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高考大题专项练二高考中的三角函数与解三角形1.在平面四边形ABCD中,ADC=90,A=45,AB=2,BD=5.(1)求cosADB;(2)若DC=22,求BC.解(1)在ABD中,由正弦定理得BDsinA=ABsinADB.由题设知,5sin45=2sinADB,所以sinADB=25.由题设知,ADB90,所以cosADB=1-225=235.(2)由题设及(1)知,cosBDC=sinADB=25.在BCD中,由余弦定理得BC2=BD2+DC2-2BDDCcosBDC=25+8-252225=25.所以BC=5.2.在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b+c=2acos B.(1)证明:A=2B;(2)若cos B=23,求cos C的值.(1)证明由正弦定理,得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB,于是sinB=sin(A-B).又A,B(0,),故0A-B,所以B=-(A-B)或B=A-B,因此A=(舍去)或A=2B,所以A=2B.(2)解由cosB=23得sinB=53,cos2B=2cos2B-1=-19,故cosA=-19,sinA=459,所以cosC=-cos(A+B)=-cosAcosB+sinAsinB=2227.3.在ABC中,D是BC上的点,AD平分BAC,ABD的面积是ADC面积的2倍.(1)求sinBsinC;(2)若AD=1,DC=22,求BD和AC的长.解(1)SABD=12ABADsinBAD,SADC=12ACADsinCAD.因为SABD=2SADC,BAD=CAD,所以AB=2AC.由正弦定理可得sinBsinC=ACAB=12.(2)因为SABDSADC=BDDC,所以BD=2.在ABD和ADC中,由余弦定理知AB2=AD2+BD2-2ADBDcosADB,AC2=AD2+DC2-2ADDCcosADC.故AB2+2AC2=3AD2+BD2+2DC2=6.由(1)知AB=2AC,所以AC=1.4.在ABC中,a=7,b=8,cos B=-17.(1)求A;(2)求AC边上的高.解(1)在ABC中,cosB=-17,B2,sinB=1-cos2B=437.由正弦定理得asinA=bsinB,即7sinA=8437,sinA=32.B2,A0,2,A=3.(2)在ABC中,sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA=32-17+12437=3314.如图所示,在ABC中,过点B作BDAC于点D.sinC=hBC,h=BCsinC=73314=332,AC边上的高为332.5.(2018天津,文16)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知bsin A=acosB-6.(1)求角B的大小;(2)设a=2,c=3,求b和sin(2A-B)的值.解(1)在ABC中,由正弦定理asinA=bsinB,可得bsinA=asinB.又由bsinA=acosB-6,得asinB=acosB-6,即sinB=cosB-6,可得tanB=3.又因为B(0,),所以B=3.(2)在ABC中,由余弦定理及a=2,c=3,B=3,有b2=a2+c2-2accosB=7,故b=7.由bsinA=acosB-6,可得sinA=37.因为ac,所以cosA=27,因此sin2A=2sinAcosA=437,cos2A=2cos2A-1=17.所以sin(2A-B)=sin2AcosB-cos2AsinB=43712-1732=3314.6.已知函数f(x)=cos2x-3+2sinx-4sinx+4.(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间-12,2上的值域.解(1)f(x)=cos2x-3+2sinx-4sinx+4=12cos2x+32sin2x+(sinx-cosx)(sinx+cosx)=12cos2x+32sin2x+sin2x-cos2x=12cos2x+32sin2x-cos2x=sin2x-6,周期T=22=.由2x-6=k+2(kZ),得x=k2+3(kZ).故函数f(x)的图象的对称轴方程为x=k2+3(kZ).(2)x-12,2,2x-6-3,56.当2x-6=2,即x=3时,f(x)取最大值1;当2x-6=-3,即x=-12时,f(x)取最小值-32.函数f(x)在区间-12,2上的值域为-32,1.7.在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且满足cos 2C-cos 2A=2sin3+Csin3-C.(1)求角A的大小;(2)若a=3,且ba,求2b-c的取值范围.解(1)因为cos2C-cos2A=2sin3+Csin3-C,所以2sin2A-2sin2C=234cos2C-14sin2C,化简,得sinA=32.所以A=3或A=23.(2)因为ba,所以A=3.由正弦定理bsinB=csinC=asinA=2,得b=2sinB,c=2sinC.故2b-c=4sinB-2sinC=4sinB-2sin23-B=3sinB-3cosB=23sinB-6.又因为ba,所以3B23,即6B-60,cosC=5-12.又B+C=2,sinB=5-12.
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