平面AB1C 又BC1 平面BB1C1C 所以平面AB1C 平面BB1C1C 2 若AB B1C 直线AB与平面BB1C1C所成的角为30 求直线AB1与平面A1B1C所成角的正弦值 方法技巧 利用向量法求线面角的方法 1 分别求出斜线和它在平面内的射影的方向向量 转化为求两个方向向量的夹角 或其补角 2 通过平面的法向量来求 即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角 或钝角的补角 取其余角就是斜线和平面所成的角 即线面角的正弦值等于斜线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值 1 求证 PB PD 1 证明 如图 连接AC 交BD于点O 连接PO 因为四边形ABCD是正方形 所以AC BD OB OD 又PA BD PA 平面PAC AC 平面PAC PA AC A 所以BD 平面PAC 又PO 平面PAC 所以BD PO 又OB OD 所以PB PD 2 若E F分别为PC AB的中点 EF 平面PCD 求直线PB与平面PCD所成角的大小 热点二 向量法求二面角 例2 2018 湖南省两市九月调研 如图 四棱锥P ABCD的底面为菱形 平面PAD 平面ABCD PA PD 5 AD 6 DAB 60 E为AB的中点 1 证明 取AD的中点O 连接OP OE BD 因为四边形ABCD为菱形 所以BD AC 因为O E分别为AD AB的中点 所以OE BD 所以AC OE 因为PA PD O为AD的中点 所以PO AD 又因为平面PAD 平面ABCD 平面PAD 平面ABCD AD 所以PO 平面ABCD 所以PO AC 因为OE OP O 所以AC 平面POE 所以AC PE 1 证明 AC PE 2 求二面角D PA B的余弦值 方法技巧 利用向量法求二面角的方法 1 分别在二面角的两个半平面内找到一个与棱垂直且从垂足出发的两个向量 则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小 2 通过平面的法向量来求 设二面角的两个半平面的法向量分别为n1和n2 则二面角的大小等于 或 应注意结合图形判断二面角是锐角还是钝角 热点训练2 2018 广西柳州市一模 如图 在三棱柱ABC A1B1C1中 底面 ABC为等边三角形 过A1C作平面A1CD平行于BC1 交AB于点D 1 求证 CD AB 1 证明 连接AC1 设AC1与A1C相交于点E 连接DE 则E为AC1的中点 因为BC1 平面A1CD 平面A1CD 平面ABC1 DE 所以DE BC1 所以D为AB的中点 又因为 ABC是等边三角形 所以CD AB 热点三 用向量法解与空间角有关的探索性问题 考向1位置探究型 例3 2018 辽宁省辽南协作校一模 如图所示 三棱柱ABC A1B1C1中 已知AB 侧面BB1C1C AB BC 1 BB1 2 BCC1 60 1 求证 C1B 平面ABC 考向2存在判断型 1 证明 无论 取何值 总有AM 平面PNQ 1 证明 连接A1Q 因为AA1 AC 1 M Q分别是CC1 AC的中点 所以 AA1Q CAM 所以 MAC QA1A 所以 MAC AQA1 QA1A AQA1 90 所以AM A1Q 因为N Q分别是BC AC的中点 所以NQ AB 又AB AC 所以NQ AC 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AA1 底面ABC 所以NQ AA1 又AC AA1 A 所以NQ 平面ACC1A1 所以NQ AM 由NQ AB和AB A1B1可得NQ A1B1 所以N Q A1 P四点共面 所以A1Q 平面PNQ 因为NQ A1Q Q 所以AM 平面PNQ 所以无论 取何值 总有AM 平面PNQ 2 是否存在点P 使得平面PMN与平面ABC的夹角为60 若存在 试确定点P的位置 若不存在 请说明理由 方法技巧 1 对于存在判断型问题求解 应先假设存在 把要成立的结论当作条件 据此列方程或方程组 把 是否存在 问题转化为 点的坐标是否有解 是否有规定范围内的解 等 2 对于位置探究型问题 通常借助向量 引进参数 综合已知和结论列出等式 解出参数 热点训练3 2018 福州市四校联考 如图 在梯形ABCD中 AB CD AD DC CB 1 BCD 120 四边形BFED是直角梯形 DE BD BF DE DE 2BF 2 平面BFED 平面ABCD 1 求证 AD 平面BFED 1 证明 在梯形ABCD中 因为AB CD AD DC CB 1 BCD 120 所以AB 2 所以BD2 AB2 AD2 2AB AD cos60 3 所以AB2 AD2 BD2 所以BD AD 因为平面BFED 平面ABCD 平面BFED 平面ABCD BD 所以AD 平面BFED 2 在线段EF上是否存在一点P 使得平面PAB与平面ADE所成的锐二面角的余弦值为 若存在 求出点P的位置 若不存在 说明理由 备选例题挖内涵 寻思路 1 将 PCD沿CD折起的过程中 CD 平面P1DA是否成立 请证明你的结论 2 若P1D与平面ABCD所成的角为60 且 P1DA为锐角三角形 求平面P1AD和平面P1BC所成角的余弦值 解 2 由 1 知CD 平面P1DA CD 平面ABCD 所以平面P1DA 平面ABCD 因为 P1DA为锐角三角形 所以P1在平面ABCD内的射影必在棱AD上 记为O 连接P1O 所以P1O 平面ABCD 则 P1DA是P1D与平面ABCD所成的角 所以 P1DA 60 因为DP1 DA 2 所以 P1DA为等边三角形 O为AD的中点 故以O为坐标原点 过点O且与CD平行的直线为x轴 DA所在直线为y轴 OP1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系 设x轴与BC交于点M 因为DA P1A 2 所以OP1 例2 2018 安徽省知名示范高中联合质检 如图 在三棱锥P ABC中 PAC为正三角形 M为线段PA的中点 CAB 90 AC AB 平面PAB 平面PAC 1 求证 平面PAC 平面ABC 1 证明 因为 PAC为正三角形 M为线段PA的中点 所以CM PA 又平面PAC 平面PAB 平面PAC 平面PAB PA 所以CM 平面PAB 因为AB 平面PAB 所以CM AB 又CA AB CM CA C 所以AB 平面PAC 又AB 平面ABC 所以平面PAC 平面ABC