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,第三章导数及其应用,第18课利用导数研究函数的单调性,课前热身,1.(选修22P28例1改编)函数f(x)x315x233x6的单调减区间为_【解析】f(x)3x230 x333(x11)(x1),由(x11)(x1)0,得a0,则函数f(x)在(,0)上单调递增;当x(0,)时,f(x)0恒成立,此时f(x)在R上单调递增若a0,则由exa0,得xlna,此时f(x)的单调增区间为(lna,);由exa0时,f(x)的单调增区间为(lna,),单调减区间为(,lna),(2)因为f(x)在R上单调递增,所以f(x)0在R上恒成立,所以exa0,即aex在R上恒成立,所以a(ex)min.又因为ex0,所以a0,所以实数a的取值范围为(,0,(3)方法一:由题意知exa0在(,0上恒成立,所以aex在(,0上恒成立因为yex在(,0上为增函数,所以当x0时,ex取得最大值1,所以a1.同理可知exa0在0,)上恒成立a1.综上,a1.方法二:假设存在符合条件的实数a,则x0为f(x)的唯一极小值点,所以f(0)0,即e0a0,所以a1.经验证a1满足条件,【精要点评】通过解不等式f(x)0(或f(x)0)来确定函数的单调增(或减)区间,注意对参数的讨论;反之,若函数f(x)在某个区间上单调递增(或减),则由f(x)0(或f(x)0)在这个区间上恒成立,从而求出参数的值或取值范围,课堂评价,1.(2015南昌模考)函数f(x)lnxx23x的单调减区间为_,2.若函数f(x)kxlnx在区间(1,)上单调递增,则实数k的取值范围是_,1,),3.已知函数f(x)x33axb(a0)(1)若曲线yf(x)在点(2,f(x)处与直线y8相切,求a,b的值;(2)求函数f(x)的单调区间,(2)f(x)3(x2a)(a0),当a0时,f(x)0,所以函数f(x)在(,)上单调递增,若a0,则当x(,a)时,f(x)0,所以f(x)在区间(,a)上单调递增;当x(a,0)时,f(x)0,所以f(x)在区间(a,0)上单调递减综上所述,当a0时,f(x)的单调增区间为(,0),(0,);当a0时,f(x)的单调增区间为(,a),(a,),单调减区间为(a,0),(0,a),(2)因为f(x)为奇函数,,当a0时,f(x)2x11a1对一切x0恒成立,故a0满足题设要求当a0时,由(1)可知f(x)在(0,a)上是减函数,在(a,)上是增函数所以f(x)minf(a)3a1a1,所以a0时也满足题设要求综上,a的取值范围是0,),
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