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1.2.1“且”与“或”学习目标1.了解联结词“且”“或”的含义.2.会用联结词“且”“或”联结或改写某些数学命题，并判断其命题的真假知识点一“且”1定义：用联结词“且”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，读作“p且q”当p，q都是真命题时，pq是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，pq是假命题将命题p和命题q以及pq的真假情况绘制为命题“pq”的真值表如下：pqpq真真真真假假假真假假假假命题“pq”的真值表可简单归纳为“同真则真”，“有假则假”2“且”是具有“兼有性”的逻辑联结词，对“且”的理解，可联系集合中“交集”的概念，ABx|xA且xB中的“且”是指“xA”与“xB”这两个条件都要同时满足3.我们也可以用串联电路来理解联结词“且”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开分别对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开对应命题pq的真与假知识点二“或”1定义：一般地，用联结词“或”把命题p和命题q联结起来，就得到一个新命题，记作pq，读作“p或q”当p，q两个命题有一个命题是真命题时，pq是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，pq是假命题将命题p和命题q以及pq的真假情况绘制为命题“pq”的真值表如下：pqpq真真真真假真假真真假假假命题“pq”的真值表可简单归纳为“假假才假”2对“或”的理解：我们可联系集合中“并集”的概念ABx|xA或xB中的“或”，它是指“xA”，“xB”中至少有一个是成立的，即可以是xA且xB，也可以是xA且xB，也可以是xA且xB.3.我们可以用并联电路来理解联结词“或”的含义，如图所示，若开关p，q的闭合与断开对应命题p，q的真与假，则整个电路的接通与断开分别对应命题pq的真与假1逻辑联结词“且”“或”只能出现在命题的结论中()2“pq为假命题”是“p为假命题”的充要条件()3命题“pq”是真命题，p，q至少有一个是真命题()4梯形的对角线相等且平分是“pq”形式的命题()题型一含有“且”“或”命题的构成命题角度1命题形式的区分例1指出下列命题的形式及构成它的命题(1)向量既有大小又有方向；(2)矩形有外接圆或有内切圆；(3)22.解(1)是pq形式的命题其中p：向量有大小，q：向量有方向(2)是pq形式的命题其中p：矩形有外接圆，q：矩形有内切圆(3)是pq形式的命题其中p：22，q：22.反思感悟不含有逻辑联结词的命题是简单命题；由简单命题与逻辑联结词“或”“且”构成的命题称之为复合命题判断一个命题是简单命题还是复合命题，不能仅从字面上看它是否含有“或”“且”等逻辑联结词，而应从命题的结构来看是否用逻辑联结词联结两个命题如“四边相等且四角相等的四边形是正方形”不是“且”联结的复合命题，它是真命题，而用“且”联结的命题“四边相等的四边形是正方形且四角相等的四边形是正方形”是假命题跟踪训练1指出下列命题的形式及构成它的简单命题：(1)24既是8的倍数，也是6的倍数；(2)菱形是圆的内接四边形或是圆的外切四边形解(1)这个命题是“pq”的形式，其中p：24是8的倍数，q：24是6的倍数(2)这个命题是“pq”的形式，其中p：菱形是圆的内接四边形，q：菱形是圆的外切四边形命题角度2用逻辑联结词构造新命题例2分别写出下列命题的“p且q”“p或q”形式的命题(1)p：梯形有一组对边平行，q：梯形有一组对边相等；(2)p：1是方程x24x30的解，q：3是方程x24x30的解解(1)p或q：梯形有一组对边平行或梯形有一组对边相等p且q：梯形有一组对边平行且梯形有一组对边相等(2)p或q：1或3是方程x24x30的解p且q：1与3是方程x24x30的解反思感悟用逻辑联结词“或”“且”联结p，q构成新命题时，在不引起歧义的前提下，可以把p，q中的条件或结论合并跟踪训练2分别写出由下列命题构成的“pq”“pq”的形式(1)p：函数y3x2是偶函数，q：函数y3x2是增函数；(2)p：是无理数，q：是实数；(3)p：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，q：三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角解(1)pq：函数y3x2是偶函数且是增函数；pq：函数y3x2是偶函数或是增函数(2)pq：是无理数且是实数；pq：是无理数或是实数(3)pq：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且大于与它不相邻的任何一个内角；pq：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或大于与它不相邻的任何一个内角题型二“pq”和“pq”形式命题的真假判断例3分别指出“pq”“pq”的真假(1)p：函数ysinx是奇函数；q：函数ysinx在R上单调递增；(2)p：直线x1与圆x2y21相切；q：直线x与圆x2y21相交解(1)p真，q假，“pq”为真，“pq”为假(2)p真，q真，“pq”为真，“pq”为真反思感悟“pq”和“pq”形式命题的真假判断的步骤(1)明确命题的结构，即命题是“pq”还是“pq”(2)对命题p和q的真假作出判断(3)由“pq”“pq”的真假判断方法给出结论跟踪训练3指出下列命题的形式及命题的真假：(1)48是16与12的公倍数；(2)相似三角形的周长相等或对应角相等解(1)这个命题是“pq”的形式，其中p：48是16的倍数，是真命题；q：48是12的倍数，是真命题，所以“48是16与12的公倍数”是真命题(2)这个命题是“pq”的形式其中p：相似三角形的周长相等，是假命题；q：相似三角形的对应角相等，是真命题，所以“相似三角形的周长相等或对应角相等”是真命题题型三已知复合命题的真假求参数范围例4设命题p：函数f(x)lg的定义域为R；命题q：关于x的不等式3x9x0对xR恒成立当a0时，不等式变为x0，不合题意；当a0时，可得即a2.即实数a的取值范围是(2，)(2)令y3x9x2.由x0，得3x1，y3x9x的值域为(，0)若命题q为真命题，则a0.由命题“p或q”为真命题，且“p且q”为假命题，得命题p，q一真一假当p真q假时，a不存在；当p假q真时，0a2.满足条件的a的取值范围是a|0a2反思感悟解决此类问题的方法：首先化简所给的两个命题p，q，得到它们为真命题时，相应参数的取值范围；然后，结合复合命题的真假情形，确定参数的取值情况，常用分类讨论思想跟踪训练4设有两个命题命题p：不等式x2(a1)x10的解集是；命题q：函数f(x)(a1)x在定义域内是增函数如果pq为假命题，pq为真命题，求a的取值范围解对于p：因为不等式x2(a1)x10的解集是，所以(a1)240.解这个不等式得3a1，所以a0.又pq为假命题，pq为真命题，所以p，q必是一真一假当p真q假时，有3a0，当p假q真时，有a1.综上所述，a的取值范围是(3,01，).1命题：“方程x210的解是x1”，其使用逻辑联结词的情况是()A使用了逻辑联结词“且”B使用了逻辑联结词“或”C没有使用逻辑联结词D以上选项均不正确答案B解析“x1”可以写成“x1或x1”，故选B.2已知命题p，q，若p为真命题，则()Apq必为真Bpq必为假Cpq必为真Dpq必为假答案C解析pq，一真则真，故必有pq为真3已知p：0，q：11,2在命题“p”，“q”，“pq”和“pq”中，真命题有()A1个B2个C3个D0个答案B解析容易判断命题p：0是真命题，命题q：11,2是假命题，所以pq是假命题，pq真命题，故选B.4已知p：函数ysinx的最小正周期为，q：函数ysin2x的图象关于直线x对称，则pq是_命题(填“真”或“假”)答案假解析由题意得命题p为假命题，命题q也是假命题，故pq是假命题5已知命题p：函数f(x)(2a1)xb在R上是减函数；命题q：函数g(x)x2ax在1,2上是增函数，若pq为真，则实数a的取值范围是_答案解析命题p：由函数f(x)在R上为减函数，得2a10，解得a0Ba0Ca1Da1答案B解析对于p：方程x22xa0有实数根，44a0，解得a1.p：a1；对于q：函数f(x)(a2a)x是增函数，a2a0，解得a1.q：a1.pq为假命题，pq为真命题，p，q中一真一假当p真q假时，得0a1；当p假q真时，得a1.由得，所求a的取值范围是a0.3已知命题p：0，命题q：x24x50，若p且q为真命题，则x的取值范围为()A(1,3) B(1,5)C(3,5) D(，5)答案A解析由p知x3，由q得1x5，又由p且q为真命题，故1x1或13；方程x22x40的判别式大于或等于0；25是6或5的倍数；集合AB是A的子集，且是AB的子集其中真命题的个数为()A1B2C3D4答案D解析由于21是真命题，所以“21或13”是真命题；由于方程x22x40的4160，所以“方程x22x40的判别式大于或等于0”是真命题；由于25是5的倍数，所以命题“25是6或5的倍数”是真命题；由于ABA，ABAB，所以命题“集合AB是A的子集，且是AB的子集”是真命题8下列各组命题中，满足“p或q”为真，“p且q”为假的是()Ap：0；q：0Bp：在ABC中，若cos2Acos2B，则AB；q：函数ysinx在第一象限不是单调函数Cp：ab2(a，bR)；q：不等式|x|x的解集为(，0)Dp：圆(x1)2(y2)21的面积被直线x1平分；q：过点M(0,1)且与圆(x1)2(y2)21相切的直线有两条答案C解析A中，p，q均为假命题，故“p或q”为假，排除A；B中，由在ABC中，cos2Acos2B，得12sin2A12sin2B，即(sinAsinB)(sinAsinB)0，所以AB0，故p为真，q显然为真，故“p且q”为真，排除B；C中，p为假，q为真，从而“p或q”为真，“p且q”为假；D中，p为真，q为真，排除D.故选C.二、填空题9若命题pq为假命题，则命题“pq”是_命题(填“真”或“假”)答案假解析因为pq为假命题，所以p，q都是假命题，故pq必为假命题10已知p：x22x30；q：0，若p且q为真，则x的取值范围是_答案(1,2)解析当p为真命题时，x22x30，则1x3；当q为真命题时，x20，则x2.当p且q为真命题时，p和q均为真命题，从而1x1(a0且aD/1)的解集是x|x0，q：函数ylg(ax2xa)的定义域为R，如果p和q有且仅有一个为真，则a的取值范围为_答案解析若p真，则0a1.若q真，有解得a.若q假，则a，又p和q有且仅有一个为真，当p真q假时，01，综上所述，a(1，)三、解答题12判断下列复合命题的真假(1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；(2)不等式x22x10的解集为R且不等式x22x21的解集为.解(1)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真q真，则“p且q”为真，所以该命题是真命题(2)这个命题是“p且q”形式的复合命题，其中p：不等式x22x10的解集为R，q：不等式x22x21的解集为.因为p假q假，所以“p且q”为假，故该命题为假命题13设p：函数f(x)lg(ax24xa)的定义域为R；q：设a(2x2x，1)，b(1，ax2)，不等式ab0对任意x(，1恒成立如果pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围解若p为真命题，则ax24xa0对xR都成立，当a0时，f(x)lg(4x)定义域不为R，不合题意当a0时，则(4)24a20，即解得a2.若q为真命题，则由ab0对任意x(，1恒成立，知2x2x(ax2)0，即a2x1对任意x(，1恒成立，则amax.令g(x)2x1(x1)，可知g(x)在(，1上是增函数，当x1时取得最大值，g(x)max1.故a1.又pq为真命题，pq为假命题，则等价于p，q中一个为真命题，另一个为假命题若p真q假，则无解；若p假q真，则则1a2.综上，实数a的取值范围为(1,214对于函数f(x)|x2|；f(x)(x2)2；f(x)cos(x2)有命题p：f(x2)是偶函数；命题q：f(x)在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，能使pq为真命题的所有函数的序号是_答案解析要使pq为真命题，需p和q都为真命题对于，f(x2)|x4|不是偶函数，故p为假命题；对于，f(x2)x2是偶函数，则p为真命题；f(x)(x2)2在(，2)上是减函数，在(2，)上是增函数，则q为真命题，故pq为真命题；对于，f(x)cos(x2)显然不是(2，)上的增函数，故q为假命题故填.15已知命题p：方程a2x2ax20在1,1上有解；命题q：只有一个实数x满足不等式x22ax2a0，若命题“pq”是假命题，求实数a的取值范围解由a2x2ax20，得(ax2)(ax1)0.显然a0，x或x.若命题p为真，x1,1，故1或1，|a|1.若命题q为真，即只有一个实数x满足x22ax2a0，即抛物线yx22ax2a与x轴只有一个交点4a28a0，a0或a2.命题“pq”为假命题，q，p同时为假命题a的取值范围是a|1a0或0a1
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