现代控制理论第一章.ppt

第一章,控制系统的状态空间表达式,本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系统设计，都是基于系统的数学模型来进行的。因此，本章首先介绍控制系统的数学模型。,本章主要内容为：1、状态和状态空间表达式,2、系统状态空间模型的建立,3、状态空间描述和传递函数矩阵,6、离散系统的数学模型,4、线性变换,5、组合系统的数学描述,线性连续时间系统为主,控制理论主要是研究动态系统的系统分析、优化和综合等问题动态系统（动力学系统）指能储存输入信息（或能量）的系统。含有电感和电容等储能元件的电网络系统含有弹簧和质量体等通过位移运动来储存机械能的刚体力学系统存在热量和物料信息平衡关系的化工热力学系统等,这类系统与静力学系统的区别在于：静态系统的输出取决于当前系统的瞬时输入，而动态系统的输出取决于系统当前及过去的输入信息的影响的叠加如，电阻的电流直接等于当前的电压输入与电阻值之比，而电容两端的电压是通过电容的当前及过去的电流的积分值与电容值之比,在进行动态系统的分析和综合时，首先应建立该系统的数学模型在系统和控制科学领域内，数学模型是指能描述动态系统的动态特性的数学表达式，数值型和逻辑型线性和非线性时变和定常的连续时间型和离散时间型集中参数和分布参数等这种描述系统动态特性的数学表达式称为系统的动态方程,建立数学模型的主要方法有机理分析建模实验建模（系统辨识）动态系统数学描述的基本方法外部描述输入输出描述内部描述状态空间描述,典型控制系统方框图,系统数学描述的两种基本方法,1.1系统描述中的基本概念,1、系统一些相互制约的部分构成的且具有一定功能的整体2、输入和输出输入：环境对系统的作用输出：系统对环境的作用3、系统数学描述的类型（1）系统的外部描述传递函数（2）系统的内部描述状态空间表达式,x1,x2,xn,u1,u2,up,y1,y2,yq,系统的方块图表示,例:考察下图所示的n级RC网络。图中虚线框内为具有放大器隔离的n级RC电路,设放大器的输入阻抗为无穷大，输出阻抗为零，放大倍数为1。,图1n级RC网络,（1）,系统以输入u、输出y作为变量的外部描述为高阶线性常系数微分方程,即,（2）,及,(3),在已知输入u的情况下，解方程式（2）、式（3）,不仅可求出输出响应y，而且能得知系统内部电容上电压随时间变化的动态过程信息。因此,式（2）、式(3)是图所示电网络系统的一种完全描述。,重新考察以上电网络，利用电路知识容易得到如下一阶微分方程组,4、因果性系统在t时刻的输出取决于t时刻和t时刻之前的输入，和t时刻之后的输入无关，则称系统具有因果性。5、线性当对于任何输入u1和u2及任何实数a，均有可加性：H(u1+u2)=H(u1)+H(u2)齐次性:H(au1)=aH(u1)则称系统是线性的，否则为非线性。,1.2系统状态空间描述中的基本概念,1、状态表征系统运动的信息和行为2、状态变量完全表征系统运动状态的最小个数的一组变量。表示符号：x1(t),x2(t),xn(t)注：状态变量的选取不唯一。状态变量不一定在物理上可量测。尽可能选取易量测的量作为状态变量。,1.2系统状态空间描述中的基本概念,3、状态向量把系统的n个状态变量构成一个列向量x(t)，称x(t)为n维状态向量。,4、状态空间,以n个状态变量为坐标轴所构成的n维空间，称为状态空间。,5、状态轨线状态向量的端点在状态空间中的位置,代表系统在某一时刻的运动状态。随着时间的推移，系统状态在变化，并在状态空间描绘出一条轨迹。这种系统状态向量在状态空间中随时间变化的轨迹称为状态轨线。,图二维空间的状态轨线,6、状态方程,描述系统状态变量和输入变量之间关系的一阶微分方程组（连续时间系统）或一阶差分方程组（离散时间系统）。,一般形式：,7、输出方程,描述系统输出变量和系统状态变量、输入变量之间关系的代数方程。,一般形式：,8、状态空间表达式,状态方程和输出方程合起来构成对一个动态系统完整的描述，称为动态系统的状态空间表达式。,或,9、线性系统向量方程中f(x,u,t)和g(x,u,t)的所有元都是状态变量和输入变量的线性函数，则称系统为线性系统，否则为非线性系统。,A(t)系统矩阵B(t)控制矩阵C(t)输出矩阵D(t)直接传输矩阵,10、线性定常系统,简记为系统(A,B,C,D),简记为系统(G,H,C,D),例:,离散系统,tk=kT（T为采样周期）,例：如下图所示电路，为输入量，为输出量。,建立方程：,初始条件：,和可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态变量,前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：,设：,则可以写成状态空间表达式：,推广到一般形式：,A系统矩阵B控制矩阵C输出矩阵D直接传输矩阵,对前面引入的状态空间模型的意义,有如下讨论:状态方程描述的是系统动态特性，其决定系统状态变量的动态变化。输出方程描述的是输出与系统内部的状态变量的关系。系统矩阵A表示系统内部各状态变量之间的关联情况,它主要决定系统的动态特性。输入矩阵B又称为控制矩阵,它表示输入对状态变量变化的影响。输出矩阵C反映状态变量与输出间的作用关系。直接传输矩阵D则表示了输入对输出的直接影响,许多系统不存在这种直联关系,即矩阵D=0。,1.3线性系统状态空间模型的结构图线性系统的状态空间模型可以用结构图的方式表达出来,以形象说明系统输入、输出和状态之间的信息传递关系。系统结构图主要有三种基本元件:积分器加法器比例器,常用符号：,状态空间表达式结构图的绘制步骤,画出所有的积分器,每个积分器的输出对应一个状态变量，积分器个数为系统状态变量的个数。,根据状态方程和输出方程，画出加法器和比例器；,用箭头将各元件连接起来。,例1设一阶系统状态方程为,则其状态图为,例2设三阶系统状态空间表达式为,则其状态图为,若需要用结构图表示出各状态变量、各输入变量和各输出变量间的信息传递关系,则必须根据实际的状态空间模型,画出各变量间的结构图。例3：2入2出系统,双输入双输出线性定常系统结构图,例4线性时变系统,的结构图下图所示。,多输入多输出线性时变系统的结构图,1.4状态空间表达式的建立,根据系统的机理建立根据系统的结构图建立根据系统的其他数学模型建立由微分方程建立由传递函数建立,1、根据系统的机理建立状态空间表达式步骤：1）确定系统的输入、输出量；2）根据系统的内部机理建立响应的微分方程或差分方程；3）选取状态变量；4）导出标准形式的状态空间表达式。,建立状态空间模型的关键在于状态变量的选取，它是建立状态空间模型的前提状态变量的主要选取办法系统储能元件的输出系统输出及其输出变量的各阶导数上述状态变量的数学投影（使系统状态方程成为某种标准形式的变量）,电路如图所示。建立该电路以电压u1,u2为输入量，uA为输出量的状态空间表达式。,例1电网络系统状态空间表达式的建立,图,解：1)选择状态变量两个储能元件L1和L2，可以选择i1和i2为状态变量，且两者是独立的。,2）根据克希荷夫电压定律，列写2个回路的微分方程：,整理得：,3）状态空间表达式为：,例2：机械系统.列出在外力f作用下，以质量的位移为输出的状态空间描述。,解：该系统有四个独立的储能元件。取状态变量如下：,则有：,及：,将所选的状态变量,写成矩阵形式：,例3:机电系统的状态空间描述电枢控制的直流电动机,其中Ra和La为电枢回路总电阻和总电感,J为机械旋转部分转动惯量,负载为摩擦系数为f的阻尼摩擦.试列写以电枢电压u(t)为输入,轴的角位移(t)为输出的状态空间表达式.,解1.设电动机励磁电流不变,铁心工作在非饱和区.按照上图所描述的电动机系统,可以写出如下主回路电压方程和轴转动动力学方程,其中Ea和M分别为如下电枢电势和转矩Ea=Ced/dt,M=CMia其中Ce和Cm分别为电枢电势常数和转矩常数(含恒定的磁通量).,因此,上述主回路电压方程和轴转动运动方程可记为,2.选择状态变量.对于本例,若已知电枢电流ia(t),角位移(t)和其导数d/dt在初始时刻t0的值,以及电枢电压u,则上述微分方程组有唯一解.因此,可以选择状态变量如下,3.将状态变量代入上述微分方程,则有如下状态方程,4.建立输出方程y=x2,5.经整理,可得如下矩阵形式的状态空间模型,本节小结：,根据系统机理建立状态空间表达式适于系统结构、参数已知，系统的内部机理清楚的情况下；,所选择的状态变量的个数等于系统中独立储能元件的个数，并将独立储能元件上的物理量选为系统的状态变量；,对于系统机理、结构和参数未知的系统只能通过辨识的途径建立其状态空间模型。,2、根据系统的微分方程建立状态空间表达式,实现问题关键问题如何选择状态变量保持系统的输入输出间的关系不变主要讨论由SISO系统输入输出关系的线性常微分方程建立系统的状态空间模型,分别讨论不含输入量导数项含输入量导数项,考虑单输入单输出（SISO）的线性定常系统,1）不含输入导数项,这里所要研究的是建立上述常微分方程描述的动态系统的如下状态空间数学模型-状态空间模型本节问题的关键是如何选择状态变量?,其中y和u分别为系统的输出和输入;n为系统的阶次。,由微分方程理论知,若初始时刻t0的初值y(t0),y(t0),y(n-1)(t0)已知,则对给定的输入u(t),以上微分方程有唯一解,也即系统在tt0的任何瞬时的动态都被唯一确定。因此,选择状态变量为如下相变量,可完全刻划系统的动态特性。取输出y和y的各阶导数(也称相变量)为状态变量。,将上述选择的状态变量代入输入输出的常微分方程,有如下状态方程,输出方程y=x1,写成矩阵形式：,系统的状态图如下：,例将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型y”+6y”+11y+6y=6u解本例中a0=6a1=11a2=6b0=6因此,当选择输出y及其1阶与2阶导数等相变量为状态变量时,可得状态空间模型如下,其系统结构图如下所示,若按照前面的方法那样选取相变量为状态变量,则可得如下状态方程,根据微分方程解的存在性和唯一性条件,要求输入u(t)为分段连续,而上述状态方程中输入u的各阶导数可能不连续,从而使微分方程解的存在性和唯一性的条件不成立。因此,状态方程中不应有输入u的导数项出现,即不能直接将输出y的各阶导数项取作状态变量。,2）微分方程中含有输入的导数项,为避免状态方程中显式出现输入的导数,通常,可利用输出y和输入u以及其各阶导数的线性组合来组成状态变量,其原则是:使状态方程中不显含输出u的各阶导数。基于这种思路选择状态变量的方法很多,下面介绍其中一种。,选择n个状态变量为,系统方程为,系统的方框图,由于传递函数与线性常系数微分方程有直接的对应关系,故前面讨论的由高阶线性微分方程建立状态空间模型的方法同样适用于将传递函数建立变换为状态空间模型。本节讨论的由传递函数建立状态空间模型的方法,3、根据系统的传递函数求状态空间表达式,线性定常微分方程,传递函数,上一节的方法,本节的方法,建立状态空间模型方法,拉氏变换,微分方程和传递函数的对应关系：,本节所要研究的是建立该传递函数所描述的动态系统的状态空间模型(A,B,C,D)。上述常数项即为状态空间模型(A,B,C,D)中的直接传输矩阵D;严格真有理传递函数G(s)对应可建立(A,B,C,D)中的(A,B,C)。,1）极点互异,即无重极点情况,传递函数分为极点互异有重极点两种情况讨论如何建立状态空间模型。,特征方程的n个特征根s1,s2,sn互异,则用部分分式法可将G(s)表示为如下并联分解,其中k1,k2,kn为待定系数,其计算公式为,下面讨论通过选择状态变量求得相应的状态空间模型。考虑到输出y(t)和输入u(t)的拉氏变换满足,因此,若选择状态变量xi(t)使其拉氏变换满足,则,经反变换可得系统状态方程为,相应地,系统输出y(t)的拉氏变换为Y(s)=k1X1(s)+k2X2(s)+knXn(s)因此,经拉氏反变换可得如下输出方程y=k1x1+k2x2+knxn整理上述状态方程和输出方程可得如下状态空间模型,系统矩阵A具有对角线形式的状态空间模型。将系统转换为n个一阶子系统(惯性环节)的并联.,例将传递函数变换为状态空间模型,解由系统特征多项式s3+6s2+11s+6可求得系统极点为s1=-1s2=-2s3=-3于是有,其中,故当选择状态变量为G(s)分式并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型,使对同一个系统,采用不同的建立状态空间模型的方法,将得到不同的状态空间模型。即,状态空间模型不具有唯一性。,2)传递函数含重极点,设n阶严格有理真分式传递函数为,当传递函数含重实极点时，不失一般性，假设,其中，q重极点所对应的部分分式系数按式计算,对于单极点对应的部分分式的系数则按下式计算,选择系统状态变量的拉氏变换为,整理得,取拉氏反变换，得输出方程为,取拉氏反变换，得状态方程为,系统的向量-矩阵形式的状态空间表达式为,系统状态变量图,例将下述传递函数变换为状态空间模型,其中,解由系统特征多项式s3+5s2+8s+4可求得系统有二重极点s1=-2和单极点s2=-1,于是有,故当选择状态变量为G(s)分式串-并联分解的各个一阶惯性环节的输出,可得如下状态空间模型,“状态空间模型不具有唯一性”。,