高考数学一轮复习 第六章 数列 6.2 等差数列及其前n项和课件 理.ppt

第六章数列 6 2等差数列及其前n项和 内容索引 基础知识自主学习 题型分类深度剖析 高频小考点 思想方法感悟提高 练出高分 基础知识自主学习 1 等差数列的定义一般地 如果一个数列 那么这个数列就叫做等差数列 这个常数叫做等差数列的 通常用字母表示 2 等差数列的通项公式如果等差数列 an 的首项为a1 公差为d 那么它的通项公式是 从第二项起 每一项减去它的前一项所得的差 an a1 都等于同一个常数 公差 d n 1 d 知识梳理 1 答案 3 等差中项 4 等差数列的常用性质 1 通项公式的推广 an am n m N 2 若 an 为等差数列 且k l m n k l m n N 则 3 若 an 是等差数列 公差为d 则 a2n 也是等差数列 公差为 4 若 an bn 是等差数列 则 pan qbn 也是等差数列 5 若 an 是等差数列 公差为d 则ak ak m ak 2m k m N 是公差为的等差数列 n m d ak al am an 2d md 答案 5 等差数列的前n项和公式 数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn A B为常数 答案 7 等差数列的前n项和的最值在等差数列 an 中 a1 0 d0 则Sn存在最 值 大 小 答案 判断下面结论是否正确 请在括号中打 或 1 若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数 则这个数列是等差数列 2 数列 an 为等差数列的充要条件是对任意n N 都有2an 1 an an 2 3 等差数列 an 的单调性是由公差d决定的 4 数列 an 为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数 5 数列 an 满足an 1 an n 则数列 an 是等差数列 6 已知数列 an 的通项公式是an pn q 其中p q为常数 则数列 an 一定是等差数列 思考辨析 答案 1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若a1 11 a4 a6 6 则当Sn取最小值时 n 解析设等差数列 an 的公差为d a1 a9 a4 a6 6 且a1 11 a9 5 从而d 2 Sn 11n n n 1 n2 12n 当n 6时 Sn取最小值 6 考点自测 2 解析答案 1 2 3 4 5 解析由已知得a1 2a1 14d 3a1 9d 解析答案 1 2 3 4 5 3 在等差数列 an 中 已知a4 a8 16 则该数列前11项和S11 88 解析答案 1 2 3 4 5 4 设数列 an 是等差数列 若a3 a4 a5 12 则a1 a2 a7 解析 a3 a4 a5 3a4 12 a4 4 a1 a2 a7 7a4 28 28 解析答案 1 2 3 4 5 5 2014 北京 若等差数列 an 满足a7 a8 a9 0 a7 a10 0 则当n 时 an 的前n项和最大 解析因为数列 an 是等差数列 且a7 a8 a9 3a8 0 所以a8 0 又a7 a10 a8 a9 0 所以a9 0 故当n 8时 其前n项和最大 8 解析答案 1 2 3 4 5 返回 题型分类深度剖析 例1 1 在数列 an 中 若a1 2 且对任意的n N 有2an 1 1 2an 则数列 an 前10项的和为 题型一等差数列基本量的运算 解析答案 2 已知在等差数列 an 中 a2 7 a4 15 则前10项和S10 解析因为a2 7 a4 15 所以d 4 a1 3 210 解析答案 思维升华 思维升华 1 等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d 然后由通项公式或前n项和公式转化为方程 组 求解 2 等差数列的通项公式及前n项和公式 共涉及五个量a1 an d n Sn 知其中三个就能求另外两个 体现了方程的思想 1 2015 课标全国 改编 设Sn是等差数列 an 的前n项和 若a1 a3 a5 3 则S5 解析 an 为等差数列 a1 a5 2a3 a1 a3 a5 3a3 3 得a3 1 5 跟踪训练1 解析答案 数列 an 的公差为2 2 解析答案 题型二等差数列的判定与证明 1 求证 数列 bn 是等差数列 解析答案 2 求数列 an 中的最大项和最小项 并说明理由 所以当n 3时 an取得最小值 1 当n 4时 an取得最大值3 解析答案 解析答案 思维升华 引申探究 思维升华 等差数列的四个判定方法 1 定义法 证明对任意正整数n都有an 1 an等于同一个常数 2 等差中项法 证明对任意正整数n都有2an 1 an an 2后 可递推得出an 2 an 1 an 1 an an an 1 an 1 an 2 a2 a1 根据定义得出数列 an 为等差数列 3 通项公式法 得出an pn q后 得an 1 an p对任意正整数n恒成立 根据定义判定数列 an 为等差数列 4 前n项和公式法 得出Sn An2 Bn后 根据Sn an的关系 得出an 再使用定义法证明数列 an 为等差数列 1 若 an 是公差为1的等差数列 则 a2n 1 2a2n 是 公差为3的等差数列 公差为4的等差数列 公差为6的等差数列 公差为9的等差数列 解析 a2n 1 2a2n a2n 3 2a2n 2 a2n 1 a2n 3 2 a2n a2n 2 2 2 2 6 a2n 1 2a2n 是公差为6的等差数列 跟踪训练2 解析答案 解析答案 命题点1等差数列的性质 例3 1 2015 广东 在等差数列 an 中 若a3 a4 a5 a6 a7 25 则a2 a8 解析因为 an 是等差数列 所以a3 a7 a4 a6 a2 a8 2a5 a3 a4 a5 a6 a7 5a5 25 即a5 5 a2 a8 2a5 10 10 题型三等差数列的性质及应用 解析答案 2 已知等差数列 an 的前n项和为Sn 且S10 10 S20 30 则S30 解析 S10 S20 S10 S30 S20成等差数列 且S10 10 S20 30 S20 S10 20 S30 30 10 2 10 30 S30 60 60 解析答案 命题点2等差数列前n项和的最值 例4在等差数列 an 中 已知a1 20 前n项和为Sn 且S10 S15 求当n取何值时 Sn取得最大值 并求出它的最大值 解析答案 解 a1 20 S10 S15 解析答案 得a13 0 即当n 12时 an 0 当n 14时 an 0 当n 12或13时 Sn取得最大值 解析答案 n N 当n 12或13时 Sn有最大值 且最大值为S12 S13 130 方法三由S10 S15得a11 a12 a13 a14 a15 0 5a13 0 即a13 0 当n 12或13时 Sn有最大值 且最大值为S12 S13 130 例4中 若条件 a1 20 改为a1 20 其他条件不变 求当n取何值时 Sn取得最小值 并求出最小值 解由S10 S15 得a11 a12 a13 a14 a15 0 a13 0 又a1 20 a120 当n 12或13时 Sn取得最小值 解析答案 思维升华 引申探究 思维升华 1 等差数列的性质 项的性质 在等差数列 an 中 am an m n d d m n 其几何意义是点 n an m am 所在直线的斜率等于等差数列的公差 和的性质 在等差数列 an 中 Sn为其前n项和 则a S2n n a1 a2n n an an 1 b S2n 1 2n 1 an 2 求等差数列前n项和Sn最值的两种方法 函数法 利用等差数列前n项和的函数表达式Sn an2 bn 通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解 1 等差数列 an 的前n项和为Sn 已知a5 a7 4 a6 a8 2 则当Sn取最大值时 n的值是 解析依题意得2a6 4 2a7 2 a6 2 0 a7 1 0 又数列 an 是等差数列 因此在该数列中 前6项均为正数 自第7项起以后各项均为负数 于是当Sn取最大值时 n 6 6 跟踪训练3 解析答案 2 设数列 an 是公差d 0的等差数列 Sn为前n项和 若S6 5a1 10d 则Sn取最大值时 n的值为 解析由题意得S6 6a1 15d 5a1 10d 所以a6 0 故当n 5或6时 Sn最大 5或6 解析答案 3 已知等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 则前n项和Sn的最大值为 解析因为等差数列 an 的首项a1 20 公差d 2 代入求和公式得 又因为n N 所以n 10或n 11时 Sn取得最大值 最大值为110 110 解析答案 返回 高频小考点 典例 1 在等差数列 an 中 2 a1 a3 a5 3 a7 a9 54 则此数列前10项的和S10 2 在等差数列 an 中 S10 100 S100 10 则S110 3 等差数列 an 中 已知a5 0 a4 a7 0 则 an 的前n项和Sn的最大值为 高频小考点 6 等差数列的前n项和及其最值 温馨提醒 解析答案 返回 思维点拨 思维点拨 1 求等差数列前n项和 可以通过求解基本量a1 d 代入前n项和公式计算 也可以利用等差数列的性质 a1 an a2 an 1 2 求等差数列前n项和的最值 可以将Sn化为关于n的二次函数 求二次函数的最值 也可以观察等差数列的符号变化趋势 找最后的非负项或非正项 温馨提醒 解析答案 解析 1 由题意得a3 a8 9 2 方法一设数列 an 的公差为d 首项为a1 温馨提醒 解析答案 所以a11 a100 2 所以Sn的最大值为S5 答案 1 45 2 110 3 S5 温馨提醒 温馨提醒 1 利用函数思想求等差数列前n项和Sn的最值时 要注意到n N 2 利用等差数列的性质求Sn 突出了整体思想 减少了运算量 返回 思想方法感悟提高 1 在解有关等差数列的基本量问题时 可通过列关于a1 d的方程组进行求解 2 证明等差数列要用定义 另外还可以用等差中项法 通项公式法 前n项和公式法判定一个数列是否为等差数列 3 等差数列性质灵活使用 可以大大减少运算量 4 在遇到三个数成等差数列问题时 可设三个数为 1 a a d a 2d 2 a d a a d 3 a d a d a 3d等 可视具体情况而定 方法与技巧 1 当公差d 0时 等差数列的通项公式是n的一次函数 当公差d 0时 an为常数 2 公差不为0的等差数列的前n项和公式是n的二次函数 且常数项为0 若某数列的前n项和公式是常数项不为0的二次函数 则该数列不是等差数列 它从第二项起成等差数列 失误与防范 返回 练出高分 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若2a8 6 a11 则S9的值等于 解析根据题意及等差数列的性质 知2a8 a11 a5 6 根据等差数列的求和公式 54 解析答案 2 2015 北京改编 设 an 是等差数列 下列结论中正确的是 若a1 a2 0 则a2 a3 0 若a1 a3 0 则a1 a2 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 若a1 0 则 a2 a1 a2 a3 d d d2 0 故 错 答案 解析设等差数列 an 的公差为d 若a1 a2 0 a2 a3 a1 d a2 d a1 a2 2d 由于d正负不确定 因而a2 a3符号不确定 故 错 若a1 a3 0 a1 a2 a1 a3 d a1 a3 d 由于d正负不确定 因而a1 a2符号不确定 故 错 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 设等差数列 an 的前n项和为Sn 若Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则m 解析 数列 an 为等差数列 且前n项和为Sn 解得m 5 经检验为原方程的解 5 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 4 数列 an 的首项为3 bn 为等差数列 且bn an 1 an n N 若b3 2 b10 12 则a8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7 6 21 2 0 又b1 b2 b7 a2 a1 a3 a2 a8 a7 a8 a1 a8 3 0 a8 3 答案3 解析设 bn 的公差为d b10 b3 7d 12 2 14 d 2 b3 2 b1 b3 2d 2 4 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5 已知数列 an 满足an 1 an 且a1 5 设 an 的前n项和为Sn 则使得Sn取得最大值的序号n的值为 该数列前7项是正数项 第8项是0 从第9项开始是负数项 所以Sn取得最大值时 n 7或8 7或8 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2d 1 d 2 4 解得d2 4 即d 2 由于该数列为递增数列 故d 2 an 1 n 1 2 2n 1 2n 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 8 设数列 an 的通项公式为an 2n 10 n N 则 a1 a2 a15 解析由an 2n 10 n N 知 an 是以 8为首项 2为公差的等差数列 又由an 2n 10 0得n 5 n 5时 an 0 当n 5时 an 0 a1 a2 a15 a1 a2 a3 a4 a5 a6 a15 20 110 130 130 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 证明当n 2时 由an 2SnSn 1 0 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求数列 an 的通项公式 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 10 等差数列 an 中 设Sn为其前n项和 且a1 0 S3 S11 则当n为多少时 Sn最大 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 方法二由于Sn an2 bn是关于n的二次函数 由S3 S11 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解得6 5 n 7 5 故当n 7时 Sn最大 方法四由S3 S11 可得2a1 13d 0 即 a1 6d a1 7d 0 故a7 a8 0 又由a1 0 S3 S11可知d 0 所以a7 0 a8 0 所以当n 7时 Sn最大 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Sn的最大值是S8 Sn的最小值是S8 Sn的最大值是S7 Sn的最小值是S7 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以a8 0 a7 0 即数列 an 前7项均小于0 第8项大于零 所以Sn的最小值为S7 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 13 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析 an bn 为等差数列 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由此解得 8 a 7 即实数a的取值范围是 8 7 答案 8 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 已知公差大于零的等差数列 an 的前n项和为Sn 且满足a3 a4 117 a2 a5 22 1 求通项an 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以通项an 4n 3 又公差d 0 所以a3 a4 所以a3 9 a4 13 解因为数列 an 为等差数列 所以a3 a4 a2 a5 22 又a3 a4 117 所以a3 a4是方程x2 22x 117 0的两实根 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 求Sn的最小值 解由 1 知a1 1 d 4 所以当n 1时 Sn最小 最小值为S1 a1 1 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解析答案 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 解由 2 知Sn 2n2 n 因为数列 bn 是等差数列 所以2b2 b1 b3 解析答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 所以2c2 c 0 返回 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15