2019-2020年人教A版高中数学必修一 1-3-1 单调性与最大（小）值 教案.doc

2019-2020年人教A版高中数学必修一 1-3-1 单调性与最大（小）值 教案教学目标1使学生从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法2通过对函数单调性定义的探究，渗透数形结合的思想方法，培养学生观察、归纳、抽象的能力和语言表达能力；通过对函数单调性的证明，提高学生的推理论证能力3通过知识的探究过程培养学生细心观察、认真分析、严谨论证的良好思维习惯，让学生经历从具体到抽象，从特殊到一般，从感性到理性的认知过程重点难点教学重点：函数单调性的概念、判断及证明教学难点：归纳抽象函数单调性的定义以及根据定义证明函数的单调性教学方法教师启发讲授，学生探究学习教学手段计算机、投影仪创设情境，引入课题课前布置任务：(1)由于某种原因，xx年北京奥运会开幕式时间由原定的7月25日推迟到8月8日，请查阅资料说明做出这个决定的主要原因. (2)通过查阅历史资料研究北京奥运会开幕式当天气温变化情况课上通过交流，可以了解到开幕式推迟主要是天气的原因，北京的天气到8月中旬，平均气温、平均降雨量和平均降雨天数等均开始下降，比较适宜举办大型国际体育赛事下图是北京市某年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图图1引导学生识图，捕捉信息，启发学生思考问题：观察图形，能得到什么信息？预案：(1)当天的最高温度、最低温度以及何时达到；(2)在某时刻的温度；(3)某些时段温度升高，某些时段温度降低在生活中，我们关心很多数据的变化规律，了解这些数据的变化规律，对我们的生活是很有帮助的问题：还能举出生活中其他的数据变化情况吗？预案：水位高低、燃油价格、股票价格等归纳：用函数观点看，其实就是随着自变量的变化，函数值是变大还是变小【设计意图】由生活情境引入新课，激发兴趣归纳探索，形成概念对于自变量变化时，函数值是变大还是变小，初中时同学们就有了一定的认识，但是没有严格的定义，今天我们的任务首先就是建立函数单调性的严格定义1借助图象，直观感知问题1：分别作出函数yx2，yx2，yx2，y的图象，并且观察自变量变化时，函数值有什么变化规律？图2预案：(1)函数yx2在整个定义域内y随x的增大而增大；函数yx2在整个定义域内y随x的增大而减小(2)函数yx2在0，)上y随x的增大而增大，在(，0)上y随x的增大而减小(3)函数y在(0，)上y随x的增大而减小，在(，0)上y随x的增大而减小引导学生进行分类描述(增函数、减函数)，同时明确函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，是函数的局部性质问题2：能不能根据自己的理解说说什么是增函数、减函数？预案：如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y也越来越大，我们说函数f(x)在该区间上为增函数；如果函数f(x)在某个区间上随自变量x的增大，y越来越小，我们说函数f(x)在该区间上为减函数教师指出：这种认识是从图象的角度得到的，是对函数单调性的直观认识【设计意图】从图象直观感知函数单调性，完成对函数单调性的第一次认识2探究规律，理性认识问题1：下图是函数yx(x0)的图象，能说出这个函数分别在哪个区间为增函数和减函数吗？图3学生的困难是难以确定分界点的确切位置通过讨论，使学生感受到用函数图象判断函数单调性虽然比较直观，但有时不够精确，需要结合解析式进行严密化、精确化的研究【设计意图】使学生体会到用数量大小关系严格表述函数单调性的必要性问题2：如何从解析式的角度说明f(x)x2在0，)为增函数？预案：(1)在给定区间内取两个数，例如1和2，因为1222，所以f(x)x2在0，)为增函数(2)仿(1)，取很多组验证均满足，所以f(x)x2在0，)为增函数(3)任取x1，x20，)，且x1x2，因为x12x22(x1x2)(x1x2)0，即x12x22，所以f(x)x2在0，)为增函数对于学生错误的回答，引导学生分别用图形语言和文字语言进行辨析，使学生认识到问题的根源在于自变量不可能被穷举，从而引导学生在给定的区间内任意取两个自变量x1，x2.【设计意图】把对单调性的认识由感性上升到理性的高度，完成对概念的第二次认识事实上也给出了证明单调性的方法，为证明单调性做好了铺垫3抽象思维，形成概念问题：你能用准确的数学符号语言表述出增函数的定义吗？师生共同探究，得出增函数严格的定义，然后学生类比得出减函数的定义(1)板书定义(2)巩固概念判断题：已知f(x)，因为f(1)f(2)，所以函数f(x)是增函数若函数f(x)满足f(2)f(3)，则函数f(x)在区间2,3上为增函数若函数f(x)在区间(1,2和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数因为函数f(x)在区间(，0)和(0，)上都是减函数，所以f(x)在(，0)(0，)上是减函数通过判断题，强调三点：单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)函数在定义域内的两个区间A，B上都是增(或减)函数，一般不能认为函数在AB上是增(或减)函数思考：如何说明一个函数在某个区间上不是单调函数？【设计意图】让学生由特殊到一般，从具体到抽象归纳出单调性的定义，通过对判断题的辨析，加深学生对定义的理解，完成对概念的第三次认识掌握证法，适当延展【例】证明函数f(x)x在(，)上是增函数1分析解决问题针对学生可能出现的问题，组织学生讨论、交流证明：任取x1，x2(，)，且x1x2，设元f(x1)f(x2)求差(x1x2)(x1x2)(x1x2)(x1x2)，变形x1x2，x1x20，x1x22，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，断号函数f(x)x在(，)上是增函数定论2归纳解题步骤引导学生归纳证明函数单调性的步骤：设元、作差、变形、断号、定论练习：证明函数f(x)在0，)上是增函数问题：要证明函数f(x)在区间(a，b)上是增函数，除了用定义来证，如果可以证得对任意的x1，x2(a，b)，且x1x2有0可以吗？引导学生分析这种叙述与定义的等价性，让学生尝试用这种等价形式证明函数f(x)在0，)上是增函数【设计意图】初步掌握根据定义证明函数单调性的方法和步骤等价形式进一步发展可以得到导数法，为用导数方法研究函数单调性埋下伏笔归纳小结，提高认识学生交流在本节课学习中的体会、收获，交流学习过程中的体验和感受，师生合作共同完成小结1小结(1)概念探究过程：直观到抽象、特殊到一般、感性到理性(2)证明方法和步骤：设元、作差、变形、断号、定论(3)数学思想方法和思维方法：数形结合，等价转化，类比等2作业书面作业：课本习题1.3A组第1,2,3题1教学内容的分析函数的单调性是学生在了解函数概念后学习的函数的第一个性质，是函数学习中第一个用数学符号语言刻画的概念，为进一步学习函数其他性质提供了方法依据对于函数单调性，学生的认知困难主要在两个方面：(1)要求用准确的数学符号语言去刻画图象的上升与下降，这种由形到数的翻译，从直观到抽象的转变对高一的学生是比较困难的；(2)单调性的证明是学生在函数内容中首次接触到的代数论证内容，而学生在代数方面的推理论证能力是比较薄弱的根据以上的分析和教学大纲的要求，确定了本节课的重点和难点2教学目标的确定根据本课教材的特点、教学大纲对本节课的教学要求以及学生的认知水平，从三个不同的方面确定了教学目标，重视单调性概念的形成过程和对概念本质的认识；强调判断、证明函数单调性的方法的落实以及数形结合思想的渗透；突出语言表达能力、推理论证能力的培养和良好思维习惯的养成3教学方法和教学手段的选择本节课是函数单调性的起始课，采用教师启发讲授，学生探究学习的教学方法，通过创设情境，引导探究，师生交流，最终形成概念，获得方法本节课使用了多媒体投影和计算机来辅助教学，目的是充分发挥其快捷、生动、形象的特点，为学生提供直观感性的材料，有助于学生对问题的理解和认识4教学过程的设计为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下的措施：(1)在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对单调性定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入(2)在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用定义证明函数单调性的方法和步骤(3)可对判断方法进行适当的延展，加深对定义的理解，同时也为用导数研究单调性埋下伏笔第2课时教学目标1知识与技能(1)使学生理解函数的最值是在整个定义域上来研究的，它是函数单调性的应用(2)启发学生学会分析问题、认识问题和创造性地解决问题2过程与方法(1)通过渗透数形结合的数学思想，对学生进行辩证唯物主义的教育(2)探究与活动，明白考虑问题要细致，说理要明确3情感、态度与价值观理性描述生活中的最大(小)、最多(少)等现象重点难点教学重点：函数最大(小)值的定义和求法教学难点：如何求一个具体函数的最值导入新课思路1某工厂为了扩大生产规模，计划重新建造一个面积为10 000 m2的矩形新厂址，新厂址的长为x m，则宽为m，所建围墙y m，假如你是这个工厂的厂长，你会选择一个长和宽各为多少米的矩形土地，使得新厂址的围墙y最短？学生先思考或讨论，教师指出此题意在求函数y2，x0的最小值引出本节课题：在生产和生活中，我们非常关心花费最少、用料最省、用时最省等最值问题，这些最值对我们的生产和生活是很有帮助的那么什么是函数的最值呢？这就是我们今天学习的课题用函数知识解决实际问题，将实际问题转化为求函数的最值，这就是函数的思想，用函数解决问题思路2画出下列函数的图象，指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？f(x)x3；f(x)x3，x1,2；f(x)x22x1；f(x)x22x1，x2,2学生回答后，教师引出课题：函数的最值推进新课(1)如图4所示是函数yx22x、y2x1，x1，)、yf(x)的图象观察这三个图象的共同特征图4(2)函数图象上任意点P(x，y)的坐标与函数有什么关系？(3)你是怎样理解函数图象最高点的？(4)问题(1)中，在函数yf(x)的图象上任取一点A(x，y)，如图5所示，设点C的坐标为(x0，y0)，谁能用数学符号解释：函数yf(x)的图象有最高点C?图5(5)在数学中，形如问题(1)中函数yf(x)的图象上最高点C的纵坐标就称为函数yf(x)的最大值谁能给出函数最大值的定义？(6)函数最大值的定义中f(x)M即f(x)f(x0)，这个不等式反映了函数yf(x)的函数值具有什么特点？其图象又具有什么特征？(7)函数最大值的几何意义是什么？(8)函数y2x1，x(1，)有最大值吗？为什么？(9)点(1,3)是不是函数y2x1，x(1，)的最高点？(10)由问题(9)你发现了什么值得注意的地方？讨论结果：(1)函数yx22x的图象有最高点A，函数y2x1，x1，)的图象有最高点B，函数yf(x)的图象有最高点C.也就是说，这三个函数的图象的共同特征是都有最高点(2)函数图象上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小(3)图象上最高点的纵坐标是所有函数值中的最大值，即函数的最大值(4)由于点C是函数yf(x)图象上的最高点，则点A在点C的下方，即对定义域内任意x，都有yy0，即f(x)f(x0)，也就是对函数yf(x)的定义域内任意x，均有f(x)f(x0)成立(5)一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最大值(6)f(x)M反映了函数yf(x)的所有函数值不大于实数M；这个函数的特征是图象有最高点，并且最高点的纵坐标是M.(7)函数图象上最高点的纵坐标(8)函数y2x1，x(1，)没有最大值，因为函数y2x1，x(1，)的图象没有最高点(9)不是，因为该函数的定义域中没有1.(10)讨论函数的最大值，要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最高点时，这个函数才存在最大值，最高点必须是函数图象上的点(1)类比函数的最大值，请你给出函数的最小值的定义及其几何意义.(2)类比上面问题(9)，你认为讨论函数最小值应注意什么？活动：让学生思考函数最大值的定义，利用定义来类比定义最高点类比最低点，不等号“”类比不等号“”函数的最大值和最小值统称为函数的最值讨论结果：(1)函数最小值的定义是：一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有f(x)M；存在x0I，使得f(x0)M.那么，称M是函数yf(x)的最小值函数最小值的几何意义：函数图象上最低点的纵坐标(2)讨论函数的最小值，也要坚持定义域优先的原则；函数图象上有最低点时，这个函数才存在最小值，最低点必须是函数图象上的点例1求函数y在区间2,6上的最大值和最小值活动：先思考或讨论，再到黑板上书写当学生没有解题思路时，才提示：图象最高点的纵坐标就是函数的最大值，图象最低点的纵坐标就是函数的最小值根据函数的图象观察其单调性，再利用函数单调性的定义证明，最后利用函数的单调性求得最大值和最小值利用变换法画出函数y的图象，只取在区间2,6上的部分观察可得函数的图象是上升的解：设2x1x26，则有f(x1)f(x2).2x1x26，x2x10，(x11)(x21)0.f(x1)f(x2)，即函数y在区间2,6上是减函数当x2时，函数y在区间2,6上取得最大值f(2)2；当x6时，函数y在区间2,6上取得最小值f(6).变式训练1求函数yx22x(x3,2)的最大值和最小值解：最大值是f(3)15，最小值是f(1)1.2函数f(x)x42x21的最小值是_解析：(换元法)转化为求二次函数的最小值设x2t，yt22t1(t0)，又当t0时，函数yt22t1是增函数，则当t0时，函数yt22t1(t0)取最小值1.所以函数f(x)x42x21的最小值是1.答案：13画出函数yx22|x|3的图象，指出函数的单调区间和最大值分析：函数的图象关于y轴对称，先画出y轴右侧的图象，再对称到y轴左侧合起来得函数的图象；借助图象，根据单调性的几何意义写出单调区间解：函数图象如图6所示图6由图象得，函数的图象在区间(，1)和0,1上是上升的，在1,0和(1，)上是下降的，最高点是(1,4)，故函数在(，1)，0,1上是增函数；函数在1,0，(1，)上是减函数，最大值是4.点评：本题主要考查函数的单调性和最值，以及最值的求法求函数的最值时，先画函数的图象，确定函数的单调区间，再用定义法证明，最后借助单调性写出最值，这种方法适用于做解答题单调法求函数最值：先判断函数的单调性，再利用其单调性求最值；常用到下面的结论：如果函数yf(x)在区间(a，b上单调递增，在区间b，c)上单调递减，则函数yf(x)在xb处有最大值f(b)；如果函数yf(x)在区间(a，b上单调递减，在区间b，c)上单调递增，则函数yf(x)在xb处有最小值f(b).例2“菊花”烟花是最壮观的烟花之一制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂如果烟花距地面的高度h m与时间t s之间的关系为h(t)4.9t214.7t18，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少？(精确到1 m)活动：可以指定一位学生到黑板上书写，教师在下面巡视，并及时帮助做错的学生改错并对学生的板书及时评价将实际问题最终转化为求函数的最值，画出函数的图象，利用函数的图象求出最大值“烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻”就是当t取什么值时函数h(t)4.9t214.7t18取得最大值；“这时距地面的高度是多少(精确到1 m)”就是函数h(t)4.9t214.7t18的最大值；转化为求函数h(t)4.9t214.7t18的最大值及此时自变量t的值解：作出函数h(t)4.9t214.7t18的图象，如图7所示，图7显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度由二次函数的知识，对于函数h(t)4.9t214.7t18，我们有：当t1.5时，函数有最大值h29.即烟花冲出后1.5 s是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约是29 m.点评：本题主要考查二次函数的最值问题，以及应用二次函数解决实际问题的能力解应用题的步骤是：审清题意读懂题；将实际问题转化为数学问题来解决；归纳结论注意：要坚持定义域优先的原则；求二次函数的最值要借助于图象即数形结合变式训练1把长为12厘米的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是()Acm2B4 cm2C3cm2D2cm2解析：设一个三角形的边长为x cm，则另一个三角形的边长为(4x) cm，两个三角形的面积和为S，则Sx2(4x)2(x2)222.当x2时，S取最小值2cm2.故选D.答案：D2某超市为了获取最大利润做了一番试验，若将进货单价为8元的商品按10元一件的价格出售时，每天可销售60件，现在采用提高销售价格减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每涨1元，其销售量就要减少10件，问该商品售价定为多少时才能赚取最大利润，并求出最大利润分析：设未知数，引进数学符号，建立函数关系式，再研究函数关系式的定义域，并结合问题的实际意义作出回答利润(售价进价)销售量解：设商品售价定为x元时，利润为y元，则y(x8)60(x10)1010(x12)21610(x12)2160(10x16)，当且仅当x12时，y有最大值160元，即售价定为12元时可获最大利润160元.课本本节练习5.【补充练习】某厂xx年拟举行促销活动，经调查测算，该厂产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与去年促销费m(万元)(m0)满足x3.已知xx年生产的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将xx年该产品的利润y万元表示为年促销费m(万元)的函数；(2)求xx年该产品利润的最大值，此时促销费为多少万元？分析：(1)年利润销售价格年销售量固定投入促销费再投入，销售价格1.5每件产品平均成本；(2)利用单调法求函数的最大值解：(1)每件产品的成本为元，故xx年的利润为y1.5x(816xm)48xm48m28m(万元)(m0)(2)可以证明当0m3时，函数y28m是增函数，当m3时，函数y28m是减函数，所以当m3时，函数y28m取最大值21万元问题：求函数y的最大值解：(方法一)利用计算机软件画出函数的图象，如图8所示，故图象最高点是.图8则函数y的最大值是.(方法二)函数的定义域是R，可以证明当x时，函数y是增函数；当x时，函数y是减函数则当x时，函数y取最大值，即函数y的最大值是.(方法三)函数的定义域是R，由y，得yx2yxy10.xR，关于x的方程yx2yxy10必有实数根当y0时，关于x的方程yx2yxy10无实数根，即y0不属于函数的值域当y0时，则关于x的方程yx2yxy10是一元二次方程，则有(y)24y(y1)0.0y.函数y的最大值是.点评：方法三称为判别式法，形如函数y(d0)，当函数的定义域是R(此时e24df0)时，常用判别式法求最值，其步骤是：把y看成常数，将函数解析式整理为关于x的方程的形式mx2nxk0；分类讨论m0是否符合题意；当m0时，关于x的方程mx2nxk0中有xR，则此一元二次方程必有实数根，得n24mk0，得关于y的不等式，解不等式组此不等式组的解集与中y的值取并集得函数的值域，从而得函数的最大值和最小值本节课学习了：(1)函数的最值；(2)求函数最值的方法：图象法，单调法，判别式法；(3)求函数最值时，要注意函数的定义域课本习题1.3A组5,6.为达到本节课的教学目标，突出重点，突破难点，教学上采取了以下措施：1在探索概念阶段，让学生经历从直观到抽象、从特殊到一般、从感性到理性的认知过程，完成对函数最值定义的三次认识，使得学生对概念的认识不断深入2在应用概念阶段，通过对证明过程的分析，帮助学生掌握用图象和单调法求函数最值的方法和步骤