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小题标准练(九)(40分钟80分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.设复数i-21+i=a+bi(a,bR,i为虚数单位),则a+b=()A.1B.2C.-1D.-2【解析】选A.i-21+i=(i-2)(1-i)(1+i)(1-i)=-1+3i2,故a=-12,b=32,所以a+b=1.2.若集合A=x|2x1,集合B=x|ln x0,则“xA”是“xB”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选B. 集合A=x|2x1=x|x0,集合B=x|ln x0=x|x1,则BA,即“xA”是“xB”的必要不充分条件.3.设a=log23,b=232,c=3-43,则()A.bacB.cabC.cbaD.aca=log231,b=2322,c=3-431,所以cab.4.函数f(x)=cos 2x+2sin x的最小值与最大值的和等于()A.-2B.0C.-32D.-12【解析】选C.因为f(x)=cos 2x+2sin x=-2sin2x+2sin x+1,令t=sin x,t-1,1,则y=-2t2+2t+1,t-1,1,当t=12时,y取最大值,最大值为32;当t=-1时,y取最小值,最小值为-3,所以最小值与最大值的和为-32.5.某初级中学有学生270人,其中七年级108人,八、九年级各81人,现要利用抽样方法抽取10人参加某项调查,考虑选用简单随机抽样、分层抽样和系统抽样三种方案,使用简单随机抽样和分层抽样时,将学生按七、八、九年级依次统一编号为1,2,270;使用系统抽样时,将学生统一随机编号为1,2,270,并将整个编号依次分为10段.如果抽得号码有下列四种情况:7,34,61,88,115,142,169,196,223,250;5,9,100,107,111,121,180,190,200,265;11,38,65,92,119,146,173,200,227,254;30,57,84,111,138,165,192,219,246,270;关于上述样本的下列结论中,正确的是()A.、都不能为系统抽样B.、都不能为分层抽样C.、都可能为系统抽样D.、都可能为分层抽样【解析】选D.对于系统抽样,应在127,2854,5581,82108,109135,136162,163189,190216,217243,244270中各抽取1个号;对于分层抽样,应在1108中抽取4个号,109189中抽取3个号,190270中抽取3个号.6.函数f(x)=x-1xcos x(-x且x0)的图象可能为()【解析】选D.因为f(x)=x-1xcos x,所以f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数,排除A,B;当x=时,f(x)0,函数y=sinx+3-1的图象向左平移23个单位后与原图象重合,则的最小值是()A.23B.43C.32D.3【解析】选D.因为图象向左平移23个单位后与原图象重合,所以23是一个周期的整数倍.所以2=T23,3,所以最小是3.8.设双曲线x2a2-y2b2=1(a0,b0)的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,线段BF与双曲线的一条渐近线交于点A,若FA=2AB,则双曲线的离心率为()A.6B.4C.3D.2【解析】选D.设点F(c,0),B(0,b),由FA=2AB,得OA-OF=2(OB-OA),即OA=13(OF+2OB),所以点Ac3,2b3,因为点A在渐近线y=bax上,则2b3=bac3,即e=2.9.已知a与b为两个不共线的单位向量,k为实数,若向量a+b与ka-b垂直,则k=()A.1B.3C.2D.2【解析】选A.因为a与b是不共线的单位向量,所以|a|=|b|=1.又ka-b与a+b垂直,所以(a+b)(ka-b)=0,即ka2+kab-ab-b2=0.所以k-1+kab-ab=0,即k-1+kcos -cos =0(为a与b的夹角).所以(k-1)(1+cos )=0,又a与b不共线,所以cos -1,所以k=1.10.设x,y满足约束条件y0,x-y+10,x+y-30,则z=|x-3y|的最大值为()A.1B.3C.5D.6【解析】选C.方法一:作出可行域如图中阴影部分所示,记z1=x-3y,则y=13x-z13,由图可知当直线z1=x-3y过点B,C时z1分别取得最大值3和最小值-5.所以z=|x-3y|的最大值为5.方法二:z=10|x-3y|10,d=|x-3y|10表示点(x,y)到直线x-3y=0的距离,又B(3,0)到直线x-3y=0的距离为310,C(1,2)到直线x-3y=0的距离为510.所以z的最大值为10510=5.11.已知函数f(x)=4x与g(x)=x3+t,若f(x)与g(x)的交点在直线y=x的两侧,则实数t的取值范围是()A.(-6,0B.(-6,6)C.(4,+)D.(-4,4)【解析】选B.根据题意可得函数图象,g(x)在点A(2,2)处的取值大于2,在点B(-2,-2)处的取值小于-2,可得g(2)=23+t =8+t2,g(-2)=(-2)3+t=-8+tr2),|F1F2|=2c,椭圆长半轴长为a1,双曲线实半轴长为a2,椭圆、双曲线的离心率分别为e1,e2,由(2c)2=r12+r22-2r1r2cos3,得4c2=r12+r22-r1r2.由r1+r2=2a1,r1-r2=2a2 得r1=a1+a2,r2=a1-a2, 所以1e1+1e2=a1+a2c=r1c,令m=r12c2=4r12r12+r22-r1r2=41+r2r12-r2r1=4r2r1-122+34,当r2r1=12时,mmax=163,所以r1cmax=433,即1e1+1e2的最大值为433.方法二:假定焦点在x轴上,点P在第一象限,F1,F2分别为左、右焦点.设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(ab0),双曲线的方程为x2m2-y2n2=1(m0,n0),它们的离心率分别为e1,e2,则|PF1|=a+m,|PF2|=a-m,在PF1F2中,4c2=(a+m)2+(a-m)2-2(a+m)(a-m)cos3a2+3m2=4c2ac2+3mc2=4,则ac2+3mc21+13ac+mc21e1+1e2=ac+mc433,当且仅当a=3m时,等号成立.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.某程序框图如图所示,若a=3,则该程序运行后,输出的x值为_.【解析】第一次循环,x=23+1=7,n=2;第二次循环,x=27+1=15,n=3;第三次循环,x=215+1=31,n=4,程序结束,故输出x=31.答案:3114.函数y=logax+1(a0且a1)的图象恒过定点A,若点A在直线xm+yn-4 =0(m0,n0)上,则1m+1n=_;m+n的最小值为_.【解析】由条件知点A的坐标为(1,1),又点A在直线xm+yn-4=0(m0,n0)上,所以1m+1n=4,所以m+n=141m+1n(m+n)=142+nm+mn142+2nmmn=1,当且仅当nm=mn,即m=n=12时等号成立,所以m+n的最小值为1.答案:4115.已知椭圆x24+y23=1的左焦点F,直线x=m与椭圆相交于点A,B,当FAB的周长最大时,FAB的面积是_.【解析】不妨设A(2cos ,3sin ),(0,),则FAB的周长为2(|AF|+3sin )=2(2+cos +3sin )=4+4sin(+6).当=3,即A(1,32)时,FAB的周长最大.所以FAB的面积为S=1223=3.答案:316.如图,VA平面ABC,ABC的外接圆是以边AB的中点为圆心的圆,点M,N,P分别为棱VA,VC,VB的中点,则下列结论正确的有_.(把正确结论的序号都填上)MN平面ABC;OC平面VAC;MN与BC所成的角为60;MNOP;平面VAC平面VBC.【解析】对于,因为点M,N分别为棱VA,VC的中点,所以MNAC,又MN平面ABC,AC平面ABC,所以MN平面ABC,所以正确;对于,假设OC平面VAC,则OCAC,因为AB是圆O的直径,所以BCAC,矛盾,所以不正确;对于,因为MNAC,且BCAC,所以MN与BC所成的角为90,所以不正确;对于,易得OPVA,又VAMN,所以MNOP,所以正确;对于,因为VA平面ABC,BC平面ABC,所以VABC,又BCAC,且ACVA=A,所以BC平面VAC,又BC平面VBC,所以平面VAC平面VBC,所以正确.答案:
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