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2.1.2 指数函数及其性质【双向目标】课程目标学科素养A掌握指数函数的概念,并能根据定义判断一个函数是否为指数函数B)能根据指数函数的解析式作出函数图象,并根据图象给出指数函数的性质C. 能根据指数函数的性质解决和指数函数有关的问题a数学抽象：指数函数概念的理解，会根据定义判断一个函数是否为指数函数b逻辑推理：通过观察图象，总结出指数函数当底分别是，的性质c数学运算：根据单调性等性质计算参数的值d 直观想象：做出指数函数图像并能识别图像e 数学建模：能用指数函数的思想解决生活中的实际问题【课标知识】知识提炼基础过关知识点1：.指数函数定义形如y=ax（且1）叫指数函数，定义域为 （0，+） ，值域 R .知识点2：指数函数图像及其性质函数图象定义域值域定点单调性在上是减函数在上是增函数取值情况若，则若，则若，则若，则对称性函数与的图象关于轴对称1已知指数函数的图象经过点，求的值。2.下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是（ ）Ay(4)x B Cy4x D(a0且a1)3.若函数f(x)是指数函数，且f(2)2，则f(x)( )A()x B.C.D.4.函数的定义域是 （ ）A B C D 5.函数的大致图象为（ ）6.若，则 （ ）A B C D 基础过关参考答案：1.【解析】因为的图象经过点，所以即，解得，于是。所以。【答案】见解析 【答案】A5.【解析】，把的图象向右平移的单位.【答案】A6.【解析】，所以【答案】A【能力素养】探究一 指数函数的图象例1 如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则a，b，c，d与1的大小关系为( ) Aab1cd Bba1dc C1abcd Dab1df(n)，则m，n的大小关系为_【解析】因为a(0,1)，所以函数f(x)ax在R上是减函数由f(m)f(n)得mn.【答案】mn2.（2016新课标全国III理科）已知，则A. B. C. D. 【解析】因为，所以，故选A【答案】A3.设， ， ，则， ， 的大小关系是（ ）A. B. C. D. 【答案】A探究三 与指数函数有关的定义域、值域问题、单调性问题例3：求函数y2xx2的值域与单调区间.【分析】用换元法将其化为指数函数，利用指数函数的图像与性质及复合函数的单调性与值域求法求解【解析】定义域为R，在上是增函数，在上是减函数，又为减函数，在上是减函数，在上是增函数，因此的值域为，上是减函数，在上是增函数【答案】值域为，上是减函数，在上是增函数【点评】1.对复合函数的值域问题，先求出函数的定义域，根据定义域求出内函数的值域，将内函数的值域作为外函数的定义域，利用外函数的图像与性质求出外函数的值域，即为复合函数的值域.2.与指数函数有关的单调性问题，求出内函数的单调区间结合外函数的单调性，结合复合函数的单调性确定其单调性.【变式训练】1 函数的单调递减区间是_；单调递增区间是_【解析】，因此它的减区间为【答案】A2已知函数，则A 是奇函数，且在R上是增函数 B 是偶函数，且在R上是增函数C 是奇函数，且在R上是减函数 D 是偶函数，且在R上是减函数 【答案】A探究四 指数函数的综合运用例4： 已知f(x).(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)证明f(x)是定义域内的增函数；(3)求f(x)的值域【分析】(1)直接利用奇偶性定义进行判断 (2)欲直接利用单调性定义进行证明，则变形时较为复杂，故可先将f(x)化简，然后用定义判断(3)将f(x)化简可变为f(x)1，故把102x看成一个整体，进行换元再求值域 【答案】（1）奇函数（2）见解析（3）值域为【点评】指数函数是一种基本的初等函数，常与第一章学习的函数的单调性、奇偶性等知识点融合在一起，此时按照函数的单调性、奇偶性的解决办法分析、解决问题 【变式训练】1已知函数（1）判断在上的增减性，并证明你的结论（2）解关于的不等式（3）若在上恒成立，求的取值范围【解析】（1）f(x)在上为减函数证明方法一：设 在上为减函数方法二：利用导数证明:f(x)= 0f(x)在上为减函数 （2）不等式即即当，不等式的解当a0 恒成立 不等式的解 综上所述当a0时 不等式的解x|当a0， （3）若 在恒成立即 2已知函数，其中，且.(1)若，求满足的的取值范围；（2）求关于的不等式的解集.【解析】（1），而，故，得：. （2），当时，；当时，.故当时，解集为；当时，解集为.【答案】（1）；（2） 【课时作业】课标 素养数学抽象逻辑推理数学运算直观想象数学建模数据分析A12B11,126,103C4,7,8,135,15914一、选择题1下列以x为自变量的函数中，是指数函数的是Ay=(5)x By=ex(e2.718 28)Cy=5x Dy=x2【解析】由指数函数的概念可知B正确.【答案】B 2函数f(x)=的定义域为A(3,0 B(3,1 C(，3)(3,0 D(，3)(3,1 3函数的大致图象为 【解析】当时函数为增函数，当时函数为减函数，当时，所以B项正确.【答案】B 4已知，则A B C D【解析】由，并结合指数函数的图象可知，即；因为，所以综上，故选A 【答案】A5下列函数中，值域为(0，)的是A BCD 6已知函数f(x)=(2a1)x，若x0时总有f(x)1，则实数a的取值范围是A1a2Ba2Ca1D0a0时，f(x)1，所以此时函数为指数函数且底数大于1，因此由图象知2a11，a1，故选C. 【答案】C7当时，不等式恒成立，则实数m的取值范围是A(2,1) B(4,3) C(1,2) D(3,4)【解析】原不等式变形为， 函数在上是减函数，当时，恒成立等价于，解得，所以的取值范围是，故选C【答案】C8若函数(a0，且a1)是R上的单调函数，则实数a的取值范围是A(0，)B(，1)C(0，D，1) 【答案】D 二、填空题9函数的图象必经过定点 .【解析】的图象恒过点，则的图象是由的图象向右平移1个单位，且恒过点，的图象是由的图象向下平移3个单位，且恒过点【答案】10的值域是 【解析】函数由复合而成，其中是减函数，在上单调递减，在上单调递增，所以原函数在上单调递增，在上单调递减，从而函数在处取得最大值，最大值为，则值域为.【答案】 11已知函数，若，则 .【解析】因为，所以，又，所以，解得.【答案】12定义区间的长度为，已知函数 的定义域为a，b，值域为1,9，则区间a，b的长度的最大值为_，最小值为_【解析】由得x=0，由得，故满足题意的定义域可以为或，故区间a，b 的最大长度为4，最小长度为2【答案】4，2三、解答题13已知函数（）若，求的值（）若函数在上的最大值与最小值的差为，求实数的值 故（）当时，在上单调递增，化简得，解得：（舍去）或当时，在上单调递减，化简得解得：（舍去）或综上，实数的值为或【答案】（1）；（2）实数的值为或.14已知函数f(x)=ax1(x0)的图象经过点(2，)，其中a0且a1.（1）求a的值；（2）求函数y=f(x)(x0)的值域 【答案】（1）；（2）(0,2.15已知函数y=ax(a0且a1)在1,2上的最大值与最小值之和为20，记.（1）求a的值；（2）证明：f(x)f(1x)=1；（3）求的值【解析】（1）函数在1,2上的最大值与最小值之和为20，（2）由（1）知，即（3）由（2）知， 【答案】（1）4；（2）1；（3）1008.
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