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12.3角的平分线的性质第1课时角的平分线的性质(1)知能演练提升能力提升1.如图,尺规作图作AOB的平分线的方法如下:以O为圆心,任意长为半径画弧分别交OA,OB于点C,D,再分别以点C,D为圆心,以大于12CD长为半径画弧,两弧交于点P,作射线OP,由作法得OCPODP的根据是().A.SASB.ASAC.AASD.SSS2.如图,AD是ABC中BAC的平分线,DEAB交AB于点E,DFAC交AC于点F.若SABC=7,DE=2,AB=4,则AC的长是().A.4B.3C.6D.53.如图,MPNP,MQ为NMP的角平分线,MT=MP,连接TQ,则下列结论中,不正确的是().A.TQ=PQB.MQT=MQPC.QTN=90D.NQT=MQT4.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,点P是对角线AC上一点,PEBC于点E,PFCD于点F.求证:PE=PF.5.如图,在ABC中,C=90,AC=BC,AD平分CAB交BC于点D,问能否在AB上确定一点E,使BDE的周长等于AB的长?6.如图,已知AC平分BAD,CD=CB,ABAD.求证:B+D=180.7.已知AOB=90,OM是AOB的平分线,将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动,两直角边PC,PD分别与OA,OB相交于点C,D,PC和PD有怎样的数量关系?请说明理由.8.如图,在ABC中,AD是BAC的平分线,E,F分别为AB,AC上的点,且EDF+EAF=180.求证:DE=DF.创新应用9.如图,ADBC,DCAD,AE平分BAD,且点E是DC的中点,探索AD,BC与AB之间有何关系?并证明你得到的结论.参考答案能力提升1.D2.B3.D4.证明 在ABC和ADC中,AB=AD,CB=CD,AC=AC,ABCADC(SSS),BCA=DCA,CA为BCD的平分线.PEBC,PFCD,P为BCD的平分线上的一点,PE=PF.5.分析 由于题目中存在AD平分CAB,且DCAC的条件,联想到角的平分线上的点到角的两边的距离相等,故过点D作DEAB,便可找到所求作的点.解 能在AB上确定一点E,使BDE的周长等于AB的长,即过点D作DEAB于点E,则点E就是所要确定的点.证明 AD平分CAB,CDAC,DEAB,DC=DE.在RtACD与RtAED中,AD=AD,DC=DE,RtACDRtAED(HL).AC=AE.AC=BC,BDE的周长为BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB.6.证明 如图,过点C作CEAB于点E,CFAD交AD的延长线于点F.因为AC平分BAD,所以CE=CF.在RtCBE和RtCDF中,因为CE=CF,CB=CD,所以RtCBERtCDF,所以B=1.因为1+ADC=180,所以B+ADC=180.7.解 PC=PD.理由如下:过点P分别作PEOB于点E,PFOA于点F,CFP=DEP=90.OM是AOB的平分线,PE=PF.由四边形内角和定理知FPE=90.1+FPD=90,2+FPD=90,1=2.在CFP和DEP中,CFP=DEP,PE=PF,1=2,CFPDEP(ASA).PC=PD.8.证明 如图,过点D作DMAB于点M,DNAC于点N.AD平分BAC,DM=DN.AMD+MDN+AND+NAM=360,AMD+AND=180,MDN+NAM=180.EDF+EAF=180,MDN=EDF,MDE=NDF.在EDM和FDN中,EMD=FND,DM=DN,MDE=NDF,EDMFDN(ASA).DE=DF.创新应用9.分析 将题目条件“AE平分BAD”与“DEAD”结合在一起考虑,可以联想到:若作EFAB于点F,就构成角平分线性质的基本图形,不难得出AF=AD;再结合“E是DC的中点”,可得ED=EF=EC.于是连接BE,可证得BF=BC,这样AD+BC=AF+BF=AB.解 AB=AD+BC.证明如下:作EFAB于点F,连接BE.AE平分BAD,DCAD,EFAB,EF=ED.E是DC的中点,DE=EC,EC=EF.ADBC,DCAD,DCB=90,BFE=ECB=90.在RtBFE和RtBCE中,EF=EC,BE=BE,RtBFERtBCE(HL).BF=BC.同理可证AF=AD.AD+BC=AF+BF=AB,即AD+BC=AB.
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