近世代数-群的概念.ppt

1 2群的概念 群的定义群的性质群的判别 一 群的定义 定义1 2 1设是一个非空集合 若对中任意 两个元素通过某个法则 有中惟一确定的 算 algebraicoperation 元素是通过运 算 作用的结果 我们将此结果记为 例 有理数的加法 减法和乘法都是有理数集 Q上的代数运算 除法不是Q上的代数运算 如果只考 虑所有非零有理数的集合Q 则除法是Q 上的代数运 算 剩余类集 对 规定 例 设为大于1的正整数 为的模 证我们只要证明 上面规定的运算与剩余类 的代表元的选取无关即可 设 则 于是 从而 则 与 都是上的代数运算 所以 与都是上的代数运算 一个代数运算 即对所有的有如 果的运算还满足 G1 结合律 即对所有的有 G2 中有元素 使对每个 有 定义1 2 2设是一个非空集合 是上的 G3 对中每个元素 存在元素 使 在不致引起混淆的情况下 也称为群 unitelement 或恒等元 identity 注1 G2 中的元素称为群的单位元 G3 中的元素称为的逆元 inverse 则称关于运算 构成一个群 group 记作 我们将证明 群的单位元和每个元素的逆元 都是惟一的 中元素的惟一的逆元通常记作 commutativegroup 或阿贝尔群 abeliangroup 有 则称是一个交换群 3 群中元素的个数称为群的阶 order 2 如果群的运算还满足交换律 即对任意的 finitegroup 否则称为无限群 infinitegroup 所以结合律成立 另一方面 且有 又对每个有 从而关于 构成群 显然这是一个交换群 所以0为的单位元 所以是的逆元 注1 当群的运算用加号 表示时 通常 将的单位元记作0 并称0为的零元 将 的逆元记作 并称为的负元 2 习惯上 只有当群为交换群时 才用 来表示群的运算 并称这个运算为加法 把运算的 结果叫做和 同时称这样的群为加群 相应地 将 不是加群的群称为乘群 并把乘群的运算叫做乘法 运算的结果叫做积 在运算过程中 乘群的运算符号 通常省略不写 今后 如不作特别声明 我们总假定 群的运算是乘法 当然 所有关于乘群的结论对加群 也成立 必要时 作一些相关的记号和术语上改变 例 全体非零有理数的集合Q 关于数的乘法 构成交换群 这个群的单位元是数1 非零有理数 的逆元是的倒数 同理 全体非零实数的 集R 全体非零复数的集合关于数的乘法也 构成交换群 例 实数域R上全体阶方阵的集合 关于矩阵的加法构成一个交换群 全体阶可逆 方阵的集合关于矩阵的乘法构成群 群中的单位元是单位矩阵 可逆方阵 的逆元是的逆矩阵 当时 是一个非交换群 例 集合关于数的乘法构成交换群 关于数的乘法构成一个阶交换群 证 1 对任意的 因为 所以 例 全体次单位根组成的集合 因此 于是 是的代数运算 3 由于 且对任意的 所以1为的单位元 4 对任意的 有 且 所以有逆元 的乘法也满足交换律和结合律 2 因为数的乘法满足交换律和结合律 所以 因此关于数的乘法构成一个群 通常称这个群为 次单位根群 显然是一个具有个元素的交换群 例 设是大于1的正整数 则关于剩余 类的加法构成加群 这个群称为的模剩余类加群 2 对任意的 所以结合律成立 3 对任意的 所以交换律成立 4 对任意的 且 所以0为的零元 5 对任意的 且 所以为的负元 从而知 关于剩余类的加法构成加群 例 设是大于1的正整数 记 则关于剩余类的乘法构成群 证 1 对任意的 有 于是 从而 2 对任意的 所以剩余类的乘法 是的代数运算 所以结合律成立 3 因为 从而 且对任意的 且 所以1是的单位元 4 对任意的 有 由整数的性质可知 存在 使 所以 且 显然 所以为的逆元 这就证明了关于剩余类的乘法构成群 注 1 群称为的模单位群 显 然这是一个交换群 当为素数时 常记作 易知 2 由初等数论可知 参见 1 的阶等于 这里是欧拉函数 如果 其中为的不同素因子 那么 例10具体写出中任意两个个元素的乘积以 及每一个元素的逆元素 易知 直接计算 可得 表1 2 1 由表中很容易看出 注观察表1 2 1 我们发现可以把表1 2 1表 示为更加简单的形式 见表1 2 2 表1 2 2 形如表1 2 2的表通常称为群的乘法表 multiplicationtable 也称群表 grouptable 或凯莱表 Cayleytable 人们常用群表来表述 有限群的运算 如下表所示 在一个群表中 表的左上角列出了群的运算符号 有时省略 表的最上面一行则依次列出群的 所有元素 通常单位元列在最前面 表的最左 列按同样的次序列出群的所有元素 表中的其余 部分则是最左列的元素和最上面一行的元素的乘 积 注意 在乘积中 左边的因子总是 左列上的元素 右边的因子总是最上面一行的 元素 由群表很容易确定一个元素的逆元素 又如果一个群的群表是对称的 则可以肯定 这个 群一定是交换群 二 群的性质 定理1 2 1设为群 则有 1 群的单位元是惟一的 2 群的每个元素的逆元是惟一的 3 对任意的 有 4 对任意的 有 5 在群中消去律成立 即设 如果 或 则 证 1 如果都是的单位元 则 因为是的单位元 因此 所以单位元是惟一的 2 设都是的逆元 则 因为是的单位元 于是 所以的逆元是惟一的 3 因为是的逆元 所以 从而由逆元的定义知 是的逆元 又由逆元的 惟一性得 4 直接计算可得 及 从而由逆元的惟一性得 5 如果 则 同理可证另一消去律 定理1 2 2设是群 那么对任意的 证取 则 所以方程有解 又如为方程的任一解 即则 这就证明了惟一性 同理可证另一方程也有惟一解 指数与指数法则 积与运算的顺序无关 因此可以简单地写成 群的定义中的结合律表明 群中三个元素的乘 进一步可知 在群中 任意个元素 的乘积与运算的顺序无关 因此可以写成 据此 我们可以定义群的元素的方幂 对任意的正整数 定义 再约定 为正整数 则对任意整数都有意义 并且不难证明 对任意的有下列的指数法则 1 2 3 如果是交换群 则 如果不是交换群 一般不成立 当是加群时 元素的方幂则应改写为倍数 相应地 指数法则变为倍数法则 1 2 3 因为加群是交换群 所以 3 对加群总是成立的 定理1 2 3设是一个具有代数运算的非空 集合 则关于所给的运算构成群的充分必要条件是 三 群的判别 1 的运算满足结合律 2 中有一个元素 称为的左单位元 使对 任意的有 3 对的每一个元素 存在 称为的 左逆元 使 这里是的左单位元 证必要性由群的定义 这是显然的 充分性只需证 是的单位元 是的 逆元即可 设由条件 3 知 存在使 而对于也存在使 于是 且 进而由条件 1 知 为群 由条件 2 及式 3 知 是的单位元 是的逆元 注这个定理说明 一个具有乘法运算的非空 集合 只要满足结合律 有左单位元 每个元素 有左逆元 就构成一个群 同理可证 一个具有乘法运算的非空集合 如 果满足结合律 有右单位元 且中每个元素有 右逆元 则构成群 定理1 2 4设是一个具有乘法运算且满足结 合律的非空集合 则构成群的充分必要条件是 对任意的方程及在中有解 证必要性已证 见定理1 2 2 充分性任取 由条件知 有解 设为 则 又对任意的 有解 设为 设为 于是 从而知是的左单位元 其次 对每个 有解 设为 于是 从而知有左逆元 于是由定理1 2 3知 构成群 例11设是一个具有乘法运算的非空有限集合 如果满足结合律 且两个消去律成立 则是一 个群 对任意的考察与 如果 证设 则由左消去律得 于是 这说明 是中个不同的元素 因 同理可证 方程在中也有解 从而由定理1 2 4知 是群 所以 因故必存在 使 这说明 方程 在中有解 参考文献及阅读材料 1 潘承洞 潘承彪 初等数论 北京 北京大学出版社 1998 2 中国大百科全书数学 北京 上海 中国大百科全书出版社 1988 3 数学百科全书 第二卷 北京 科学出版社 1995