高中数学 3.1同角三角函数的基本关系课件 北师大版必修4.ppt

第三章三角恒等变形 1同角三角函数的基本关系 同角三角函数的基本关系式 sin2 cos2 1 1 判一判 正确的打 错误的打 1 对任意角 都成立 2 对任意角 sin 2 cos 2 1都成立 3 对任意角 都成立 4 对任意角 sin2 cos2 1都成立 解析 1 正确 当 R时 都成立 2 错误 当 R时 sin 2与sin2 的含义不同 且当 为角度制时 2无意义 即sin 2无意义 3 错误 当2 k k Z 即 k Z时 才成立 4 错误 必须是对同一个角 答案 1 2 3 4 2 做一做 请把正确的答案写在横线上 1 sin225 cos225 2 3 4 tan135 cos135 解析 1 sin225 cos225 1 答案 1 2 答案 3 答案 4 tan135 cos135 cos135 sin135 sin 180 45 sin45 答案 要点探究 知识点同角三角函数基本关系1 适用的前提条件必须在等式两边的角均有意义的前提下才能使用 如式子不成立 2 对 同角 的理解同角三角函数的基本关系式揭示了 同角不同名 的三角函数的运算规律 这里 同角 有两层含义 一是 角相同 如与 2 与2 都是同角 二是对 任意 一个角 在使函数有意义的前提下 关系式成立与角的表达形式无关 如3 应用平方关系的注意点在应用平方关系式求sin 或cos 时 其正负号是由角 所在的象限决定的 不可凭空想象 4 同角三角函数基本关系的常用等价变形 1 sin2 1 cos2 cos2 1 sin2 2 sin cos tan 3 4 微思考 1 利用平方关系求sin 或cos 是否会得到正负两个值 请说明理由 提示 不一定 其正负号由角 所在的象限决定 2 由tan 的值求sin 与cos 的关键是什么 提示 由商数关系与平方关系构造关于sin 与cos 的方程组求解 即时练 1 2014 南昌高一检测 已知sin 且 为第二象限的角 则tan 2 已知tan 2 求cos 的值 解析 1 选A 因为 为第二象限的角 所以 2 由tan 2知sin 2cos 则sin2 4cos2 又因为sin2 cos2 1 所以4cos2 cos2 1 即cos2 又tan 2 0 是第一或第三象限的角 若 是第一象限的角 则cos 0 所以cos 若 是第三象限的角 则cos 综上可知 若 是第一象限的角 则cos 若 是第三象限的角 则cos 题型示范 类型一利用同角关系求三角函数式的值 典例1 1 已知cos sin 则cos sin 的值等于 2 2014 天津高一检测 已知tan 计算 解题探究 1 题 1 中cos sin 与cos sin 之间的关系是什么 2 题 2 中所求的式子能否转化为关于tan 的式子 方法是什么 探究提示 1 cos sin 2 1 2cos sin 2 能转化为关于tan 的式子 方法是分子 分母同时除以cos 或cos2 自主解答 1 选B 因为cos sin 所以cos sin 2 延伸探究 若题 2 中 则tan 的值如何 解析 因为 由已知得即tan2 2tan 0 解得tan 0或2 经检验知 均符合要求 所以tan 0或2 方法技巧 1 关于sin cos 的齐次式的求值策略 1 关于sin cos 的齐次式就是式子中的每一项都是关于sin cos 的式子且它们的次数之和相同 设为n次 将分子 分母同除以cos 的n次幂 其式子可化为关于tan 的式子 再代入求值 2 若无分母时 把分母看作1 并将1用sin2 cos2 来代换 将分子 分母同除以cos2 可化为关于tan 的式子 再代入求值 2 利用sin cos 与sin cos 间的关系求值 sin cos 2 1 2sin cos sin cos 2 1 2sin cos 对sin cos sin cos sin cos 可以 知一求二 变式训练 已知sin cos 0 求sin cos 和sin cos 的值 解析 因为sin cos 0 所以 sin cos 2 即sin2 2sin cos cos2 所以sin cos 由上知 为第二象限的角 所以sin cos 0 所以sin cos 误区警示 本题解题时易忽视sin cos 0 sin cos 的符号为正 而误为应取正负 从而造成错解 补偿训练 已知tan 3 求tan2 sin cos 2 的值 解析 由即所以sin cos 所以原式 2 1 2sin cos 32 2 1 类型二利用同角关系化简三角函数式 典例2 1 2014 安庆高一检测 函数 A 在上递增B 在上递增 在上递减C 在上递减D 在上递减 在上递增 2 化简下列各式 2014 西安高一检测 其中 为第三象限角 解题探究 1 题 1 中研究函数f x 的单调性关键是什么 2 化简含有弦 切及根号的三角函数式的一般思路是什么 探究提示 1 关键是将f x 化简到tanx的形式 2 一般思路是切化弦 做到函数名称统一及根据平方关系去掉根号 再化简 自主解答 1 选D 在区间上 f x 所以其在上递增 在上递减 2 因为 为第三象限角 所以 1 sin 0 1 cos 0 1 sin 0 1 sin 0 则 方法技巧 三角函数式化简的三种常用技巧 1 化切为弦 即把正切函数都化为正 余弦函数 从而减少函数名称 达到化繁为简的目的 2 对于含有根号的 常把根号里面的部分化成完全平方式 然后去根号达到化简的目的 3 对于化简含高次的三角函数式 往往借助于因式分解 或构造sin2 cos2 1 以降低函数次数 达到化简的目的 变式训练 化简 解题指南 把1 2sin10 cos10 配凑成 cos10 sin10 2即可开方 解析 答案 1 补偿训练 化简 cos4 sin2 1 cos2 解析 原式 cos4 sin2 cos2 sin2 cos2 cos2 sin2 sin2 cos2 sin2 1 类型三利用同角关系证明三角恒等式 典例3 1 求证 2 2013 安康高一检测 求证 解题探究 1 题 1 中 sin cos 与tan 共存 一般用到哪个关系式 2 对于题 2 左右两边差异是什么 如何消除差异 探究提示 1 一般会用到2 差异有两点 一是函数名称 二是式子形式 可通过切化弦或者弦化切来消除差异 自主解答 1 左边 右边 所以原式成立 2 方法一 右边 3 2cos2 左边 所以原式得证 方法二 左边 右边 所以原式得证 方法技巧 1 利用同角关系证明三角恒等式常用的途径 1 由左边推至右边 或由右边推至左边 遵循的是化繁为简的原则 2 两边夹法 即左边 A 右边 A 则左边 右边 这里的A起着桥梁的作用 3 左边 右边 0 或 1 通过作差或作商 将原式转化为一个等价的 更便于证明的等式 2 证明过程中的三个注意 1 注意化繁为简 化切为弦 2 注意公式的变式运用 如1 2sin cos sin cos 2等 3 注意为分式运算时 要把握通分的时机 不要随意通分 争取在变式化简时往同分母的方向化简 变式训练 求证 解题指南 由于等式两边的结构较复杂 可考虑分别将等式两边化简 利用 两边夹法 证明 证明 左边 右边 左边 右边 原式得证 补偿训练 已知sin2A cos2Asin2Bcos2C sin2B 求证 tan2A sin2Ctan2B 证明 由已知sin2A cos2A sin2B cos2C sin2B 则sin2A cos2Asin2B 1 sin2C sin2B 所以sin2A cos2Asin2B cos2A sin2B sin2C sin2B cos2Asin2B sin2C sin2A sin2B 1 cos2A 即 cos2A sin2B sin2C sin2A cos2B 两边同除以cos2A cos2B得tan2A sin2C tan2B 易错误区 忽视角的范围定错符号而致误 典例 2014 合肥高一检测 已知sin cos 0 则tan 解析 将等式sin cos 两边平方 得2sin cos 0 又因为 0 所以sin 0 cos 0 可得1 2sin cos sin2 cos2 2sin cos 所以 sin cos 2 即sin cos 由sin cos 和sin cos 解得 所以答案 常见误区 防范措施 1 挖掘好题设条件 限制准角的范围对题目的条件要认真分析 找出隐含条件 根据所给角的范围结合函数值正负 压缩角的范围是定准符号的关键 2 公式要记牢 运算要准确要掌握好同角三角函数的基本关系 能熟练地进行平方关系的转换 及利用商数关系求正切 类题试解 已知sin cos 其中0 则sin cos 解析 因为sin cos 所以 sin cos 2 所以1 2sin cos 所以sin cos 因为0 且sin cos 0 所以sin 0 cos 0 所以sin cos 0 又因为 sin cos 2 1 2sin cos 所以sin cos 答案