2019届高三数学第四次模拟试卷 理(含解析).doc

2019届高三数学第四次模拟试卷 理(含解析)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，则A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由A与B，求出两集合的交集即可【详解】集合，则，故选：A【点睛】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2.设复数是虚数单位，则A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】把z=-1+i代入1+z1-z，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案【详解】z=-1+i，1+z1-z=1-1+i1-(-1+i)=i2-i=i(2+i)(2+i)(2-i)=-15+25i故选：B【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题3.命题xR，x2+x1的否定是A. xR，x2+x1B. xR，x2+x1C. xR，x2+x1D. xR，x2+x1【答案】C【解析】【分析】根据全称命题的否定为特称命题，即可得到答案【详解】全称命题的否定为特称命题，命题xR，x2+x1的否定是xR，x2+x0时，f(x)=log3(x+1)，则ff(-8)=(A. 2B. 1C. -1D. -2【答案】C【解析】【分析】根据题意，由函数的解析式可得f(8)的值，结合函数的奇偶性可得f(-8)的值，则有ff(-8)=f(-2)=-f(2)，结合函数的解析式计算可得答案【详解】根据题意，当x0时，f(x)=log3(x+1)，则f(8)=log39=2，又由函数为奇函数，则f(-8)=-f(8)=-2，ff(-8)=f(-2)=-f(2)=-log3(2+1)=-1，故选：C【点睛】本题考查函数的奇偶性与函数值的计算，关键掌握函数奇偶性的定义，属于基础题8.定义运算：a1a2a3a4=a1a4a2a3，将函数f(x)=3sinx1cosx(0)的图象向左平移23个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则的最小值是（ ）A. 14B. 54C. 74D. 34【答案】B【解析】函数f(x)=31 sinxcoxx =3cosxsinx=2cosx+6（0），f(x)的图象向左平移23个单位，所得图象对应的函数为y=2cos（x+23）+6=2cos（x+23+6）；又函数y为偶函数，23+6=k，kZ，解得=3k214，kZ；当k=1时，取得最小值是54，故选B.9.已知三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，且AB=SA=SB=SC=2，则该三棱锥的外接球的表面积为A. 83B. 433C. 43D. 163【答案】D【解析】分析：说明S在底面上的射影是AB的中点，也是底面外接圆的圆心，求出球的半径，即可求出外接球的表面积详解：由题意，点S在底面上的射影D是AB的中点，是三角形ABC的外心，令球心为O，如图在直角三角形ODC中，由于AD=1，SD=4-1=3，则（3R）2+12=R2，解得R=23，则S球=4R2=163故选：A点睛：设几何体底面外接圆半径为x,常见的图形有正三角形,直角三角形,矩形,它们的外心可用其几何性质求;而其它不规则图形的外心,可利用正弦定理来求.若长方体长宽高分别为a,b,c则其体对角线长为a2+b2+c2;长方体的外接球球心是其体对角线中点.找几何体外接球球心的一般方法:过几何体各个面的外心分别做这个面的垂线,交点即为球心. 三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为a,b,c，则其外接球半径公式为: 4R2=a2+b2+c2.10.函数f(x)=sinxln|x|的图象大致是A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】先根据函数的奇偶性，可排除B，C，根据函数值的符号即可排除D【详解】f(-x)=sin(-x)ln|-x|=-sinxln|x|=-f(x)，函数f(x)为奇函数，函数f(x)的图象关于原点对称，故排除B，C，当x+时，-1sinx1，ln|x|+，f(x)单调性是增减交替出现的，故排除，D，故选：A【点睛】本题考查了函数图象的识别，根据根据函数值的符号即可判断，属于基础题11.已知抛物线C:y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|2，则A点到原点的距离为（ ）A. 3B. 42C. 4D. 43【答案】B【解析】试题分析：设A(x,y)，则x+1y=54y24+1y=54y=4或y=1（舍AF2），所以A(4,4)，到原点的距离为42，选B考点：抛物线定义【方法点睛】1凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理本题中充分运用抛物线定义实施转化，其关键在于求点P的坐标2若P（x0，y0）为抛物线y22px（p0）上一点，由定义易得|PF|x0p2；若过焦点的弦AB的端点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），则弦长为|AB|x1x2p，x1x2可由根与系数的关系整体求出；若遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长公式可由数形结合的方法类似地得到12.已知直线x+y-k=0(k0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A，B，O是坐标原点，且有OAOB-2，那么k的取值范围是A. (3,+)B. 2,22)C. 2,+)D. 3,22)【答案】B【解析】【分析】根据题意，设圆心到直线x+y-k=0的距离为d；由直线与圆相交的性质可得d=|k|1+1=k22，则有k0)与圆x2+y2=4交于不同的两点A，B，则d=|k|1+1=k22，则有kb0)右支上非顶点的一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AFFB，设ABF=，且(12,4)，则双曲线C离心率的取值范围是_【答案】(2,+)【解析】【分析】设双曲线的左焦点为，连接，AFFB，可得四边形为矩形，运用勾股定理和双曲线的定义，结合对勾函数的单调性，计算可得所求范围【详解】解：设双曲线的左焦点为，连接，AFFB，可得四边形为矩形，设|AF|=m，|BF|=n，即有，且m2+n2=4c2，n-m=2a，tan=mn，e2=c2a2=4c24a2=m2+n2m2-2mn+n2=11-2mnm2+n2=11-2mn+nm=11-2tan+1tan，由(12,4)，可得t=tan(2-3,1)，则t+1t(2,4)，可得2t+1t(12,1)，即有1-2t+1t(0,12)，则11-2tan+1tan(2,+)，即有e(2,+)故答案为：(2,+)【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，考查离心率的范围，注意运用勾股定理和对勾函数的单调性，考查运算能力，属于中档题三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知m=3sinx,cosx,n=cosx,cosx,xR，设fx=mn.（1）求fx的解析式及单调递增区间；（2）在ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且a=1,b+c=2,fA=1，求ABC的面积.【答案】(1)答案见解析；(2)34.【解析】试题分析：（1）利用数量积的坐标运算可以得到fx=3sinxcosx+cos2x，再逆用二倍角公式和两角和的正弦得到fx=sin2x+6+12，最后令2+2k2x+62+2k解出x的范围即为fx的单调递增区间.（2）根据fA=1可以得到A=3，再用余弦定理求出bc=1，故面积为34.解析：（1）因为fx=3sinxcosx+cos2x =32sin2x+1+cos2x2 =sin2x+6+12，令2+2k2x+62+2k，解得3+kx6+k,kZ，所以fx的单调递增区间为3+k,6+kkZ.（2）由fA=sin2A+6+12=1可得sin2A+6=12，又A0,，所以2A+66,136，2A+6=56，解得A=3.由余弦定理可知a2=b2+c22bccosA=b+c22bc1+cosA，所以1=42bc32，故bc=1，所以SABC=12bcsinA=34. 18.数列an的前n项和为Sn，已知Sn+1=Sn+an+2，a1,a2,a5成等比数列.（1）求数列an的通项公式；（2）若数列bn满足bnan=21+an， 求数列bn的前n项和Tn.【答案】(1)an 2n1；（2）Tn=6+(2n3)2n+1【解析】试题分析：（1）因为Sn+1=Sn+an+2，变形后为Sn+1Sn=an+2也即是an+1an=2，所以an是一个等差数列且公差为2，再利用a1,a2,a5成等比数列可以得到a1=1，所以an的通项为an=2n1.（2）计算可得bn=2n12n，它是等差数列和等比数列的乘积，用错位相减法求其前n项和.解析：（1）因为Sn+1=Sn+an+2，所以an+1=Sn+1Sn=an+2，故数列an是公差为2的等差数列；又a1,a2,a5成等比数列，所以a1a1+4d=a1+d2a1a1+8=a1+22，解得a1=1，故an=1+2n1=2n1nN*.（2）由（1）可得：bn=2n122n=2n12n，故Tn=b1+b2+b3+bn1+bn =121+322+523+2n32n1+2n12n，又2Tn=122+323+524+2n32n+2n12n+1，由错位相减法得：Tn=2+222+23+2n2n12n+1 =2+2412n1122n12n+1 =2+2n+282n12n+1=62n32n+1，整理得：Tn=2n32n+1+6.19.四边形ABCD是菱形,ACEF是矩形,平面ACEF平面ABCD AB=2AF=2,BAD=600,G是BE的中点（I）证明:（II）求二面角的余弦值.【答案】（I）略；（II）64【解析】试题分析：（I）利用中点的性质进行分析即可；（II）以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为Y轴，ON所在直线为Z轴 建立空间直角坐标系，通过向量有关知识进行计算即可.试题解析：（I） 证法一: 设ACBD=O,BF的中点为H，因为G是BE的中点，GH/EF/AC,GH=12AC=OCOCGH是平行四边形CG/OHCG平面BDF,OH平面BDFCG/平面BDF证法二：因为G是BE的中点，2CG=CB+CE=DA+AF=DFCG/DFCG平面BDF,DF平面BDFCG/平面BDF；（II）设OB的中点为O，ABCD是矩形，四边形是菱形，EBFD以O为原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为Y轴，ON所在直线为Z轴 建立空间直角坐标系，平面BDF的法向量为，平面的法向量为令，设二面角的大小为则考点：空间向量在立体几何中的应用【方法点睛】利用法向量求二面角时应注意(1)对于某些平面的法向量要注意题中隐含着，不用单独求(2)注意判断二面角的平面角是锐角还是钝角，可结合图形进行，以防结论失误20.如图，设椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)，长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是32（）求椭圆C1的标准方程；（）过F作直线交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程【答案】（）x24+y2=1; （）ABC面积的最小值为9，x=52y+2.【解析】试题分析：（）由已知求出抛物线的焦点坐标即得椭圆中的a，再由离心率可求得，从而得b值，得标准方程；（）本题考查圆锥曲线中的三角形面积问题，解题方法是设直线方程为x=my+2，设A(x1,y1),B(x2,y2)，把直线方程代入抛物线方程，化为y的一元二次方程，由韦达定理得y1+y2,y1y2，由弦长公式得|AB|，同样过F与直线垂直的直线方程为y=m(x2)，同样代入椭圆方程，利用韦达定理得x1+x2,x1x2，其中x1=2，x2是C点的横坐标，于是可得|FC|，这样就可用m表示出ABC的面积，S=16(1+m2)1+m24m2+1，接着可设1+m2=t，用换元法把S表示为的函数，利用导数的知识可求得最大值.试题解析：（）椭圆C1：x2a2+y2b2=1(ab0)，长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，a=2，又椭圆C1的离心率是32，c=3，b=1，椭圆C1的标准方程为x24+y2=1（）过点F(2,0)的直线的方程设为x=my+2，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，联立x=my+2,y2=8x,得y2-8my-16=0，y1+y2=8m，y1y2=-16，|AB|=1+m2(y1+y2)2-4y1y2=8(1+m2)过F且与直线垂直的直线设为y=-m(x-2)，联立y=-m(x-2),x24+y2=1,得(1+4m2)x2-16m2x+16m2-4=0，xC+2=16m21+4m2，故xC=2(4m2-1)4m2+1，|CF|=1+m2|xC-xF|=44m2+11+m2，ABC面积S=12|AB|CF|=16(1+m2)4m2+11+m2令1+m2=t，则S=f(t)=16t34t2-3，f(t)=16(4t4-9t2)(4t2-3)2，令f(t)=0，则t2=94，即1+m2=94时，ABC面积最小，即当m=52时，ABC面积的最小值为9，此时直线的方程为x=52y+221.已知函数f(x)=x2+ax+1,g(x)=ex（其中e为自然对数的底数）.（1）若a=1,求函数y=f(x)g(x)在区间2,0上的最大值；（2）若a=1,关于x的方程f(x)=kg(x)有且仅有一个根, 求实数k的取值范围；（3）若对任意x1,x20,2,x1x2,不等式|f(x1)f(x2)|g(x1)g(x2)|均成立, 求实数a的取值范围.【答案】（1）；（2）(0,1e)(3e2,+)；（3）a1,22ln2.【解析】试题分析：（）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可；（）若a=-1，关于x的方程f（x）=kg（x）有且仅有一个根，即k=f(x)g(x)=x2x+1ex，有且只有一个根，令h(x)=x2x+1ex，可得h（x）极大=h（2）=3e2，h（x）极小=h（1）=1e，进而可得当k3e2或0k1e时，k=h（x）有且只有一个根；（）设x1x2，因为g(x)=ex在0，2单调递增，故原不等式等价于|f（x1）-f（x2）|g（x2）-g（x1）在x1、x20，2，且x1x2恒成立，当a-（ex+2x）恒成立时，a-1；当aex-2x恒成立时，a2-2ln2，综合讨论结果，可得实数a的取值范围试题解析：（1）当a=1时,y=(x2+x+1)ex,y=(x2+3x+2)ex=(x+2)(x+1)ex, 故y=f(x)g(x)在2,1上单调递减,1,0上单调递增, 当x=2时,y=3e2, 当x=0时,y=1, 故在区间2,0上ymax=1（2）当a=1时, 关于x的方程为x2x+1=kex有且仅有一个实根, 则x2x+1ex=k有且仅有一个实根, 设h(x)=x2x+1ex,则h(x)=(2x1)ex(x2x+1)ex(ex)2=x2+3x2ex=(x1)(x2)ex,因此h(x)在(,1和2,+)上单调递减, 在1,2上单调递增,h(1)=1e,h(2)=3e2, 如图所示, 实数k的取值范围是(0,1e)(3e2,+)（3）不妨设x1x2,则|f(x1)f(x2)|ex1ex2|=ex2ex1恒成立因此ex1ex2f(x1)f(x2)ex2ex1恒成立, 即ex1f(x1)ex2f(x2)恒成立,且ex1+f(x1)0，b0，函数f(x)=|xa|xb|的最大值为3（1）求a+b的值；（2）设函数g(x)=x2axb，若对于xa均有g(x)f(x)，求a的取值范围【答案】(1)a+b=3；(2)12a3【解析】试题分析：(1)由绝对值不等式|xa|x+b|(xa)(x+b)|=a+b可得f(x)max=a+b=3；（2）对于xa均有g(x)f(x)等价于g(x)maxf(x)min，分别求g(x)的最大值与f(x)的最小值，解不等式即可试题解析：（1）f(x)=|xa|x+b|(xa)(x+b)|=a+b，2分所以f(x)的最大值为a+b，a+b=3，4分（2）当xa时，f(x)=|xa|x+b|=xa(x+b)=ab=3，6分对于xa，使得g(x)f(x)等价于xa,gmax(x)3成立，g(x)的对称轴为x=a2a，g(x)在xa,+)为减函数，g(x)的最大值为g(a)=a2a2b=2a2+a3，8分2a2+a30，解得a12，又因为ao,b0,a+b=3，所以12a310分【考点】1绝对值不等式的性质；2函数与不等式